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3.4 泰勒公式
3.4.1 泰勒公式 ——用多项式来近似代替较复杂的函数.
若 f(x )在 x 在3 .1 节微分中， 已知 0可导，有
f ( x ) f ( x ) f ( x )( x x ) o ( x x ) 0 0 0 0
P( x) 即 f ( x ) f ( x ) f ' ( x )( x x ) 0 0 0
称 P ( x )为 f( x )在 x n阶泰勒多项 n 0 点的
定理8（泰勒公式1）
的邻域 (a,b) ，在此邻域内有
设函数 f ( x ) 在 x 点处有 n 阶导数，则 x 点 0 0
f ( x ) 2 0 f ( x ) f ( x ) f ( x )( x x ) ( x x ) 0 0 0 0 2 ! ( n ) f ( x ) n n 0 ( x x ) o [( x x ) 0 0 ] n ! n 即 f ( x ) P ( x ) o [( x x ) ] n 0
f ( x ) 2 0 f ( x ) f ( x ) f ( x )( x x ) ( x x ) 0 0 0 0 2 ! ( n ) ( n 1 ) f ( x ) f ( ) n n 1 0 ( x x ) ( x x ) 0 n ! ( n 1 )! 0 ( n 1 ) f ( ) n 1 即 f ( x ) P ( x ) ( x x ) n 0 ( n 1 )!
即 f ( x ) P ( x )
2
若允许有误差 o [( x x )] ， 希望存在 n 次多项式 P ( x )满足 0
n
f ( x ) P ( x ) o [( x x ) ] 0
n
2 n 其中 P ( x ) a a ( x x ) a ( x x ) a ( x x ) 0 1 0 2 0 n 0
其中 P ( x )为 f ( x )在 x n 阶泰勒多 n 0 点处的
x0 称为基点。
定理9（泰勒公式2）
设 x ( a , b ), 函数 f ( x ) 在 ( a , b ) 内有 直到 n 1 阶 0
数，则对任意的 x ( a , b ) ，存在 x 与 x 之间的 ，使 0
f( x ) P ( x ) ． 当 f (x) 为多项式时，
f ( x ) P ( x ) r ( x ) n n
其中 r (x )称为 n 阶余项 n
f( x ) 2 0 即 f ( x ) f ( x ) f ( x )( x x ) ( x x ) 0 0 0 0 2 ! (n ) f (x n 0) r ) (xx ) n(x 0 n !
'
' '
上式称 为 f(x) 的 n 阶 泰勒公式 ．
( n 1 ) f ( ) ( n 1 ) 此时 r ( x ) ( x x ) n 0 ( n 1 ) !
( 在 x 与 x 之 ) 0
称为拉格朗日型余项
（估计误差）
若 f ( x ) 在 x 有 n 阶连续导数 ,则 0
(x0) n ! f ' ' ( x ) 2 0 P ( x ) f ( x ) f ' ( x )( x x ) ( x x ) n 0 0 0 0 2 !
P (x0 ) n!an f
(n)
(n )
(x 0) a n
f
(n)
f
(k)
(n ) (x ) k f (x 0 n 0) (x x ) (xx 0 0) k! n !
f ( 0 )2 f( 0 )n f ( x ) f ( 0 ) f ( 0 ) x x x r ( x ) n 2 ! n !
P ( x ) a f ( x ) 0 0 0
a f ( x ) 0 0
P'(x0 ) a1 f '(x 0)
P''(x0 ) 2 !a2 f ''(x0)
a f ' ( x ) 1 0
f' ' (x 0) a 2 2 ! f' ''(x 0) a ' ' (x P '''(x0) 3!a3 f' 3 0) 3 !
其中 P ( x )为 f ( x )在 x n 阶泰勒多 n 0 点处的
x0 称为基点。
1 ) 一般情况下， f ( x ) 与 P ( x ) 未必相等． 注：(
若 f ( x )在 x N ( x , ) 内 (2)对于一般的函数 f (x)， 0的某邻域 0
x N ( x , ) 时有 具有直到 n 1阶的导数 , 则当 0
'
(1)
f (x) 可以用一次多项式来近 似代替， 误差为 o ( x x ) ． 0
2 若允许有误差 o [( x x ) 希望存在二次 0 ], 2 f ( x ) P ( x ) o [ ( x x ) P(x) 满足 0]
其中 P ( x ) a a ( x x ) a ( x x ) 0 1 0 2 0
r ( x ) o [( x x )] n 0
称为皮亚诺型余项
（计算极限）
n
(3) 在带有拉格朗日型余项的泰勒公式中， n 0 时，
f ( x ) f ( x ) f ( )( x x )( 在 x 与 x 之间 ) 0 0 0
'
（拉格朗日中值定理）
( 4 ) 当 x 0 时， 0
即 f ( x ) P ( x )
P( x) 观察 (1) 式可知， 对于近似的一次多项式
P ( x )f( x ), P ( x ) Biblioteka Baidu f ( x ) 0 0 0 0
因此我们希望对于 n 次多项式 P ( x )应满足 ( k ) ( k ) P ( x ) f ( x ), k 0 , 1 , 2 , , n . 0 0
3.4.1 泰勒公式 ——用多项式来近似代替较复杂的函数.
