1.3.1解直角三角形(课件)
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1
若 tan∠DBA= ,则AD的长为（ ）
5
A. 2 B.２ C.１ D.2 2
（2011安徽，19，10分）如图，某高速公路 建设中需要确定隧道AB的长度．已知在离地 面1500m高度C处的飞机上，测量人员测得 正前方A、B两点处的俯角分别为60°和 45°．求隧道AB的长．
30. （2011安徽芜湖18）如图，某校数学兴 趣小组的同学欲测量一座垂直于地面的古塔 BD的高度，他们先在A处测得古塔顶端点的 仰角为45°，再沿着的方向后退20m至C处， 测得古塔顶端点的仰角为30°.求该古塔BD的 高度(结果保留一位小数).
例2：如图:Rt△ABC中,∠C=900, AC=10, ∠ A = 30
求:AB，BC.
B
┐
C 10
A
(2)已知一锐角、邻边: 求对边，用锐角的正切； 求斜边，用锐角的余弦。
已知一锐角、对边:
• 例3 在Rt△ABC 中，已知∠C=90°， ∠A=30°， a = 8 。解这个直角三角形
B
a
A
b
C
(3)已知一锐角、对边，求邻边，用锐角的正切；
求斜边，用锐角的正弦。
已知两边
• 例4．在Rt△ABC中，已知∠C = 90° , a=12, b =24 ．解这个直角三角形
B
a
A
(4)已知a、b，则c=__a__2____b_2_。 b
C
⑸已知a、c，则b=___c__2____a_ 2。
在Rt△ABC中，∠C=90°：
c ⑶已知∠A、 a，则b=___ta_n__A____;c=___s_in__A___。斜边
已知一锐角、对边，求邻边，用锐角的正切； 求斜边，用锐角的正弦。
⑷已知a、b，则c=___a__2 ___b_2_。
⑸已知a、c，则b=___c_2___a_2__ 。
A 邻边b
B
对边
a
┏ C
1.在下列直角三角形中，不能解的是（B ）
由以上几种情况可以看出，只要已知条件适当，所 有的直角三角形都是可解的.值得注意的是，它不仅使 直角三角形的计算问题得到彻底的解决，而且给非直角 三角形图形问题的解决铺平了道路.不难想到，只要能 把非直角三角形的图形问题转化为直角三角形问题，就 可以通过解直角三角形而获得解决 。
直角三角形性质
1、图形简单易理解 2、知识点内容丰富 3、实际应用广泛
勾股定理 及逆定理
锐角三角函数
解直角三角形
解斜三角形
4、体现多题归一
5、蕴涵多种数学思 想方法
A
45° B
60°
D
C
一变：类比法 三变：延伸法
D
60 C
45
A
B
二变：推广法 四变：弱化法
A
45 ° B
60 °
D
C
（2007甘肃）把两块相同的含30°角的三角 尺如图放置，若AD=6 6 ，求△ABC各边的 长.
⑴已知∠A、 c, 则a=__c__s_i_n_A___;b=_c__ c_o_s_A___。
已知一锐角、斜边，求对边，用锐角的正弦；
求邻边，用锐角的余弦。 b
⑵已知∠A、 b, 则a=__b__t_a_n__A__;c=___c_o__s_A__。
已知一锐角、邻边，求对边，用锐角的正切；
求斜边，用a锐角的余弦。 a
b
C
（1）两锐角之间的关系： ∠A ＋ ∠B = 90 °；
（2）边之间的关系： a2＋b2＝c2 ;
（3）角与边之间的关系：sinA= a ，cosA=
c
b c
，tanA=
a b
利用这些关系，如果知道直角三角形的哪几个
元素就可以求其他的元素了？
两个角 ×
两条边 √ 一边一角 √
两个元素(至少一个是边)
由直角三角形中已知的元素求出未
知元素的过程，叫做解直角三角 形．
一、已知一锐角、斜边，
例1在 RtDABC 中 ， 已知 C = 90 °，c = 128 , B = 60°.
解这个直角三角形 (边长精确到0.01).
