1.1平板波导几何光学分析1102

1 1
1 1
导模
§1.1 平板波导几何光学分析 2011年2月
第一章 平板波导
波导的n1、n2界面的全反射临界角 波导的n1、n3界面的全反射临界角 因为 n2 n3，所以 C12 C13
C 12 arcsin
C 13 arcsin
n2 n1
n3 n1
§1.1 平板波导几何光学分析 2011年2月
第一章 平板波导
X 覆盖层 薄膜层 衬底层
Z
n3 n1 n2
Y
平板波导
Z-光波传输方向
从物理量随着指标变化来看，平板波导只与X、Z两 个指标波导。又可称平板波导为二维波导。
§1.1 平板波导几何光学分析 2011年2月
第一章 平板波导
设n1 > n2 n3
n2= n3－对称平板波导； n2 n3－非对称平板波导；
sin 1 sin C 12 sin C 13
将
sin C 12
n2 n1
代入
n1sin 1 n2
n2 sin1 n1
k0n1sin 1 k0n2
而传播常数
k1z k0 n1 sin 1
n2 k0
§1.1 平板波导几何光学分析 2011年2月
第一章 平板波导
1、导模 （1）传播常数 因为是导模，所以 1 > C12 C13， 定义：传播常数－薄膜层中，沿Z方向的波数。
k1z k0 n1 sin 1
n1k0
1
Z
＝k1z =n1k0 sin1
§1.1 平板波导几何光学分析 2011年2月

第一章 平板波导
覆盖层中，
2 2 2 k3 x k0 n3 2 0
所以， k2x、k3x为实数。 意义：辐射模情形，衬底、覆盖层中，光场随着x坐 标变化(离开波导)沿X方向有效传播，产生辐射，能
量不能有效地沿Z方向传输。
§1.1 平板波导几何光学分析 2011年2月
第一章 平板波导
三、导模横向谐振条件 (导模色散方程、特征方程)
n3k0 < < n2k0
§1.1 平板波导几何光学分析 2011年2月
第一章 平板波导
衬底中，
2 2 2 2 2 2 | k | k0 n2 k2 x k2 z k2 x 2
2 2 2 k2 x k0 n2 2 0
覆盖层中，
2 2 2 2 2 2 | k | k0 n3 k3 x k3 z k3 x 2
§1.1 平板波导几何光学分析 2011年2月
第一章 平板波导
§1.1 平板波导几何光学分析 一、全反射分析
nA
X Z
A A
光学Snell定律 n A sin A nB sin B
全反射临界角
nB
B
折射定律
X
n A nB 若
，当 arcsinnB A
，
nA
Z
nA
nB
A A
根据电磁场理论－界面切线场连续，即在n1、
n2界面两侧，以及n1、n3界面两侧沿Z方向的传输
行为相同，可以证明：
k 2 z k 3 z k1z
§1.1 平板波导几何光学分析 2011年2月
第一章 平板波导
可见，导模的传播参数 β， 就是波导各层中 （相等的）沿传输方向的波矢分量
k 2 z k 3 z k1z
§1.1 平板波导几何光学分析 2011年2月
第一章 平板波导
（2）衬底和覆盖层中，导模光场随着X坐标变化分析 衬底中
2 2 2 2 2 2 | k | k0 n2 k2 x k2 z k2 x 2
2 2 2 k2 x k0 n2 2
覆盖层中
2 2 2 2 2 2 | k | k0 n3 k3 x k3 z k3 x 2
2 2 2 k3 x k0 n3 2 0
可见， k2x为实数，k3x为纯虚数 意义：衬底辐射模情形，覆盖层中，随着x坐 标变化(离开波导)，光场作指数衰减；衬底中，光
场随着x坐标变化(离开波导)，有效传播，产生衬
底辐射； 能量不能有效沿Z方向传输。
§1.1 平板波导几何光学分析 2011年2月
第一章 平板波导
3、辐射模 因为 1 < C13 C12 , 所以 sin 1 < sinC13 sin C12 sin 1 < n3/n1 n2/n1 所以 n1k0sin 1 < n3k0 n2k0
所以，传播常数 k1z k0 n1 sin 1 满足
< n3k0 n2k0
其中 E0 (r ) 、H 0 (r ) －与空间坐标有关的振幅 k －波矢 2 －波数。n-折射率 k | k | nk 0 n
k0 平板波导几何光学分析 2011年2月
第一章 平板波导
k k x i x k y i y kz iz
E ( r , t ) E0 e
i (t k r )
E0 e
E0e i[t ( k3 x x 0 y z )] E0e i[t ( iqx z )] E0e qx e i[t z ]
波导是无源的，随着X坐标变化只能是衰减。 所以， p、q分别为衬底、覆盖层中衰减系数。
第一章 平板波导
• 波导中光模式【模式：光场的存在】 1、导模 1 > C12 C13 光沿Z方向有效传输。光能量被限制在n1中，沿 X方向呈衰减。
X Z
n3 n1 n2
1 1
1 1
导模
§1.1 平板波导几何光学分析 2011年2月
第一章 平板波导
2、衬底辐射模 C13 < 1 < C12
i [ t ( k 2 x x 0 y z )]
E0e i[ t ( ipx z )]
E0e px e i[ t z ]
§1.1 平板波导几何光学分析 2011年2月
第一章 平板波导
覆盖层，
2 k3 x q2 ,
k3 x iq
i [t ( k 2 x x k 2 y y k 2 z z )]
