不等式证明方法与技巧

2、两种形式
（1）三角换元 对于条件不等式的证明问题，当所给条件较复杂，一 个变量不易用另一个变量表示，可考虑用三角代换， 将复杂的代数问题转化为三角问题． （2）增量代换 在对称式(任意互换两个字母,代数式不变)和给定字 母顺序(如a＞b＞c)的不等式,常用增量进行代换,代 换的目的是减少变量的个数,使要证的结论更清晰, 思路更直观,这样可以使问题化难为易,化繁为简。
七、放缩法
1、定义
欲证不等式A≤B，可通过适当放大或缩小，借助一 个(或多个)中间量C作比较，使得A≤C与C≤B同时 成立，由不等式的传递性知A≤B显然成立，这种方 法叫做放缩法。
2、证明思路
利用放缩法证明不等式，要根据不等式两端的特征 及已知条件，采取舍掉式中一些正项或负项，或者 在分式中放大或缩小分子、分母、把式子中的某些 项换以较大或较小的数，从而达到证明不等式的目 的．此类证法是一种技巧性较强的不等变形，必须 时刻注意放缩的跨度，进行恰当地放缩，任何不适 宜的放缩(放的过大或过小)都会导致推证的失败。
2 2 2 2 2 2
y y x x 2 2 z x 2 2 2 2 同理可得 y yz z y , z zx x z 2 2
所以三式相加得 x 2 xy y 2 y 2 yz z 2 z 2 zx x 2
由于x , y , z不全为零， 故上述三式中至少有一 式取不到等号，
1 2 2 例 4、已知1 x y 2, 求证 : x - xy y 3. 2
2 2
练习:
设x , y R, 满足x ( y 1) 1
2 2
总有x y c 0成立, c的取值范围是 A. 2 1 , C.
2 1,
甲有一半时间以 m速 度 行 走 ， 另 一 半 时 以 间速度 n行 走 ；
例5、 已 知 是 不 全 相 等 的 数 正， 且 a b c 1, 1 求证： ab bc ca 3
例6、设a,b是不相等的正数，求证：a b (ab)
a b
a b 2
二、综合法
1、定义
2 2 2 2 2 2
bc ca ab 2、 abc a b c
b c a 3、 a b c a b c
2
2
2
4、若a、b、c是不全相等得正数
ca bc ab 求证：lg ＋lg ＋lg 2 2 2
＞lga+lgb+lgc
三、分析法
1、定义
从求证的不等式出发，层层推出使这个不等式成 立的充分条件，直到得到一个明显成立的不等式 或一个比较容易证明的不等式为止，这种证明方 法叫做分析法。
放缩法
1 n n ( n 1) n 2
补充例题: 1.已 知ABC的 三 边 长 是 a , b, c , 且m为 正 数 , a b c 求 证: am bm cm
x m 证明 : 设函数f ( x ) 1 ( x 0, m 0), xm xm 易知f ( x )在( 0,)上是增函数.
a b a b am bm abm abm ab f (a b) abm c 又a b c , f (a b ) f ( c ) cm a b c am bm cm f (a ) f (b)
2.已 知 实 数 x , y , z不 全 为 零 ， 求 证： 3 x xy y y yz z z zx x ( x y z ) 2 y 2 3 2 y 2 2 2 证明： x xy y ( x ) y ( x ) 2 4 2
例3、设a1 ,a 2 , ..., a n 都是正数，证明：对任意对正整数n, 都有（a1 +a 2 +...+an )2 n(a12 +a 2 2 +...+an 2 )
例1、已知a,b,c,d是正数，求证： a b c d 1 2 abd bcd cd b d ac
例2、求证： 1
提示：
1 2