B
a
A
Biblioteka Baidu
b
C
(1)已知一锐角、斜边，求对边，用锐角的正弦；
求邻边，用锐角的余弦。
已知一锐角、邻边:
（已知两边一角）
1 AD = 3 6 BD = 3
2CD =1
7ACD = 60
3 AB = 6
8B = 45
4 BC = 3 1
9BAC =15
5 AC = 2
10CAD = 60
A
45° B
60°
D
C
例5、外国船只，除特许外，不得进入我国海洋
100海里以内的区域。如图，设A、B是我们的观
察站，A和B之间的距离为160海里，海岸线是过
B
c
a
┏
A
b
C
特殊角的三角函数值表
三角函数
锐角α
正弦sinα
余弦 cosα
300
1
3
2
2
450
2
2
2
2
600
3 2
1 2
正切tanα 3 3
1
3
交流与发现
在Rt△ABC 中，∠C =
B
90°,∠A,∠B，∠C 的对边分别
是a, b, c．除直角C外，你会
a
用含有这些字母的等式把5个元 A
素之间的关系表示出来吗？
（2007甘肃）把两块相同的含30°6 角6的三角尺
如图放置，若AD=
，求△ABC各边的长.
BC=6.求AQ BC=100，AE∥BC。求AE
两艘渔船分别从B港出发，B港 位于A港东偏北30°，甲船航 行了20海里到达A港处，乙船
行驶了 10 3 海里到达位于A
港正东方向的C处，这时乙船 调整方向，问至少还要行驶多 少路程才能到A港？
A 已知一直角边和所对的角 B 已知两个锐角
C 已知斜边和一个锐角
D 已知两直角边
2.在△ABC中，∠C=90°，根据下列条件解这个直角三角形。
⑴∠A=600，斜边上的高CD= 3 ； B ⑵∠A=600，a+b=3+ 3 .
C┓
D 600
A
3. 如图，在△ABC中，已知AC=6，∠C=75°， ∠B=45°，求△ABC的面积。
A
D 60°
⌒
450
75°
B
C
已知∠B=450，∠ACD=65060，BC=20cm， 求BCA=D2.0cm，求AD。
思考一：已知两 个特殊角的情况 下，再已知AD、 CD、AC、BC、AB、 BD六条边中1条 可求其余5条边.
(已知两角一边)
思考二：已知边 角的三个特殊条 件(必须有一边）， 求其余的边和角。 如：已知 AD= ,3DC=1, ∠B=450,求其余 的边角.
A、B的一条直线。一外国船只在P点，在A点测
得∠BAP=450，同时在B点测得∠ABP=600，问
此时是否要向外国船只发出警告，令其退出我国
海域.
P
45° A
┓ 60° B C
D
A 45o
60o C B
D
30° A
C 45°
B
C D
A
B
例6.(2008宁夏）如图，在等腰三角形中，
∠C=900,AC=6,D为AC上一点，
若 tan∠DBA= ,则AD的长为（ ）
5
A. 2 B.２ C.１ D.2 2
（2011安徽，19，10分）如图，某高速公路 建设中需要确定隧道AB的长度．已知在离地 面1500m高度C处的飞机上，测量人员测得 正前方A、B两点处的俯角分别为60°和 45°．求隧道AB的长．
30. （2011安徽芜湖18）如图，某校数学兴 趣小组的同学欲测量一座垂直于地面的古塔 BD的高度，他们先在A处测得古塔顶端点的 仰角为45°，再沿着的方向后退20m至C处， 测得古塔顶端点的仰角为30°.求该古塔BD的 高度(结果保留一位小数).
例2：如图:Rt△ABC中,∠C=900, AC=10, ∠ A = 30
求:AB，BC.
B
┐
C 10
A
(2)已知一锐角、邻边: 求对边，用锐角的正切； 求斜边，用锐角的余弦。
已知一锐角、对边:
• 例3 在Rt△ABC 中，已知∠C=90°， ∠A=30°， a = 8 。解这个直角三角形
B
a
A
b
C
(3)已知一锐角、对边，求邻边，用锐角的正切；
求斜边，用锐角的正弦。
已知两边
• 例4．在Rt△ABC中，已知∠C = 90° , a=12, b =24 ．解这个直角三角形
B
a
A
(4)已知a、b，则c=__a__2____b_2_。 b
C
⑸已知a、c，则b=___c__2____a_ 2。
在Rt△ABC中，∠C=90°：
c ⑶已知∠A、 a，则b=___ta_n__A____;c=___s_in__A___。斜边
已知一锐角、对边，求邻边，用锐角的正切； 求斜边，用锐角的正弦。
⑷已知a、b，则c=___a__2 ___b_2_。
⑸已知a、c，则b=___c_2___a_2__ 。
A 邻边b
B
对边
a
┏ C
1.在下列直角三角形中，不能解的是（B ）
由以上几种情况可以看出，只要已知条件适当，所 有的直角三角形都是可解的.值得注意的是，它不仅使 直角三角形的计算问题得到彻底的解决，而且给非直角 三角形图形问题的解决铺平了道路.不难想到，只要能 把非直角三角形的图形问题转化为直角三角形问题，就 可以通过解直角三角形而获得解决 。
直角三角形性质
1、图形简单易理解 2、知识点内容丰富 3、实际应用广泛
勾股定理 及逆定理
锐角三角函数
解直角三角形
解斜三角形
4、体现多题归一
5、蕴涵多种数学思 想方法
A
45° B
60°
D
C
一变：类比法 三变：延伸法
D
60 C
45
A
B
二变：推广法 四变：弱化法
A
45 ° B
60 °
D
C
（2007甘肃）把两块相同的含30°角的三角 尺如图放置，若AD=6 6 ，求△ABC各边的 长.
