第十二章 数理逻辑的公理化理论

12.2.1 命题逻辑的公理化理论
• 只要公理系统中有蕴含式为公理, 则可必可同时 得到一个推理规则, 由这种方法所推得的规则叫 导出规则. • 利用导出规则可以从前面15条公理得到15条导 出规则: 规则1 P├P 规则2 P→(Q→R) ├ Q→(P→R) 规则3 P→Q, Q→R ├ P→R 规则4 P→(P→Q) ├ P→Q 规则5 P↔Q ├ P→Q 规则6 P↔Q ├ Q→P
• 3) 系统的独立性
– 系统中的每条公理均不能由其他公理推出 – 一个系统可以是不独立的
12.2.1 命题逻辑的公理化理论
• 命题逻辑永真公式的公理系统 1. 系统的组成部分 1) 基本符号 – 命题: P,Q,R,…; – 联结词: ¬,∧,∨,→,↔ – 括号: (,) 2) 公式 – 命题是公式 – 如P,Q是公式, 则(P∧Q), (P∨Q), (P→Q), (P↔Q)是公式 – 公式由且仅由有限次使用(1)(2)而得
12.2.2 谓词逻辑的公理化理论
• 可充分应用UG, US, EG, ES四条规则, 通过 US,ES将公式中的量词全部除去, 从而得到一个 命题逻辑公式，然后用命题逻辑方法推理, 在最 后得到结论前利用UG,EG重新加入量词，恢复 成谓词逻辑公式. • 使用UG时需遵守:
1) 对假设前提中所出现的自由变元不能使用此规则 2) 对额外变元不能使用此规则 3) 一公式中含有额外变元则对此公式中的自由变元亦不 能使用此规则.
12.2.1 命题逻辑的公理化理论
• 例12.1 试证P∨Q → Q∨P • 证明: (1) Q → Q∨P 公(12) (2) P → Q∨P 公(11) (3) (P→Q∨P) → ((Q→Q∨P)→(P∨Q→Q∨P)) 公(13) (4) ((Q→Q∨P)→(P∨Q→Q∨P)) 分(3),(2) (5) P∨Q → Q∨P 分(4),(1) 证明的每一步后面都附有说明叫证明根据.
12.2.1 命题逻辑的公理化理论
规则7 规则8 规则9 规则10 规则11 规则12 规则13 规则14 规则15 P→Q, Q→P ├ P↔Q P∧Q ├ Q P∧Q ├ P P, Q ├ P∧Q P ├ P∨Q Q ├ P∨Q Q→P, R→P ├ Q∨R→P P→¬Q ├ Q→¬P ¬¬P ├ P
12.2.1 命题逻辑的公理化理论
• 例12.5: 试证 (P→Q)→((P→R)→(P→Q∧R)) • 证明: 即证: P→Q, P→R, P ├ Q∧R (1) P→Q 假设前提 (2) P→R 假设前提 (3) P 假设前提 (4) Q 分(1)(3) (5) R 分(2)(3) (6) Q∧R 规则10
12.2.1 命题逻辑的公理化理论
• 假设推理方法的证明过程: 证明过程是一个公式序列: P1,P2,…,Pn, 其中每个 Pi(i=1,2,…,n)必须满足下列的条件之一. (1) Pi是假设前提 (2) Pi是公理 (3) Pi是由Pk, Pr (k,r<i)施行分离规则而得 最后Pn=Q即为定理.
12.2.2 谓词逻辑的公理化理论
• 推论
设有R1, R2,…,Rn ├ Q,且在推理过程中对 Ri(i=1,2,…,n)不作代入, 各Ri至少被使用一次且 在施行全称规则、存在规则时绝不对各Ri中的自 由变元进行, 则必有 ├ R1→(R2→(…(Rn→Q))…)
• 规则18 ∃xP(x) ├ P(e) (存在指定规则:ES) • 此规则中e叫额外变元, 它是一种额外假设的自由 变元, 它的变化范围是使对∃xP(x)成立的x.