1 3

1 n
2 n， (n N )
*

1 k

2 2 k

2 k k 1
2( k k 1), k N
典型例题
1 例1、已知 x y z 1, 求证： x y z 3
2 2 2
增量代换
例2、已知a1 a2 an 1, 求证 : a a2 an
2 1 2 2
1 . n
增量代换
例3、 设 实 数 x , y , m , n满 足 ： x 2 y 2 3, m 2 n 2 1, 求mx ny的 最 大 值 .
一、比较法
比较法是证明不等式最基本的方法也是最常用的方法。
两种形式
几点说明
a b a b 0,a b a b 0; a a ②作商法： 当b 0时,a b 1,a b 1; b b
①作差法： ①作较法证明不等式的思路:作差(商),变形,判断；
原结论词 大于（>） 反设词 不大于 （≤） 有无穷多个 只有有限多个 小于（<） 不小于 （≥） 都是 不都是 都不是 至少有一个是 至少n个 至多n个 至多n-1个 至少n+1个
原结论词 反设词
存在唯一的 不存在或至少存在两个
Байду номын сангаас
对任意p，使…恒成立 至少有一个p，使…不成立
例1、设a,b,c (0,1), 求证： 1 （ 1 a)b,(1 b)c,(1 c)a不可能同时大于 4
( a b )2 ( a b ) 0 ab
a b a b b a
证明方法二：
综 合 法
a b a a b b b a ab
( a b )(a ab b) ab ( a b )(2 ab ab) ab
a b
a b a b b a
y z x 3 ( x ) ( y ) (z ) ( x y z) 2 2 2 2
a b a b 3、已知a, b是实数, 求证 . 1 a b 1 a 1 b
证明 : 0 a b a b ab ab 1 1 1 1 1 a b 1 a b 1 a b 1 a b a b a b . 1 a b 1 a b 1 a 1 b
( a b )2 ( a b ) 即证 : 0, 成立 ab
a b a b b a
2、设a,b R, 且a b 1 求证：a b 3ab 1.
3 3
分析法
3、已知a,b,c R
a b c
a b c 3
求证 : a b c (abc)
*
1 1 1 1 例3、设n N , 求证 : . 2 9 25 (2n 1) 4
*
1 1 1 1 1 1 提示： 2 2 ( ) 2 （2n+1) 4n 4n 1 4n 4n 4 n n 1
例4、设n N* , 求证 : n(n 1) (n 1)2 1 2 2 3 n (n 1) . 2 2
B . , 2 1 2 1
D. ,
五、判别式法
1、定义
是根据已知或构造出来的一元二次方程， 一元二次不等式，二次函数的根、解集、 函数的性质等特征确定出判别式所应满足 的不等式，从而推出要证的不等式的方法.
2、注意 考虑二次项系数是否可以为零
1 x x 1 3 例1、求证： 2 2 x 1 2
证明方法三：要 证 : a b a b b a a b 只 需 证: ( a b) 0 分 b a 析 a a b b ab( a b ) 即证: 0 法
ab
a a b b (a b b a ) 只需证: 0 ab
(a b)( a b ) 即证 : 0 ab
八、构造函数法(导数法）
1、定义
根据函数的单调性证明不等式的方法.
2、证明思路
（1）构造函数
（2）探讨函数的单调性 （3）利用单调性证明不等式
4 例1、证明： sin x 5 2 sin x
2
例2、设0 x 1, 0 y 1, 0 z 1, 求证： x(1 y) y(1 z) z(1 x) 1
2
例2、已知a,b,c R, 求证：a b c ab bc ca
2 2 2
六、反证法
1、定义
从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论 的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。
2、证明思路
反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的， 在使用反证法时，必须在假设中罗列出各种与原命题相 异的结论，缺少任何一种可能，则反证法都是不完全 的．
2、证明思路
分析法的证题思路是执果索因，也就是从求证的不 等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把 证明这个不等式的问题转化为这些条件是否具备的 问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可 以判定所证的不等式成立。这种方法在探求不等式 的证明思路时是最有效的方法之一。
例1、已知a 0, b 0, 2c a b 求证•:c- c ab a c c ab
.
比较法（作商）
4、设a,b,c为三个不全相等的正数, 且abc 1, 1 1 1 求证 : a b c . a b c
综合法
5、已知a 1, 0 求证 : loga (a ) log (a ) (a 2).
分析综合法
四、换元法
1、定义
换元法是指结构较为复杂、量与量之间关系不很明显 的命题，通过恰当引入新变量，代换原题中的部分式 子，简化原有结构，使其转化为便于研究的形式。用 换元法证明不等式时一定要注意新元的取值范围。
②作差法证题时, 通常是进行因式分解,利用各因式的符 号进行判断,或进行配方,利用非负数的性质进行判断；
③作商法证题时,通常要考虑式子的正负,尤其是作为除 式式子的值必须确定符号;证幂指数、根式或乘积不等 式时常用比商法。
例1、求证： x 3 3x
2
例2、 已 知 a , b, m 都 是 正 数 ， 并 且 a b， 求 证 ： am a bm b
例3、 已 知 a , b是 正 数 ， 且 a b， 求 证 ： a b a b ab
3 3 2 2
例4、 甲 、 乙 两 人 同 时 同 沿 地同一路线走到同一点 地. 乙有一半路程以速度 m行 走 ， 另 一 半 路 程 以 度 速n行 走. 如 果m n， 问 甲 、 乙 两 人 谁 先 达 到指定地点 .
利用已知条件或某些已证明过的不等式作为基础， 再运用不等式的性质推导出所要证的不等式，这 种证明方法称为综合法。
2、证明思路
综合法的证题思路是由因导果，也就是从已知 的不等式出发，不断地用必要条件代替前面的 不等式，直接推导出所要证的不等式。
已知a,b,c均为正数，证明下列不等式:
1、a(b c ) b(a c ) c(a b ) 6abc
2 2
例2、设a b c且a b c 0 求证 : b ac 3a
2
典型练习
1、若a、b均为正数, 求证 : a
b
b a 证明方法一： a b ( a b ) b a
比 较 法
a b.
a a b b ab( a b ) ab
a a b b (a b b a ) ab (a b)( a b ) ab