矩阵对角化方法的研究

目录

摘要 ........................................................................................................................................... I Abstract. ................................................................................................................................. II 第一章绪论 (1)

1.1 引言 (1)

1.2 预备知识 (1)

1.2.1 可对角化概念及判断是否可对角化相关知识： (1)

1.2.2 相关结论知识： (2)

第二章矩阵对角化方法探究 (5)

2.1 矩阵对角化的方法 (5)

2.1.1 一般矩阵的3种对角化方法 (5)

2.1.2 实对称矩阵的对角化 (10)

第三章运用 (14)

3.1 已知特征值和特征向量，求原矩阵 (14)

3.2 计算方阵的高次幂 (14)

参考文献: (17)

致谢 (18)

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矩阵对角化方法的研究

学生：胡邦群指导教师：何聪教师

摘要对角矩阵是矩阵中形式最为简单但其地位却十分重要，因此对矩阵对角化问题的研究很有价值。本文主要介绍了对于一般矩阵的3种对角化方法并对实对称矩阵的对角化方法以及对角矩阵的运用做了相关补充，同时配例题加以阐述。

关键词: 特征值；特征向量；可对角化；矩阵初等变化；正交变换；线性无关

STUDY OF MATRIX DIAGONALIZATION METHOD

Student: Hu Bangqun Supervisor: He Cong Abstract Diagonal matrix is the matrix form of the most simple ,but its position is very important. So the study torque Angle problem are valuable. This paper mainly introduces the three methods and the general matrix of real symmetric matrices diagonalization method as well as the application of diagonal matrix made relevant supplement, at the same time are discussed with examples.

Keywords: The characteristic value; The feature vectors; Can diagonalization; Matrix elementary change; Orthogonal transformation; Linearly independent

第一章 绪论

1.1 引言

对角矩阵在矩阵理论意义非凡，因而探究矩阵对角化方法很有实用价值。主要表现在： 利用合同关系化解二次型矩阵以及在不同基下矩阵具有相似的特征。基于这些知识我们可以很方便求矩阵的方幂，方阵的逆和行列式等问题，再者，我们知道在复数域C 上矩阵一定与上（下）三角阵（若尔当矩阵）相似，但仅在某种特定的条件下才可相似于对角阵。本文着重介绍一般矩阵对角化的三种方法：一、利用特征值和特征向量将矩阵对角化，二、利用矩阵的初等变换将矩阵对角化，三、利用矩阵的乘法运算将矩阵对角化。然后又对实对称矩阵的对角化方法作了补充，并对对角矩阵的运用作了适当阐述，同时用例子加以说明。

1.2 预备知识

为了更加严密的阐述本文，特此摘录了相关定义、定理、结论：

1.2.1 可对角化概念及判断是否可对角化相关知识：

对角矩阵：是一个主对角线之外的元素皆为零的矩阵，对角线上的元素可以为零或其值。

定义1：设()()()0>∈n F V L n σ

，若存在()F V n 的一组基使得σ在这组基下的矩阵

为对角矩阵，那么我们就说σ是一个可对角化的线性变换。

以上定义等价于:定义 2 设()()0>∈n F M A n ，若存在一可逆矩阵T 使得

()n diag AT T λλλ,...,211=-那么就说A 是一个可对角化矩阵。

特别说明:若令()n T εεε,....,21=，那么定义2中的式子等价于

()()()()n

i A diag Tdiag AT A i i i n n n n ,...2,1,,...,,...,,...,,....,21212121==⇔===ελελλλεεελλλεεε

即:可逆矩阵T 使得第i 列i ε是矩阵A 的属于特征值i λ的特征向量。

性质定理:

设()()()()F M A n F V L n n ∈>∈,0σ那么

定理1 若σ或A 在数域F 中有n 个互异的特征值，那么σ或A 可对角化。 定理2 σ或A 可对角化的充要条件为当σ或A 有n 个线性无关的特征向量。 定理 3 σ或A 可对角化的充要条件为当任意特征值F ∈λ，特征根λ的几何重数等于其对应的代数重数，即λλ=V dim 的重数。

定理4 σ或A 可对角化的充要条件为当σ或A 的最小多项式没有重根。 定理5 σ或A 可对角化的充要条件为当t

V V V V λλλ⊕⊕⊕=...21 其中t

λλλ,....,21是σ或A 的互异的特征值。

定理6 σ或A 可对角化的充要条件是当对任意F ∈λ，有秩λλ-=-n A I n )(的重数。

定理7 矩阵A 可对角化的充要条件为A 的不变因子没有重根。 定理8 矩阵A 可对角化的充要条件为A 的初等因子全为一次。

1.2.2 相关结论知识：

结论1. 对于任一个n 阶实对称矩阵A ，一定存在n 阶正交矩阵T 使得AT T 1

-为对角

矩阵。

证明：对阶数n 作数学归纳法。

当1=n 时显然成立。

假设当取1-n 阶实对称矩阵B 成立，即存在1-n 阶正交矩阵1T 使得111 ,ΛΛ=BT T 表示

对角矩阵，⎪⎪⎪⎪

⎪

⎭

⎫

⎝⎛=Λn λλλ 321

再证明n 阶实对称矩阵也成立

设1λ是A 的一个特征值，1ε是属于1λ的特征向量，那么111ελε=A 由于特征向量的倍数任为特征向量，故可设1ε为单位向量，再将其扩充为n

R 上一组标准正交