完全随机设计的方差分析
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end
3.三因素方差分析 也称为拉丁方设计（Latin square design）的方 差分析。该设计特点是，可以同时分析三个因素对试验结果的作用， 且三个因素之间相互独立，不能有交互作用。
4.析因设计（factorial design）的方差分析 当两个因素或多个因素 之间存在相互影响或交互作用时，可用该设计来进行分析。该设计不 仅可以分析多个因素的独立作用，也可以分析多个因素间的交互作用， 是一种高效率的方差分析方法。
12.8 7.0
4.1
7.9
-1.8 4.3
-0.1 6.4
6.3
7.0
12.7 5.4
9.8
3.1
高剂量组 （i=1）
5.6 9.5 6.0 8.7 9.2
X ij 5.0
3.5 5.8 8.0 15.5 11.8
16.3 11.8 14.6 4.9 8.1 3.8 6.1 13.2 16.5 9.2
ni
21
Xi si2
9.1952 17.3605
低剂量组 （i=2）
-0.6 2.0
5.7
5.6
处理因素为单个时,称为单因素。 每个因素在数量上或强度上可有不同，这种数量 或强度上的不同就称为水平。 依照研究因素与水平的不同，可产生四类实验：
1.单因素单水平 如研究某药对原发性高血压患者的降压作用
2.单因素多水平 如研究某药不同剂量的降血糖作用。
3.多因素单水平 如比较不同药物或不同疗法对某病的治疗效果。
四、方差分析的类型
1.单因素方差分析（one-way ANOVA） 也称为完全随机 设计(completely random design)的方差分析。该设计 只能分析一个因素下多个水平对试验结果的影响。
2.双因素方差分析（two-way ANOVA） 称为随机区组设 计（randomized block design）的方差分析。该设计可 以分析两个因素。一个为处理因素，也称为列因素；一个 为区组因素，也称为行因素。
思考几个问题
• 在前面的章节已经学过t检验,他们的适
用于何种资料类型,应用条件是什么?
• t检验解决了两样本均数比较的问题,当
出现多组比较的情况怎么办?
• 多组比较时能否直接用两两比较的t检
验得出结论?
例 某医生为研究一种四类降糖新药的疗效，以统 一的纳入标准和排除标准选择了60名2型糖尿病患 者，按完全随机设计方案将患者分为三组进行双盲 临床试验。其中，降糖新药高剂量组21人、低剂量 组19人、对照组20人。对照组服用公认的降糖药物， 治疗4周后测得其餐后2小时血糖下降值，结果如表 所示。问治疗4周后，餐后2小时血糖下降值的三组 总体平均水平是否不同？
试验处理（treatment）: 事先设计好的实施
在实验单位上的具体项目就叫试验处理。如 进行饲料的比较试验时，实施在试验单位上 的具体项目就是具体饲喂哪一种饲料。
end
试验单位（ experimental unit ）: 在实验中能
接受不同试验处理的独立的试验载体叫试验单 位。一只小白鼠，一条鱼，一定面积的小麦等 都可以作为实验单位。
问题
上面问题能否用前面所学两样本的t检验进行 两两比较（即分别作3次两样本的t检验）而得出结 论呢？
有人说，我们可以把多组数据化成n个两组数 据（化整为零），用n次t检验来完成这个多组数 据差异显著性的判断。
对多个处理进行平均数差异显著性检验时，采用t检验法的缺点：
1.检验过程烦琐。
缺
点
试验包含４个处理
各因只素不引过起将方差的分起子（离误均差差） 平方和及分母自由度ν分开，分 别考虑。
总变异=组间变异+组内变异
方差分析(Analysis of variance，ANOVA)
方差分析的定义
又叫变量分析，是英国著名统计学家R . A . Fisher于20世纪提出的。它是用以检验两个或多个 均数间差异的假设检验方法。它是一类特定情况下 的统计假设检验，或者说是平均数差异显著性检验 的一种引伸。为纪念Fisher，以F命名，故方差分析 又称F检验 。
四、方差分析的主要用途
