广义负二项分布

两参数广义负二项分布的参数估计

摘 要：讨论了在两参数场合下广义负二项分布的矩估计和极大似然估计问题，构造了矩方程和极大似然方程，得出了矩估计和极大似然估计。

关键词：广义负二项分布；矩估计；极大似然估计；

1.引言

文献[1]求出了单参数广义负二项分布的最小方差无偏估计并对其做出了区间估计。本文在此文的基础上结合构造样本矩的方法对广义负二项分布做出了矩估计和极大似然估计。

2.基本知识

设离散型随机变量X 的分布函数为

0000(,)(1)m x x x x m x m P m x x ββθβθθβ+-+⎛⎫=- ⎪+⎝⎭ （1.1.1）

0,1,2,3,x = ，其中,θβ为参数且01,0θβ<<=或11βθ-≤≤，0m 为常数且00m >。当0β=时，概率模型（1.1.1）即为二项分布；

当1β=时，概率模型（1.1.1）即为负二项分布。

由概率的正则性公理可得：

(,)1x x P θβ∞==∑ 即00000(1)1m x x x x m x m m x x ββθθβ∞+-=+⎛⎫-= ⎪+⎝⎭∑ 00(1)10000[(1)](1)(1)m x x m x xm EX m m x x ββθθθθθββ∞--=+⎛⎫∴=--=- ⎪+⎝

⎭∑ （1.1.2） 同理可求得：222232

00003(1)m m m m EX θθθθβθβ-+-=- 2230()(1)(1)VarX EX EX m θθθβ-∴=-=-- （1.1.3）

3.构造矩方程

设随机变量X 服从（1.1.1）定义的广义负二项分布，12,,,n x x x 是取自于总体X 的一

个容量大小为n 的样本，1n i i x x =∴=∑为样本均值，样本方差为：2

211()1n

i i S x x n ==--∑ 2,EX x VarX S ==

10(1)m x θθβ-∴-= （1.1.4）

320(1)(1)m S θθθβ---= （1.1.5）

由（1.1.4）和（1.1.5）可得：2223300m S x x θθ+-= 解得36223022042x x m S x m S

θ-++= （1.1.6） 将（1.1.6）代入（1.1.4）得：1m x

β

θ=- （1.1.7） 4.构造极大似然方程 设随机变量X 服从（1.1.1）定义的广义负二项分布，12,,,n x x x 是取自于总体X 的一个容量大小为n 的样本，则其对数似然函数为：

100111101(,){(,)}{log[()]log(!)}log [(1)]log(1)

(1.1.8)

i j x n n n

x i i i i j i j n i i logL log P m m x j x x nm x θβθββθ

βθ-========+--+++--∑∑∑∏∑ （1.1.8）分别对,θβ求导得似然方程：

0[()]0(1)

n x m x θβθθθ-+∂==∂- （1.1.9） 02log(1)022x nx m x x

θββ∂=-+=∂+- （1.2.0） 其中log (,)L θβ= ，由（1.1.9）得：10

ˆ()x m x θβ-=+ （1.2.1） 将（1.2.1）代入（1.2.0）得：

1002log[1()]022n x m x m x x

ββ--++=+- （1.2.2） 由（1.2.2）解得234500023(12)2(1)ˆ2()nm x nx m x nm x nx x nx β

-+-+++=+，再代入（1.2.1）得ˆθ。

5.结束语

6.参考文献