若 f(x )在 x 在3 .1 节微分中， 已知 0可导，有
f ( x ) f ( x ) f ( x )( x x ) o ( x x ) 0 0 0 0
P( x) 即 f ( x ) f ( x ) f ' ( x )( x x ) 0 0 0
称 P ( x )为 f( x )在 x n阶泰勒多项 n 0 点的
定理8（泰勒公式1）
的邻域 (a,b) ，在此邻域内有
设函数 f ( x ) 在 x 点处有 n 阶导数，则 x 点 0 0
f ( x ) 2 0 f ( x ) f ( x ) f ( x )( x x ) ( x x ) 0 0 0 0 2 ! ( n ) f ( x ) n n 0 ( x x ) o [( x x ) 0 0 ] n ! n 即 f ( x ) P ( x ) o [( x x ) ] n 0
f ( x ) 2 0 f ( x ) f ( x ) f ( x )( x x ) ( x x ) 0 0 0 0 2 ! ( n ) ( n 1 ) f ( x ) f ( ) n n 1 0 ( x x ) ( x x ) 0 n ! ( n 1 )! 0 ( n 1 ) f ( ) n 1 即 f ( x ) P ( x ) ( x x ) n 0 ( n 1 )!
即 f ( x ) P ( x )
2
若允许有误差 o [( x x )] ， 希望存在 n 次多项式 P ( x )满足 0
n
f ( x ) P ( x ) o [( x x ) ] 0
n
2 n 其中 P ( x ) a a ( x x ) a ( x x ) a ( x x ) 0 1 0 2 0 n 0
其中 P ( x )为 f ( x )在 x n 阶泰勒多 n 0 点处的
x0 称为基点。
定理9（泰勒公式2）
设 x ( a , b ), 函数 f ( x ) 在 ( a , b ) 内有 直到 n 1 阶 0
数，则对任意的 x ( a , b ) ，存在 x 与 x 之间的 ，使 0
f( x ) P ( x ) ． 当 f (x) 为多项式时，
f ( x ) P ( x ) r ( x ) n n
其中 r (x )称为 n 阶余项 n
f( x ) 2 0 即 f ( x ) f ( x ) f ( x )( x x ) ( x x ) 0 0 0 0 2 ! (n ) f (x n 0) r ) (xx ) n(x 0 n !
'
' '
上式称 为 f(x) 的 n 阶 泰勒公式 ．
( n 1 ) f ( ) ( n 1 ) 此时 r ( x ) ( x x ) n 0 ( n 1 ) !
( 在 x 与 x 之 ) 0
称为拉格朗日型余项
（估计误差）
若 f ( x ) 在 x 有 n 阶连续导数 ,则 0
(x0) n ! f ' ' ( x ) 2 0 P ( x ) f ( x ) f ' ( x )( x x ) ( x x ) n 0 0 0 0 2 !
P (x0 ) n!an f
(n)
(n )
(x 0) a n
f
(n)
f
(k)
(n ) (x ) k f (x 0 n 0) (x x ) (xx 0 0) k! n !
f ( 0 )2 f( 0 )n f ( x ) f ( 0 ) f ( 0 ) x x x r ( x ) n 2 ! n !
P ( x ) a f ( x ) 0 0 0
a f ( x ) 0 0
P'(x0 ) a1 f '(x 0)
P''(x0 ) 2 !a2 f ''(x0)
a f ' ( x ) 1 0
f' ' (x 0) a 2 2 ! f' ''(x 0) a ' ' (x P '''(x0) 3!a3 f' 3 0) 3 !
其中 P ( x )为 f ( x )在 x n 阶泰勒多 n 0 点处的
x0 称为基点。
1 ) 一般情况下， f ( x ) 与 P ( x ) 未必相等． 注：(
若 f ( x )在 x N ( x , ) 内 (2)对于一般的函数 f (x)， 0的某邻域 0
x N ( x , ) 时有 具有直到 n 1阶的导数 , 则当 0
'
(1)
f (x) 可以用一次多项式来近 似代替， 误差为 o ( x x ) ． 0
2 若允许有误差 o [( x x ) 希望存在二次 0 ], 2 f ( x ) P ( x ) o [ ( x x ) P(x) 满足 0]
其中 P ( x ) a a ( x x ) a ( x x ) 0 1 0 2 0
r ( x ) o [( x x )] n 0
称为皮亚诺型余项
（计算极限）
n
(3) 在带有拉格朗日型余项的泰勒公式中， n 0 时，
f ( x ) f ( x ) f ( )( x x )( 在 x 与 x 之间 ) 0 0 0
'
（拉格朗日中值定理）
( 4 ) 当 x 0 时， 0
即 f ( x ) P ( x )
P( x) 观察 (1) 式可知， 对于近似的一次多项式
P ( x )f( x ), P ( x ) Biblioteka Baidu f ( x ) 0 0 0 0
因此我们希望对于 n 次多项式 P ( x )应满足 ( k ) ( k ) P ( x ) f ( x ), k 0 , 1 , 2 , , n . 0 0