等腰三角形的轴对称性

所以△ABD≌△ACD（AAS）． 所以，AB=AC．
例4：已知：如图，ΔABC是等边三角形，BD是中线， 延长BC到E，使CE＝CD， 求证：DB＝DE
分析：只需证∠DBE＝∠E，
由于ΔABC为等边三角形，故∠DBE＝30°， 又CD＝CE，故∠CDE＝∠E， 又∠ACB＝∠E＋∠CDE＝60°，故∠E＝30°。
答案：
∠A=36° ∠B=∠C=72°
例2：已知点D,E在 △ABC的边BC上 ，AB=AC,AD=AE 求证：BD=CE
提示：过A做AF⊥BC于F
F
例3、已知△ABC中，AB=AC，F在AC上，在BA延长线上截取AE=AF， 求证：EF⊥BC。
分析：欲证EF⊥BC 思路1：可以考虑证明EF与BC成角为90°
【巩固练习】 1、填空。 相等 ，顶角的平分线 垂直并且平分 底边。 ①等腰三角形中，两腰上的中线 ②若等腰三角形的一个角是 若有一个角是 钝角 锐角 时，则这个角可以是顶角，也可以是底角。
时，则这个角一定是顶角。 1或3 条；对称轴有 条。
③等腰三角形所有的高、中线、角平分线共有 3或7
④在等腰△ABC中，∠A = 40°, 则∠B = 70°或40°或100°
答案：5个；△ABC，△AEF，△BED，△CFD，△BCD
△AEF的周长=20
实验研究
等腰三角形是一种特殊的三角形， 它除具有一般三角形的性质外，还有 一些特殊性质。
A
B
D
C
教学活动材料1
如图，在等腰三角形ABC 中，AB=AC，AD平分∠BAC，交 BC于D。 ①把这个等腰三角形剪下来， 然后沿着顶角平分线对折，仔 细观察重合的部分，并写出所 发现的结论。 ②你发现了等腰三角形的哪些 性质？
思路2：证EF的平行线与BC垂直，或证BC的平行线垂直EF
如果一个三角形有两个角相等，那 么这个三角形是等腰三角形吗? A
已知：∠B=∠C 能否得出AC=AB？
结论：可以！
来自百度文库
B
C
等腰三角形的判定定理： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所 对的边也相等（简称“等角对等边”）
证明：
在△ABC中，∠B=∠C，作AD⊥BC于D．则
等 腰 三 角 形
B
A
等边对等角 三线合一
D
C
轴对称图形 三边相等 三边相等 三角相等 有一个角是 60°的等腰 三角形
等 边 三 角 形
A
三角相等
三线合一
C
B
轴对称图形
思考题：
1、如图，C是线段AB上的一点，△ACD和△BCE是等边三角形， AE交CD于M，BD交CE于N，交AE于O。
求证：（1）∠AOB＝120°； （2）CM＝CN； （3）MN∥AB。
A
B
D
C
猜想一
定理 等腰三角形的两已知：△ABC中，AB=AC 个底角相等。 求证：∠ABC=ACB (等边对等角) 分析：1.如何证明两个角
A
相等？ 2.如何构造两个全
等的三角形?
B
D
C
教学活动材料2
如图，在等腰三角形ABC 中，AB=AC，AD平分∠BAC，交 BC于D。 ①根据学过的全等三角形判定 方法找出图中的全等三角形， 根据全等三角形的性质找出所 有相等的线段和角。 ②你发现了等腰三角形的哪些 性质？
8月23日（周一） 视听课堂：《物态变化（一）》（物理） 知识导学：《熔化和凝固》（物理） 8月24日（周二） 视听课堂：《物态变化（一）》（物理） 知识导学：《汽化和液化 升华和凝华》（物理） 8月25日（周三） 网络面授班：19：30~21：00《how we feel and what can feel》（英语） 8月26日（周四） 视听课堂：《角平分线的性质》（数学） 8月27日（周五） 网络面授班：19：30~21：00《添加辅助线构造全等形》 （数学） 8月28日（周六） 视听课堂：《轴对称章节复习》（数学） 知识导学：《轴对称与轴对称图形总结与测试》（数学） 8月29日（周日） 网络面授班：19：30~21：00《★曹刿论战》（语文）
两种特殊的等腰三角形： 等边三角形 和 等腰直角三角形
等边三角形：
具有等腰三角形的所有性质！
如何判定等边三角形?
①定义：三条边都相等； ②三个角都相等的三角形是等边三角形. (以一般三角形为基础) ③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. (以等腰三角形为基础)
图形
性质 两腰相等
判定 两边相等 等角对等边
分析：
例5、已知：ΔABC中，AB=AC，BD⊥AC于D。
1 求证：∠DBC= 2
∠BAC。
F
例6、如图,在直角△ABC中, ∠BAC=90°,D,E在BC上,且BE=AB,CD=AC, 求∠DAE的度数.
总结：这类题型首先是根据等边对等角把边的关系转化为角的关系， 然后再根据三角形内角和定理求得。
B D C
结论：
等腰三角形性质定理1：等腰三角形的两个 底角相等，或“在一个三角形中，等边对等角”。
等腰三角形性质定理2：等腰三角形的顶角 平分线、底边上的中线和高线互相重合，简称等 腰三角形三线合一。
例1：在 △ABC中，AB=AC , D在AC边上 ，BD=BC=AD , 求：△ABC各角的度数。
思考：①怎样的三角形是等腰三角形？
两边相等的三角形叫做等腰三角形
②等腰三角形是轴对称图形吗？如何描述它的对称？
描述：顶角的角平分线所在的直线； 或底边上的高所在的直线； 或底边上的中线所在的直线； 或底边的垂直平分线
练习1：（1）等腰三角形的一个角是 110°，它的另外两个角 是多少度？ 答案：均为35° （2）等腰三角形的一个角是80°，它的另外两 个角是多少度？ 答案：80°和20°或者均为50° 练习2：如图，在△ABC中，AB=AC=10， ∠B，∠C的平分线交于点D， 过点D平行于BC的直线分别交AB，AC于点E， F。 （1）图中有多少个等腰三角 形 （2）求△AEF的周长
A
B
D
C
猜想二
推论1 等腰三角形顶角的平分线平分 底边并且垂直于底边. (三线合一)
已知：在△ ABC中，AD是∠ABC的平分线。 A 求证： BD=CD，AD⊥BC 证明：在△BAD和△CAD中, 1 2 AB=AC,
∠1=∠2,
∴BD=CD,∠ADB=∠ADC=90°. ∴△BAD≌△CAD（SAS） 即 BD=CD， AD⊥BC ∴∠B=∠C.（ ） AD=AD （公共边）
关于撑伞的数学问题
2、已知：如图，AB=AC， DB=DC 问：AD与BC有什么关系？
猜想：AD垂直平分BC
A
证明:
∵AB=AC,BD=CD,AD=CD ∴△ABD≌△ACD(SSS) ∴∠BAD=∠CAD ∴AD垂直平分BC
B D
C
下周学习计划表
日期 学习内容 学习时间 约2小时 约2小时 we 约1.5小时 约1小时 约1.5小时 约2小时 约1.5小时