简谐振动
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I
G A
H
简谐振动曲线如图 以上描述简谐振动的方法称为简 谐振动的矢量图解法.
T
N
J
M
K T
L
t
12
旋转矢量
自Ox轴的原点 O作一矢量 A，使 它的模等于振动的 振幅A，并使矢量 A A 在 Oxy平面内绕点 t 0 O作逆时针方向的 o x0 x 匀角速转动，其角 x0 A cos 速度 与振动频率 相等，这个矢量就 叫做旋转矢量.
18
解：设物体沿x 轴作简谐振动
A = 10.0 cm = 0.100 m
m 0.500 当t = 0 时 ，x = A ，cos =1 ，
所以 x = 0.100 cos 8.00 t m
k
32.0
rad s
1
8.00 rad s
-1
即 =0
速度、加速度的最大值为 vm = A = 8.00×0.100 m s1 = 0.800 ms1 am= 2 A = (8.00)2 ×0.100 m s2 = 6.40 ms2 所以 v = 0.800 sin 8.00 t ms1
x0 A cos
2 A x0
2
2 v0
v0 Asin
v0 t an x0
10
对给定振动系统，周期由系统本身性质决定， 振幅和初相由初始条件决定.
讨论
已知 t
0, x 0, v 0 求
π A sin 0 取 2 o π x A cos( t ) A 2
π 2 v0 A sin 0
0 A cos
v
x
x
T 2
o
T
t
11
三、简谐振动的矢量图解法和复数解法
简谐振动可以用旋转矢量来描绘 t=0时刻, 投影点位移
x A cos(t )
y
x0 A cos
M
P
O ωt
x
在任意时刻, 投影点的位移
例 1：有一劲度系数为32.0 N m-1 的轻弹簧, 放置 在光滑的水平面上，其一端被固定, 另一端系一质量 为500 g的物体。将物体沿弹簧长度方向拉伸至距平 衡位置10.0 cm 处，然后将物体由静止释放, 物体将 在水平面上沿一条直线作简谐振动。分别写出振动 的位移、速度和加速度与时间的关系。
松鼠
6.3
鲸
0.13
6
昆虫翅膀振动的频率（Hz）
雌性蚊子
雄性蚊子 苍 黄 蝇 蜂
355~415
455~600 330 220
7
3 相位
t
（描述振动状态的物理量）
1） t
( x, v) 存在一一对应的关系; x A cos(t ) v A sin(t )
相差 2nπ (n 为整数 )质点运动状态全同.（周期性）
3）初相位
0 (t 0) 描述质点初始时刻的运动状态.
或
由初始条件决定 (
取 [ π π]
[0 2π] )
9
常数
A和 的确定
x A cos(t ) v A sin(t )
初始条件
t 0 x x0 v v0
O
ห้องสมุดไป่ตู้
vm
an
π t 2
vm A
v A cos(t )
A
x A cos(t )
a
v
x
an A
2
a A 2 cos( t )
16
简谐量的复数表示 简谐量 x 是复数 ~ x 的实部，振幅与模相对应，相 位与辐角相对应。
在SI制中, 单位分别为 周期 S (秒)、频率 Hz (赫 兹)、角频率 rad· s-1 (弧度 / 秒)
例如，心脏的跳动80次/分
1 60 周期为 T (min ） (s) 0.75 s 80 80
频率为 n 1 / T 1.33Hz
5
动物的心跳频率(参考值,单位:Hz) 大象 猪 0.4~0.5 1~1.3 马 兔 0.7~0.8 1.7
A 3 当 t x , v A 例： 时： 3 2 2 质点在x A 2 处以速率v向 x方向运动 5 A 3 当 t 时： v A x , 3 2 2 质点在 x A 2 处以速率 v向 x方向运动 8
2）相位在 0 ~ 2π 内变化，质点无相同的运动状态；
过程就是简谐振动。 二、描述简谐振动的特征量 1. 振幅A 振动物体离开平衡位置的最大幅度 在SI制中，单位为 2. 周期和频率 周期T 频率n 圆频率ω 振动物体完成一次振动所需的时间 振动物体在1 秒内所完成振动的次数 振动物体在2 秒内所完成振动的次数 4 m(米)
三者关系
1 n T
2π 2πn T
F = - kx
→线性回复力
2
根据牛顿第二定律有 所以 其解 或
d2 x 2 x0 2 dt
d x F = m a = m 2 = -kx dt k 2 m
x A cos(t )
x A sin(t )
（以后只取此式的形式）
2
理想模型
▲
3
d2 x 2 x0 任何物理量x 的变化规律若满足方程式 2 , dt 并且ω是决定于系统自身的常量，则该物理量的变化
复数解法过程：若要对多个简谐量进行某种运 算, 可以对代表这些简谐量的复数进行相同的运 算。在运算过程中，实部和虚部、模和辐角总是 分别运算而不会相混，所得复数的实部就是这些 简谐量进行该运算的最后结果 。
17
~ x A e i ( t ) A cos( t ) i A sin( t )
13
t t
A
o
t
x
x A cos(t )
以 o 为原 点旋转矢量 A 的端点在 x 轴 上的投影点的 运动为简谐运 动.
14
x A cos(t )
以 o 为原 点旋转矢量 A 的端点在 x 轴 上的投影点的 运动为简谐运 动.
15
y
t
机械振动 物体围绕一固定位置往复运动
是具体的。
振动：任一物理量在某一定值附近往复变化
是抽象的。
简谐运动 最简单、最基本的振动.
简谐运动 合成 分解 复杂振动
1
§7-1 简谐振动
一、简谐振动(simple harmonic vibration )的基本特征 以弹簧振子为例讨论，弹簧 振子是典型的简谐振动 弹簧的弹性力
G A
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简谐振动曲线如图 以上描述简谐振动的方法称为简 谐振动的矢量图解法.