第十二章 数理逻辑的公理化理论
– 推理部分: 系统中的公理, 基本规则以及给出 的系统中证明与定理的概念 • 公理：按学科要求给出推理中最基本的事 实 • 基本规则：一种动态推理公式, 分原始规则 与导出规则 • 证明: 是一种由公理及推理规则按一定语法 规则所进行的动态过程, 并产生一个公式串. • 定理: 由公理及推理规则按证明过程所得 的结果
12.2.1 命题逻辑的公理化理论
2. 系统的推理部分 1) 公理 如P,Q,R为公式, 则有下述的公理: (1) P → P (2) (P→(Q→R)) → (Q→(P→R)) (3) (P→Q) → ((Q→R)→(P→R)) (4) (P→(P→Q)) → (P→Q) (5) (P↔Q) → (P→Q) (6) (P↔Q) → (Q→P) (7) (P→Q) → ((Q→P)→(P↔Q))
• 使用ES需遵守:
不同额外变元需用不同符号表示, 而且不能互相代入.
12.2.2 谓词逻辑的公理化理论
• 例12.7: 试证 ∀x(P(x)→Q(x))→(∀xP(x)→∀xQ(x)) • 证明: 只要证明∀x(P(x)→Q(x)), ∀xP(x) ├ ∀xQ(x) (1) ∀x(P(x)→Q(x)) 假设前提 (2) P(x)→Q(x) US(1) (3) ∀xP(x) 假设前提 (4) P(x) US(3) (5) Q(x) 分(2)(4) (6) ∀xQ(x) UG(5)
12.2.2 谓词逻辑的公理化理论
• 3) 证明与定理 证明是一个公式序列: P1,P2,…,Pn, 其中每个 Pi(i=1,2,…,n)必须满足下列的条件之一. (1) Pi是公理 (2) Pi是由Pk, Pr (k,r<i)施行分离规则而得 (3) Pi是由Pk (k<i)施行全称规则而得 (4) Pi是由Pk (k<i)施行全称规则而得 最后Pn=Q即为定理.
12.2.1 命题逻辑的公理化理论
• 定理12.1 推理定理
设有A1,A2,…,An ├ B, 则必有 A1,A2,…2,…,An ├ B, 则必有 ├ A1→(A2→(…(An→B))…) • 此定理说明, 为证明一个带蕴含的公式, 只要证明 它的最后一个后件即成, 而其所有前件(称为假设 前提)均可作为已知条件(作为定理)使用, 这种方 法叫做假设推理方法.
2) 推理过程 分离规则: P→Q, P├Q 3) 证明与定理 证明给出了公理系统中定理生成的过程, 它是一 个公式序列: P1,P2,…,Pn, 其中每个Pi(i=1,2,…,n) 必须满足下列的条件之一. (1) Pi是公理 (2) Pi是由Pk, Pr (k,r<i)施行分离规则而得 最后Pn=Q即为定理. 此公理系统是不矛盾, 完备的(相对完备与绝对完 备),但它不是独立.
12.2.1 命题逻辑的公理化理论
(8) P∧Q → Q (9) P∧Q → P (10) P → (Q→P∧Q) (11) P → P∨Q (12) Q → P∨Q (13) (Q→P) → ((R→P)→(Q∨R→P)) (14) (P→¬Q) → (Q→¬P) (15) ¬¬P → P
12.2.1 命题逻辑的公理化理论
12.2.2 谓词逻辑的公理化理论
• 4) 全称规则另外的形式 P(x)├ ∀xP(x) (全称推广规则: UG) 规则16 ∀xP(x)├ P(x) (全称指定规则: US) 规则17 P(x)├ ∃P(x) (存在推广规则: EG)
• 定理12.2 谓词逻辑推理定理
设有R1,R2,…,Rn ├ Q, 且在推理过程中对 Ri(i=1,2,…,n)不作代入, 各Ri至少被使用一次且 在施行全称规则、存在规则时绝不对各Ri中的自 由变元进行, 则必有 R1,R2,…,Rn-1 ├ Rn → Q
12.2.2 谓词逻辑的公理化理论
• 谓词逻辑永真公式的公理系统 • 推理部分 • 1) 公理 (16) ∀xP(x) → P(x) (17) P(x) → ∃P(x) • 2) 推理规则 (1) 分离规则: P→Q, P├ Q (2) 全称规则: Q→P(x)├ Q→∀xP(x) (3) 存在规则: P(x)→Q ├ ∃xP(x)→Q
12.1 公理化理论的基本思想
• 1) 系统的不矛盾性
– 系统的不矛盾性是对公理系统的最基本要求
• 2) 系统的完备性
– 相对完备性: 一个为某学科建立的公理系统, 该学科 中的所有定理和规则均能由系统推出 – 绝对完备性: 一个公理系统中如果将任一个非定理的 公式作为公理加入系统后, 所得到的系统均为矛盾的 系统 – 一个系统最好是完备的或相对完备的, 但允许不完备