2019中考数学专题复习资料--几何最值问题(含解析)

几何最值问题复习

本内容全部需要在做讲义题目之前进行 一、 读一读下面的内容，想一想 1. 解决几何最值问题的理论依据

①两点之间，线段最短（已知两个定点）；

②_______________（已知一个定点、一条定直线）； ③三角形三边关系（已知两边长固定或其和、差固定）． 2. 几何最值问题常见的基本结构

①利用几何变换进行转化——在右侧一栏中画出相关分析的辅助线，找到最终时刻点P 的位置

l

l

求min ()PA PB +，异侧和最小

l

l

MN 为固定线段长，求min ()AM BN +

l

l

求max PB PA -，同侧差最大 ②利用图形性质进行转化

D

C

A

B O N

M

求max OD

不变特征：Rt △AOB 中，直角与斜边长均不变，取斜边中点进行分析．

二、 还原自己做最值问题的过程（从拿到题目读题开始），与下面小明的动作对标，补充或调

整与自己不一样的地方．

①研究背景图形，相关信息进行标注；

②分析考查目标中的定点、动点及图形特征，利用几何变换或图形性质对问题进行分析； ③封装常见的几何结构，当成一个整体处理，后期直接调用分析．

三、 根据最值问题做题的思考过程，思考最值问题跟存在性问题、动点问题在分析过程中有什

么样的区别和联系，简要写一写你的看法． 答：

下面是小明的看法：

①都需要分层对问题分析，一层层，一步步进行分析；

②都需要研究基本图形，目标，条件，相关信息都需要有

标注；

③在画图分析时，都会使用与之有关的性质，判定，定理

及公理．

如存在性问题需要用四边形的判定；最值问题需要回到问题处理的理论依据．

四、借助对上述问题的思考，做讲义的题目．

几何最值问题（讲义）

一、知识点睛

解决几何最值问题的通常思路：

1.分析定点、动点，寻找不变特征．

2.若属于常见模型、结构，调用模型、结构解决问题；

若不属于常见模型，结合所求目标，依据不变特征转化，借助基本定理解决问题．

转化原则：尽量减少变量，向定点、定线段、定图形靠拢．

二、精讲精练

1.如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为BC边上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥

AC于点F．若M为EF的中点，则AM长度的最小值为____________．

M F

E P

C

B

A

O

E

D C

B

A

第1题图 第2题图

2. 如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，AB =3，BC =4，点D 在BC 边上，则以AC 为对角线的所

有□ADCE 中，DE 长度的最小值为_____________．

3. 若点D 与点A (8，0)，B (0，6)，C (a ，a )是一平行四边形的四个顶点，则CD 长度的最小

值为_____________．

4. 如图，已知AB =2，C 是线段AB 上任一点，分别以AC ，BC 为斜边，在AB 的同侧作等腰

直角三角形ACD 和等腰直角三角形BCE ，则DE 长度的最小值为_____________．

E

D B C

A

第4题图 第5题图

5. 如图，已知AB =10，C 是线段AB 上任一点，分别以AC ，BC 为边，在AB 的同侧作等边三

角形ACP 和等边三角形BCQ ，则PQ 长度的最小值为_____________．

6. 动手操作：在矩形纸片ABCD 中，AB =3，AD =5．如图所示，折叠纸片，使点A 落在BC

边上的A ′处，折痕为PQ ，当点A ′在BC 边上移动时，折痕的端点P ，Q 也随之移动．若限定点P ，Q 分别在AB ，AD 边上移动，则点A ′在BC 边上可移动的最大距离为________________．

Q

P

A'D C

B A

D C

B

A

7. 如图，在直角梯形纸片ABCD 中，AD ⊥AB ，AB =8，AD =CD =4，点E ，F 分别在线段AB ，

AD 上，将△AEF 沿EF 翻折，点A 的对应点记为P ．

Q

P

C

B

A

（1）当点P 落在线段CD 上时，PD 的取值范围是_______．

（2）当点P 落在直角梯形ABCD 内部时，PD 长度的最小值为_____________．

P F E

D C

B A

P

F

E D

C

B

A

D

C

B

A

D

C

B

A

8. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =30°，AC

=BC 的中点为D ．将△ABC 绕点

C 顺时针旋转任意一个角度得到△FEC ，EF 的中点为G ，连接DG ，则在旋转过程中，DG 长度的最大值为____________．

9. 如图，已知△ABC 是边长为2的等边三角形，顶点A 的坐标为(0，6)，BC 的中点D 在点A

下方的y 轴上，E 是边长为2且中心在坐标原点的正六边形的一个顶点，把这个正六边形绕其中心旋转一周，则在旋转过程中DE 长度的最小值为_________．

10. 探究：如图1，在等边三角形ABC 中，AB =6，AH ⊥BC 于点H ，则AH =_______，△ABC

的面积ABC S △__________．

发现：如图2，在等边三角形ABC 中，AB =6，点D 在AC 边上（可与点A ，C 重合），分别过点A ，C 作直线BD 的垂线，垂足分别为点E ，F ，设BD =x ，AE =m ，CF =n ．

D

G

F

E

C

B A F

A