①进行两个或两个以上样本均数的比较； ②可以同时分析一个、两个或多个因素对试验 结果的作用和影响； ③分析多个因素的独立作用及多个因素之间的 交互作用； ④进行两个或多个样本的方差齐性检验等。 方差分析对分析数据的要求及条件比较严格， 即要求各样本为随机样本，各样本来自正态总 体，各样本所代表的总体方差齐性或相等。
5.正交试验设计的方差分析 如果要分析的因素有三个或三个以上，可 进行正交试验设计（orthogonal experimental design）的方差分析。 当分析因素较多时，试验次数会急剧增加，用此设计进行分析则更能 体现出其优越性。该设计利用正交表来安排各次试验，以最少的试验 次数，得到更多的分析结果。
（1）Xij 意义为第i组的第j个数据。其中下标 i 表示列，j 表 示行。
（2） 意Xij义为将第i组的全部j个数据合计。 j
end
（3） 将(第Xij )i2组的j个数据合计后平方，
ij
再将所有各i组的平方值合计。 （4）变异来源 ①SS总：表示变异由处理因素及随机误差
共同所致；② SS组间：表示变异来自处理因素的作用或 影响；③SS组内：表示变异由个体差异和测量误差等随
机因素所致。
即SS总＝SS组间＋SS组内。
end
例9-1某医生为研究一种四类降糖新药的疗效，以统 一的纳入标准和排除标准选择了60名2型糖尿病者， 按完全随机设计方案将患者分为三组进行双盲临床 试验。其中降糖新药高剂量组21人、低剂量组19人、 对照组20人。对照组服用公认的降糖药物，治疗四 周后测得其餐后2小时血糖下降值（mmol/L），结果 如表9-1所示。问治疗四周后，餐后2小时血糖下降 值的三组总体平均水平是否不同？
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方差分析的基本功能
对多组样本平均数差异 的显著性进行检验
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二、方差分析的优点
❖不受比较组数的限制，可比较多组均数 ❖可同时分析多个因素的作用 ❖可分析因素间的交互作用
三、方差分析的应用条件
❖独立性：各样本是相互独立随机的样本 ❖正态性：各样本都来自正态总体 ❖方差齐性：各样本的总体方差相等
第一节 完全随机设计资料的方差
分析
一、方差分析的基本思想
方差分析的基本思想：根据资料设计的类型及研究
目的，可将总变异分解为两个或多个部分，每个部
分的变异可由某因素的作用来解释。通过比较可能
由某因素所至的变异与随机误差变异，度即的大可小了可以解用该标准因差素
对测定结果有无影响。 用公式概括为：
或方差来衡量，此处既然是方差 分析就用方差来衡量。由个体差异引
重复（repetition）: 在实验中，将一个处理实
施在两个或两个以上的试验单位上，称为处理 有重复；一处理实施的试验单位数称为处理的 重复数。例如，用某种饲料喂4头猪，就说这个 处理（饲料）有4个重复。
end
因素（因子）—— 可以控制的试验条件 因素的水平 —— 因素所处的状态或等级 单（双）因素方差分析——讨论一个（两个） 因素对试验结果有没有显著影响。
分组方法：先将60名糖尿病患者从1开始到60编号； 从随机数字表（附表15）中的任一行任一列开始， 依次读取三位数作为一个随机数录于编号下；然后将 全部随机数从小到大编序号(数据相同的按先后顺序 编序号)，将每个随机数对应的序号记录；规定序号 1-21为甲组，序号22-40为乙组，序号41-60为丙组。
4.多因素多水平
如某肿瘤的联合化疗方案。
随机变量的数字特征
• 随机变量是对随机事件的数学描述
• 而一个随机变量的分布特征我们用什么方法描
述呢？
• 数学期望：E（X）—μ —分布的中心位置 • 方离均差差平方：和V（X）—σ2 —分布的离散程度
总体方差 样本方差
2 X ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 2
N
S2
X X
end
第一节 完全随机设计资料的方差分析
完全随机设计：(completely random design)是采
用完全随机化的分组方法，将全部试验对象分配到g个