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N
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K T
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旋转矢量
自Ox轴的原点 O作一矢量 A，使 它的模等于振动的 振幅A，并使矢量 A A 在 Oxy平面内绕点 t 0 O作逆时针方向的 o x0 x 匀角速转动，其角 x0 A cos 速度 与振动频率 相等，这个矢量就 叫做旋转矢量.
18
解：设物体沿x 轴作简谐振动
A = 10.0 cm = 0.100 m
m 0.500 当t = 0 时 ，x = A ，cos =1 ，
所以 x = 0.100 cos 8.00 t m
k
32.0
rad s
1
8.00 rad s
-1
即 =0
速度、加速度的最大值为 vm = A = 8.00×0.100 m s1 = 0.800 ms1 am= 2 A = (8.00)2 ×0.100 m s2 = 6.40 ms2 所以 v = 0.800 sin 8.00 t ms1
x0 A cos
2 A x0
2
2 v0
v0 Asin
v0 t an x0
10
对给定振动系统，周期由系统本身性质决定， 振幅和初相由初始条件决定.
讨论
已知 t
0, x 0, v 0 求
π A sin 0 取 2 o π x A cos( t ) A 2
π 2 v0 A sin 0
0 A cos
v
x
x
T 2
o
T
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三、简谐振动的矢量图解法和复数解法
简谐振动可以用旋转矢量来描绘 t=0时刻, 投影点位移
x A cos(t )
y
x0 A cos
M
P
O ωt
x
在任意时刻, 投影点的位移
例 1：有一劲度系数为32.0 N m-1 的轻弹簧, 放置 在光滑的水平面上，其一端被固定, 另一端系一质量 为500 g的物体。将物体沿弹簧长度方向拉伸至距平 衡位置10.0 cm 处，然后将物体由静止释放, 物体将 在水平面上沿一条直线作简谐振动。分别写出振动 的位移、速度和加速度与时间的关系。
松鼠
6.3
鲸
0.13
6
昆虫翅膀振动的频率（Hz）
雌性蚊子
雄性蚊子 苍 黄 蝇 蜂
355~415
455~600 330 220
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3 相位
t
（描述振动状态的物理量）
1） t
( x, v) 存在一一对应的关系; x A cos(t ) v A sin(t )
相差 2nπ (n 为整数 )质点运动状态全同.（周期性）
3）初相位
0 (t 0) 描述质点初始时刻的运动状态.
或
由初始条件决定 (
取 [ π π]
[0 2π] )
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常数
A和 的确定
x A cos(t ) v A sin(t )
初始条件
t 0 x x0 v v0
O
ห้องสมุดไป่ตู้
vm
an
π t 2
vm A
v A cos(t )
A
x A cos(t )
a
v
x
an A
2
a A 2 cos( t )
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简谐量的复数表示 简谐量 x 是复数 ~ x 的实部，振幅与模相对应，相 位与辐角相对应。
在SI制中, 单位分别为 周期 S (秒)、频率 Hz (赫 兹)、角频率 rad· s-1 (弧度 / 秒)
例如，心脏的跳动80次/分
1 60 周期为 T (min ） (s) 0.75 s 80 80
频率为 n 1 / T 1.33Hz
5
动物的心跳频率(参考值,单位:Hz) 大象 猪 0.4~0.5 1~1.3 马 兔 0.7~0.8 1.7
A 3 当 t x , v A 例： 时： 3 2 2 质点在x A 2 处以速率v向 x方向运动 5 A 3 当 t 时： v A x , 3 2 2 质点在 x A 2 处以速率 v向 x方向运动 8
2）相位在 0 ~ 2π 内变化，质点无相同的运动状态；
过程就是简谐振动。 二、描述简谐振动的特征量 1. 振幅A 振动物体离开平衡位置的最大幅度 在SI制中，单位为 2. 周期和频率 周期T 频率n 圆频率ω 振动物体完成一次振动所需的时间 振动物体在1 秒内所完成振动的次数 振动物体在2 秒内所完成振动的次数 4 m(米)
三者关系
1 n T
2π 2πn T
F = - kx
→线性回复力
2
根据牛顿第二定律有 所以 其解 或
d2 x 2 x0 2 dt
d x F = m a = m 2 = -kx dt k 2 m
x A cos(t )
x A sin(t )
（以后只取此式的形式）
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理想模型
▲
3
d2 x 2 x0 任何物理量x 的变化规律若满足方程式 2 , dt 并且ω是决定于系统自身的常量，则该物理量的变化
复数解法过程：若要对多个简谐量进行某种运 算, 可以对代表这些简谐量的复数进行相同的运 算。在运算过程中，实部和虚部、模和辐角总是 分别运算而不会相混，所得复数的实部就是这些 简谐量进行该运算的最后结果 。
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~ x A e i ( t ) A cos( t ) i A sin( t )
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t t
A
o
t
x
x A cos(t )
以 o 为原 点旋转矢量 A 的端点在 x 轴 上的投影点的 运动为简谐运 动.
14
x A cos(t )
以 o 为原 点旋转矢量 A 的端点在 x 轴 上的投影点的 运动为简谐运 动.
15
y
t
机械振动 物体围绕一固定位置往复运动
是具体的。
振动：任一物理量在某一定值附近往复变化
是抽象的。
简谐运动 最简单、最基本的振动.
简谐运动 合成 分解 复杂振动
1
§7-1 简谐振动
一、简谐振动(simple harmonic vibration )的基本特征 以弹簧振子为例讨论，弹簧 振子是典型的简谐振动 弹簧的弹性力