⑴已知∠A、 c, 则a=__c__s_i_n_A___;b=_c__ c_o_s_A___。
已知一锐角、斜边，求对边，用锐角的正弦；
求邻边，用锐角的余弦。 b
⑵已知∠A、 b, 则a=__b__t_a_n__A__;c=___c_o__s_A__。
已知一锐角、邻边，求对边，用锐角的正切；
求斜边，用a锐角的余弦。 a
b
C
（1）两锐角之间的关系： ∠A ＋ ∠B = 90 °；
（2）边之间的关系： a2＋b2＝c2 ;
（3）角与边之间的关系：sinA= a ，cosA=
c
b c
，tanA=
a b
利用这些关系，如果知道直角三角形的哪几个
元素就可以求其他的元素了？
两个角 ×
两条边 √ 一边一角 √
两个元素(至少一个是边)
由直角三角形中已知的元素求出未
知元素的过程，叫做解直角三角 形．
一、已知一锐角、斜边，
例1在 RtDABC 中 ， 已知 C = 90 °，c = 128 , B = 60°.
解这个直角三角形 (边长精确到0.01).
B
a
A
Biblioteka Baidu
b
C
(1)已知一锐角、斜边，求对边，用锐角的正弦；
求邻边，用锐角的余弦。
已知一锐角、邻边:
（已知两边一角）
1 AD = 3 6 BD = 3
2CD =1
7ACD = 60
3 AB = 6
8B = 45
4 BC = 3 1
9BAC =15
5 AC = 2
10CAD = 60
A
45° B
60°
D
C
例5、外国船只，除特许外，不得进入我国海洋
100海里以内的区域。如图，设A、B是我们的观
察站，A和B之间的距离为160海里，海岸线是过
B
c
a
┏
A
b
C
特殊角的三角函数值表
三角函数
锐角α
正弦sinα
余弦 cosα
300
1
3
2
2
450
2
2
2
2
600
3 2
1 2
正切tanα 3 3
1
3
交流与发现
在Rt△ABC 中，∠C =
B
90°,∠A,∠B，∠C 的对边分别
是a, b, c．除直角C外，你会
a
用含有这些字母的等式把5个元 A
素之间的关系表示出来吗？
（2007甘肃）把两块相同的含30°6 角6的三角尺
如图放置，若AD=
，求△ABC各边的长.
BC=6.求AQ BC=100，AE∥BC。求AE
两艘渔船分别从B港出发，B港 位于A港东偏北30°，甲船航 行了20海里到达A港处，乙船
行驶了 10 3 海里到达位于A
港正东方向的C处，这时乙船 调整方向，问至少还要行驶多 少路程才能到A港？
A 已知一直角边和所对的角 B 已知两个锐角
C 已知斜边和一个锐角
D 已知两直角边
2.在△ABC中，∠C=90°，根据下列条件解这个直角三角形。
⑴∠A=600，斜边上的高CD= 3 ； B ⑵∠A=600，a+b=3+ 3 .
C┓
D 600
A
3. 如图，在△ABC中，已知AC=6，∠C=75°， ∠B=45°，求△ABC的面积。
A
D 60°
⌒
450
75°
B
C
已知∠B=450，∠ACD=65060，BC=20cm， 求BCA=D2.0cm，求AD。
思考一：已知两 个特殊角的情况 下，再已知AD、 CD、AC、BC、AB、 BD六条边中1条 可求其余5条边.
(已知两角一边)
思考二：已知边 角的三个特殊条 件(必须有一边）， 求其余的边和角。 如：已知 AD= ,3DC=1, ∠B=450,求其余 的边角.
A、B的一条直线。一外国船只在P点，在A点测
得∠BAP=450，同时在B点测得∠ABP=600，问
此时是否要向外国船只发出警告，令其退出我国
海域.
P
45° A
┓ 60° B C
D
A 45o
60o C B
D
30° A
C 45°
B
C D
A
B
例6.(2008宁夏）如图，在等腰三角形中，
∠C=900,AC=6,D为AC上一点，