处理组（水平组），各组分别接受不同的处理，试验 结束后比较各组均数之间的差别有无统计学意义，推 论处理因素的效应。
end
第一节 完全随机设计资料的方差分析
1.特点 单因素方差分析是按照完全随机设计的原则将处理 因素分为若干个不同的水平，每个水平代表一个样本，只 能分析一个因素对试验结果的影响及作用。其设计简单， 计算方便，应用广泛，是一种常用的分析方法，但其效率 相对较低。该设计中的总变异可以分出两个部分，
•
即SS总＝SS组间＋SS组内。
2.常用符号及其意义
（2） 多组均数比较的检验假设与F 值的意义。
（3） 方差分析的应用条件。 2．常见实验设计资料的方差分析 （1）完全随机设计的单因素方差分析：适用的资料类型、总变异分解（包 括自由度的分解）、方差分析的计算、方差分析表。 （2）随机区组设计资料的两因素方差分析：适用的资料类型、总变异分解 （包括自由度的分解）、方差分析的计算、方差分析表。 （3）多个样本均数间的多重比较方法： LSD-t 检验法；Dunnett-t 检验法； SNK-q 检验法。 （二）熟悉内容 多组资料的方差齐性检验、变量变换方法。 （三）了解内容 两因素析因设计方差分析、重复测量设计资料的方差分析。
t 检验： C42 ＝ 6次
2.无统一的试验误差，误差估计 的精确性和检验的灵敏性低。
缺 点
t检验：C42 ＝6次
需计算 6个标准误
误差估计不统一
误差估计精确性降低
3.推断的可靠性低，检验时犯α错误
缺
概率大。 α=0.05
点
例如我们用t检验的方法检验4个样本平均数之间的差异显著性
t检验： C42 ＝6次
6次检验 相互独立
H0的概率： 1-α＝0.95
6次都接受的概率(0.95)6＝0.735 犯α错误的概率＝1-0.735＝0.265
犯α错误的概率明显增加
t 检验可以判断两组数据平均数间的差异显著
性，而方差分析既可以判断两组又可以判断多组数 据平均数之间的差异显著性。
离均差平方和
总体方差 样本方差
g 个处理每个处理有 n 个观测值的数据模式
处理分组
测量值
统计量
1 水平 2 水平
… g 水平
X11
X12 … X1j …
X1n1
n1
X1
S1
X21 X22 … X2j … X2n2
n2
X2
S2
… ………… … … … …
Xg1 Xg2 … Xgj … X gng
ng
Xg
Sg
表9-1 2型糖尿病患者治疗4周后餐后2小时血糖的下降值（mmol/L）
试验因素（ experimental factor）： 试验中所
研究的影响试验指标的因素叫试验因素。当试 验中考察的因素只有一个时，称为单因素试验； 若同时研究两个或两个以上因素对试验指标的 影响时，则称为两因素或多因素试验。
end
因素水平（level of factor）: 试验因素所处的
某种特定状态或数量等级称为因素水平，简 称水平。如研究3个品种奶牛产奶量的高低， 这3个品种就是奶牛品种这个试验因素的3个 水平。
卫生统计学（第五版）
卫生统计学与数学教研室
第九章 方差分析
一、 完全随机设计资料的方差分析 二、 随机区组设计资料的方差分析 三、 析因设计资料的方差分析 四、重复测量资料的方差分析 五、 多个样本均数的两两比较 六、方差分析前提条件和数据转换
教学大纲要求:
（一）掌握内容 1．方差分析基本思想 （1） 多组计量资料总变异的分解，组间变异和组内变异的概念。
2 X 2
N
S2
X X
2 X 2 X 2 / n
n 1
n 1
方差—随机变量离散的重要衡量方法
试验指标（experimental index）： 为衡量试验
结果的好坏和处理效应的高低，在实验中具体 测定的性状或观测的项目称为试验指标。常用 的试验指标有：身高、体重、日增重、酶活性、 DNA含量等等。
2 X 2 X 2 / n
n 1
n 1
方差—随机变量离散的重要衡量方法
第九章 方差分析
方差分析就是将全部观察值的变异（总 变异）按设计和需要分解成两个或多个组成 部分，再进行变异来源和大小的分析。
方差分析：比较2个或2个以上的总体均值是否有 显著性差异。用组间的方差与组内方差相比，据 以判别误差主要源于组间的方差（不同组工人的 产量，条件误差），还是源于组内方差（随机误 差）。