§1.1 平板波导几何光学分析 2011年2月
第一章 平板波导
衬底中，
2 2 2 2 2 2 | k | k0 n2 k2 x k2 z k2 x 2
2 2 2 2 2 2 | k | k0 n3 k3 x k3 z k3 x 2
2 2 2 k2 x k0 n2 2 0
所以
第一章 平板波导
又
θ1 900
k0 n1 sin1 k0 n1 sin1 | 900 k0 n1
1
所以， 导模传播常数满足
n2 k0 n1 k0
§1.1 平板波导几何光学分析 2011年2月
第一章 平板波导
定义有效折射率 导模
N / k0
n2 N n1
第一章 平板波导
平板波导是形式最简单的光波导，是波导光学 的基本结构。
Z(传输方向，无限远) X(折射率分布方向)
覆盖层 （+X方向无限，Y方向无限）
薄膜层（波导层） （Y方向无限大）
折射率n3 折射率n1 折射率n2 衬底层 （-X方向无限，Y方向无限）
Y
§1.1 平板波导几何光学分析 2011年2月
q为覆盖层中沿X方向的衰减系数。
注意：p、q为实数。
2 k2 x p 2 , 在衬底，
k 2 x ip
E ( r , t ) E0 e E0 e
i ( t k r )
E0 e
i [ t ( k 2 x x k 2 y y k 2 z z )]
2 2 2 2 | k | k 2 k x k y k z2 k0 n2
平板波导Y方向波矢分量=0 推导：
E(r , t ) E0 (r )e
i (t k r )
H (r , t ) H 0 (r )e
i (t k r )
其中 E0 (r ) 、 0 (r )与Y无关（不随Y变化而变化）。 H
相位差，应该为2m
n1中，波数为k0 n1，X方向的波数分量(横向相位 常数)
k1 x k0 n1 cos 1
i [t ( k x x k y y k z z )] i ( t k r ) E ( r , t ) [ E 0 ( r )e ] E0 (r ) e y y y
ik y [ E 0 ( r )e
i ( t k r )
] 0
§1.1 平板波导几何光学分析 2011年2月
第一章 平板波导
k y 0
k1 y k2 y k3 y 0
所以，平板波导
k k x i x kz iz
2 2 2 2 | k | k k x kz2 k0 n2
问题：波矢的意义？
§1.1 平板波导几何光学分析 2011年2月
§1.1 平板波导几何光学分析 2011年2月
第一章 平板波导
2、衬底辐射模 因为 C13 < 1 < C12 , 所以 sin C13 < sin 1 < sin C12 n3/n1 < sin 1 < n2/n1 所以 n3k0 < n1k0sin 1 < n2k0 此时，传播常数 k1z k0 n1 sin 1 满足
2 2 2 k3 x k0 n3 2
n2 k0 n3 k0
所以，
2 k 2 x 0,
2 k3 x 0
k2x、k3x为纯虚数。
§1.1 平板波导几何光学分析 2011年2月
第一章 平板波导
k2x、 k3x为纯虚数意义：
对于导模，在衬底、覆盖层中，随着x坐标变化
从物理光学的角度，导模除了满足全反射，还应
该满足横向谐振条件。
横向限制条件－指波导横截面上，光波在n1、n2
以及n1、n3界面往返一周，在横向X 方向应该同相位
，满足相涨干涉条件。
§1.1 平板波导几何光学分析 2011年2月
第一章 平板波导
如图所示，从A出发的光波经过n1、n3界面A1点，
以及n1、n2界面A2点，在X方向往返一周，A2与A的
光能量有效进入衬底。光不能沿Z方向有效传输。
X Z
n3 n1 n2
1 1
1 1
导模
衬底辐射模
§1.1 平板波导几何光学分析 2011年2月
第一章 平板波导
3、辐射模 1 < C13 < C12
光能量有效进入衬底、覆盖层。光不能沿Z方向
有效传输。
X Z
n3 n1 n2
1 1
1 1
第一章 平板波导
第一部分 平面波导理论
平板波导 三维平面波导传输模式分析 渐变折射率平面波导的传输模式分析
电光、声光效应下的波导；定向耦合原理
§1.1 平板波导几何光学分析 2011年2月
第一章 平板波导
第一章 平板波导
主要内容：（平板）波导基本分析方法
模式、导模、截止概念
导模场基本分布
§1.1 平板波导几何光学分析 2011年2月
导模
衬底辐射模
辐射模
§1.1 平板波导几何光学分析 2011年2月
第一章 平板波导
二、传播常数分析
根据电磁场理论，光是电磁波，光电场、磁场强
度可以写为：
E(r , t ) E0 (r )e
i (t k r )
H (r , t ) H 0 (r )e
i (t k r )
（远离波导），光场作指数衰减：
能量被限制在n1薄膜层及其表面，有效地沿Z方 向传输。 理解： 令
2 2 2 p 2 k2 x 2 k0 n2
p为衬底中沿X方向的衰减系数。
§1.1 平板波导几何光学分析 2011年2月
第一章 平板波导
令
2 2 2 q 2 k3 x 2 k0 n3
无折射－全反射
全反射
§1.1 平板波导几何光学分析 2011年2月
第一章 平板波导
设介质折射率n1 > n2 n3
n 1 arcsin 2 n1
n1
X X Z Z
n3 1 arcsin n1
n3
1 1
n2
+
X Z
n1
1 1
=
n1—n2 界面全反射
n3 n1 n2
n1—n3 界面全反射