3.三因素方差分析 也称为拉丁方设计（Latin square design）的方 差分析。该设计特点是，可以同时分析三个因素对试验结果的作用， 且三个因素之间相互独立，不能有交互作用。
4.析因设计（factorial design）的方差分析 当两个因素或多个因素 之间存在相互影响或交互作用时，可用该设计来进行分析。该设计不 仅可以分析多个因素的独立作用，也可以分析多个因素间的交互作用， 是一种高效率的方差分析方法。
12.8 7.0
4.1
7.9
-1.8 4.3
-0.1 6.4
6.3
7.0
12.7 5.4
9.8
3.1
高剂量组 （i=1）
5.6 9.5 6.0 8.7 9.2
X ij 5.0
3.5 5.8 8.0 15.5 11.8
16.3 11.8 14.6 4.9 8.1 3.8 6.1 13.2 16.5 9.2
ni
21
Xi si2
9.1952 17.3605
低剂量组 （i=2）
-0.6 2.0
5.7
5.6
处理因素为单个时,称为单因素。 每个因素在数量上或强度上可有不同，这种数量 或强度上的不同就称为水平。 依照研究因素与水平的不同，可产生四类实验：
1.单因素单水平 如研究某药对原发性高血压患者的降压作用
2.单因素多水平 如研究某药不同剂量的降血糖作用。
3.多因素单水平 如比较不同药物或不同疗法对某病的治疗效果。
四、方差分析的类型
1.单因素方差分析（one-way ANOVA） 也称为完全随机 设计(completely random design)的方差分析。该设计 只能分析一个因素下多个水平对试验结果的影响。
2.双因素方差分析（two-way ANOVA） 称为随机区组设 计（randomized block design）的方差分析。该设计可 以分析两个因素。一个为处理因素，也称为列因素；一个 为区组因素，也称为行因素。
思考几个问题
• 在前面的章节已经学过t检验,他们的适
用于何种资料类型,应用条件是什么?
• t检验解决了两样本均数比较的问题,当
出现多组比较的情况怎么办?
• 多组比较时能否直接用两两比较的t检
验得出结论?
例 某医生为研究一种四类降糖新药的疗效，以统 一的纳入标准和排除标准选择了60名2型糖尿病患 者，按完全随机设计方案将患者分为三组进行双盲 临床试验。其中，降糖新药高剂量组21人、低剂量 组19人、对照组20人。对照组服用公认的降糖药物， 治疗4周后测得其餐后2小时血糖下降值，结果如表 所示。问治疗4周后，餐后2小时血糖下降值的三组 总体平均水平是否不同？
试验处理（treatment）: 事先设计好的实施
在实验单位上的具体项目就叫试验处理。如 进行饲料的比较试验时，实施在试验单位上 的具体项目就是具体饲喂哪一种饲料。
end
试验单位（ experimental unit ）: 在实验中能
接受不同试验处理的独立的试验载体叫试验单 位。一只小白鼠，一条鱼，一定面积的小麦等 都可以作为实验单位。
问题
上面问题能否用前面所学两样本的t检验进行 两两比较（即分别作3次两样本的t检验）而得出结 论呢？
有人说，我们可以把多组数据化成n个两组数 据（化整为零），用n次t检验来完成这个多组数 据差异显著性的判断。
对多个处理进行平均数差异显著性检验时，采用t检验法的缺点：
1.检验过程烦琐。
缺
点
试验包含４个处理
各因只素不引过起将方差的分起子（离误均差差） 平方和及分母自由度ν分开，分 别考虑。
总变异=组间变异+组内变异
方差分析(Analysis of variance，ANOVA)
方差分析的定义
又叫变量分析，是英国著名统计学家R . A . Fisher于20世纪提出的。它是用以检验两个或多个 均数间差异的假设检验方法。它是一类特定情况下 的统计假设检验，或者说是平均数差异显著性检验 的一种引伸。为纪念Fisher，以F命名，故方差分析 又称F检验 。
四、方差分析的主要用途
①进行两个或两个以上样本均数的比较； ②可以同时分析一个、两个或多个因素对试验 结果的作用和影响； ③分析多个因素的独立作用及多个因素之间的 交互作用； ④进行两个或多个样本的方差齐性检验等。 方差分析对分析数据的要求及条件比较严格， 即要求各样本为随机样本，各样本来自正态总 体，各样本所代表的总体方差齐性或相等。
5.正交试验设计的方差分析 如果要分析的因素有三个或三个以上，可 进行正交试验设计（orthogonal experimental design）的方差分析。 当分析因素较多时，试验次数会急剧增加，用此设计进行分析则更能 体现出其优越性。该设计利用正交表来安排各次试验，以最少的试验 次数，得到更多的分析结果。
（1）Xij 意义为第i组的第j个数据。其中下标 i 表示列，j 表 示行。
（2） 意Xij义为将第i组的全部j个数据合计。 j
end
（3） 将(第Xij )i2组的j个数据合计后平方，
ij
再将所有各i组的平方值合计。 （4）变异来源 ①SS总：表示变异由处理因素及随机误差
共同所致；② SS组间：表示变异来自处理因素的作用或 影响；③SS组内：表示变异由个体差异和测量误差等随
机因素所致。
即SS总＝SS组间＋SS组内。
end
例9-1某医生为研究一种四类降糖新药的疗效，以统 一的纳入标准和排除标准选择了60名2型糖尿病者， 按完全随机设计方案将患者分为三组进行双盲临床 试验。其中降糖新药高剂量组21人、低剂量组19人、 对照组20人。对照组服用公认的降糖药物，治疗四 周后测得其餐后2小时血糖下降值（mmol/L），结果 如表9-1所示。问治疗四周后，餐后2小时血糖下降 值的三组总体平均水平是否不同？
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方差分析的基本功能
对多组样本平均数差异 的显著性进行检验
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二、方差分析的优点
❖不受比较组数的限制，可比较多组均数 ❖可同时分析多个因素的作用 ❖可分析因素间的交互作用
三、方差分析的应用条件
❖独立性：各样本是相互独立随机的样本 ❖正态性：各样本都来自正态总体 ❖方差齐性：各样本的总体方差相等
第一节 完全随机设计资料的方差
分析
一、方差分析的基本思想
方差分析的基本思想：根据资料设计的类型及研究
目的，可将总变异分解为两个或多个部分，每个部
分的变异可由某因素的作用来解释。通过比较可能
由某因素所至的变异与随机误差变异，度即的大可小了可以解用该标准因差素
对测定结果有无影响。 用公式概括为：
或方差来衡量，此处既然是方差 分析就用方差来衡量。由个体差异引
重复（repetition）: 在实验中，将一个处理实
施在两个或两个以上的试验单位上，称为处理 有重复；一处理实施的试验单位数称为处理的 重复数。例如，用某种饲料喂4头猪，就说这个 处理（饲料）有4个重复。
end
因素（因子）—— 可以控制的试验条件 因素的水平 —— 因素所处的状态或等级 单（双）因素方差分析——讨论一个（两个） 因素对试验结果有没有显著影响。
分组方法：先将60名糖尿病患者从1开始到60编号； 从随机数字表（附表15）中的任一行任一列开始， 依次读取三位数作为一个随机数录于编号下；然后将 全部随机数从小到大编序号(数据相同的按先后顺序 编序号)，将每个随机数对应的序号记录；规定序号 1-21为甲组，序号22-40为乙组，序号41-60为丙组。
4.多因素多水平
如某肿瘤的联合化疗方案。
随机变量的数字特征
• 随机变量是对随机事件的数学描述
• 而一个随机变量的分布特征我们用什么方法描
述呢？
• 数学期望：E（X）—μ —分布的中心位置 • 方离均差差平方：和V（X）—σ2 —分布的离散程度
总体方差 样本方差
2 X ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 2
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S2
X X
end
第一节 完全随机设计资料的方差分析
完全随机设计：(completely random design)是采
用完全随机化的分组方法，将全部试验对象分配到g个
处理组（水平组），各组分别接受不同的处理，试验 结束后比较各组均数之间的差别有无统计学意义，推 论处理因素的效应。
end
第一节 完全随机设计资料的方差分析
1.特点 单因素方差分析是按照完全随机设计的原则将处理 因素分为若干个不同的水平，每个水平代表一个样本，只 能分析一个因素对试验结果的影响及作用。其设计简单， 计算方便，应用广泛，是一种常用的分析方法，但其效率 相对较低。该设计中的总变异可以分出两个部分，
•
即SS总＝SS组间＋SS组内。
2.常用符号及其意义
（2） 多组均数比较的检验假设与F 值的意义。
（3） 方差分析的应用条件。 2．常见实验设计资料的方差分析 （1）完全随机设计的单因素方差分析：适用的资料类型、总变异分解（包 括自由度的分解）、方差分析的计算、方差分析表。 （2）随机区组设计资料的两因素方差分析：适用的资料类型、总变异分解 （包括自由度的分解）、方差分析的计算、方差分析表。 （3）多个样本均数间的多重比较方法： LSD-t 检验法；Dunnett-t 检验法； SNK-q 检验法。 （二）熟悉内容 多组资料的方差齐性检验、变量变换方法。 （三）了解内容 两因素析因设计方差分析、重复测量设计资料的方差分析。
t 检验： C42 ＝ 6次
2.无统一的试验误差，误差估计 的精确性和检验的灵敏性低。
缺 点
t检验：C42 ＝6次
需计算 6个标准误
误差估计不统一
误差估计精确性降低
3.推断的可靠性低，检验时犯α错误
缺
概率大。 α=0.05
点
例如我们用t检验的方法检验4个样本平均数之间的差异显著性
t检验： C42 ＝6次
6次检验 相互独立
H0的概率： 1-α＝0.95
6次都接受的概率(0.95)6＝0.735 犯α错误的概率＝1-0.735＝0.265
犯α错误的概率明显增加
t 检验可以判断两组数据平均数间的差异显著
性，而方差分析既可以判断两组又可以判断多组数 据平均数之间的差异显著性。
离均差平方和
总体方差 样本方差
g 个处理每个处理有 n 个观测值的数据模式
处理分组
测量值
统计量
1 水平 2 水平
… g 水平
X11
X12 … X1j …
X1n1
n1
X1
S1
X21 X22 … X2j … X2n2
n2
X2
S2
… ………… … … … …
Xg1 Xg2 … Xgj … X gng
ng
Xg
Sg
表9-1 2型糖尿病患者治疗4周后餐后2小时血糖的下降值（mmol/L）
试验因素（ experimental factor）： 试验中所
研究的影响试验指标的因素叫试验因素。当试 验中考察的因素只有一个时，称为单因素试验； 若同时研究两个或两个以上因素对试验指标的 影响时，则称为两因素或多因素试验。
end
因素水平（level of factor）: 试验因素所处的
某种特定状态或数量等级称为因素水平，简 称水平。如研究3个品种奶牛产奶量的高低， 这3个品种就是奶牛品种这个试验因素的3个 水平。
卫生统计学（第五版）
卫生统计学与数学教研室
第九章 方差分析
一、 完全随机设计资料的方差分析 二、 随机区组设计资料的方差分析 三、 析因设计资料的方差分析 四、重复测量资料的方差分析 五、 多个样本均数的两两比较 六、方差分析前提条件和数据转换
教学大纲要求:
（一）掌握内容 1．方差分析基本思想 （1） 多组计量资料总变异的分解，组间变异和组内变异的概念。
2 X 2
N
S2
X X
2 X 2 X 2 / n
n 1
n 1
方差—随机变量离散的重要衡量方法
试验指标（experimental index）： 为衡量试验
结果的好坏和处理效应的高低，在实验中具体 测定的性状或观测的项目称为试验指标。常用 的试验指标有：身高、体重、日增重、酶活性、 DNA含量等等。
2 X 2 X 2 / n
n 1
n 1
方差—随机变量离散的重要衡量方法
第九章 方差分析
方差分析就是将全部观察值的变异（总 变异）按设计和需要分解成两个或多个组成 部分，再进行变异来源和大小的分析。
方差分析：比较2个或2个以上的总体均值是否有 显著性差异。用组间的方差与组内方差相比，据 以判别误差主要源于组间的方差（不同组工人的 产量，条件误差），还是源于组内方差（随机误 差）。