高等数学教学大纲

《高等数学》课程教学大纲
总学时：（90＋64）
一、课程简介
1、课程性质：必修课
2、开课学期：第一学期和第二学期开设
3、适用专业：
4、课程修读条件：中学数学
5、课程教学目的：
通过本课程的学习，使学生系统地获得高等数学的基本知识，掌握必要的基础理论和常用的运算方法,并注意培养学生比较熟练的运算能力、抽象思维能力、逻辑推理能力、几何直观和空间想象能力，从而使学生受到数学分析方法和运用这些方法解决几何、物理等实际问题的初步训练，为后继课程的学习和今后从事科研活动奠定必要的数学基础。

二、教学基本要求或建议：
通过教学，使学生掌握高等数学的基本概念，帮助学生克服中学阶段形成的负迁移作用，尽快适应大学的学习方式，使学生注意高等数学与初等数学的衔接与结合，又体会二者的本质区别，从而准确地理解高等数学的有关内容，掌握高等数学处理问题的方法。

三、内容纲目及标准：
（一）理论部分
学时数（20）
第一章函数与极限
[教学目的] 掌握函数概念与几个特性；掌握反函数概念，图形与直接函数关系；掌握五类基本初等函数定义与性质；掌握复合函数及初等函数的概念；了解双曲，反双曲函数定义与性质；掌握数列极限与
函数极限定义，对一般简单的极限会用定义证明；理解函数左右极限概念、及极限存在与左，右极限之间的关系；掌握无穷小，无穷大概念与性质；理解无穷小的阶；会用等价无穷小求极限；掌握极限性质及四则运算法则；掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限；掌握利用两个重要极限求极限的方法；理解函数连续性概念，会判别函数间断点类型；掌握连续函数运算和初等函数的连续性，掌握闭区间上连续函数的性质，并学会应用这些性质。

[教学重点与难点] 函数的概念与几个特性；复合函数及初等函数的概念；无穷小，无穷大概念与性质；极限性质及四则运算法则；连续函数运算和初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质。

第一节映射与函数
一、集合
二、映射
三、函数
第二节数列的极限
一、数列极限的概念
二、收敛数列的性质
第三节函数的极限
一、函数极限的定义
二、函数极限的性质
第四节无穷小与无穷大
一、无穷小
二、无穷大
第五节极限运算法则
第六节极限存在准则两个重要极限
第七节无穷小的比较
第八节函数连续性与间断点
一、函数的连续性
二、函数的间断点
第九节连续函数的运算与初等函数的连续性
一、连续函数的和、差、积、商的连续性
二、反函数与复合函数的连续性
三、初等函数的连续性
第十节闭区间上连续函数的性质
一、有界性与最大值最小值定理
二、零点定理与介值定理
学时数：12
第二章导数与微分
[教学目的] 掌握导数定义与几何意义；会求平面曲线切线，法线方程；掌握函数可导性与连续性之间的关系；掌握导数四则运算和复合函求导法则；掌握基本初等函数的导数公式；会对双曲反双曲函数求导数，会求简单函数的n阶导数，理解高阶导数概念；掌握隐函数求导法则，掌握参数方程确定的函数求导法则，能正确使用对数求导法，会求反函数的导数；掌握微分定义与几何意义，掌握微分四则运算法则和一阶微分形式不变性，了解微分在近似计算中的应用。

[教学重点与难点] 导数定义与几何意义；函数可导性与连续性之间的关系；导数四则运算和复合函求导法则；基本初等函数的导数公式；隐函数求导法则，参数方程确定的函数求导法则。

第一节导数概念
一、引例
二、导数的定义
三、导数的几何意义
第二节函数的求导法则
一、函数和，差，积，商求导法则
二、反函数的求导法则
三、复合函数求导法则
四、基本求导法则与导数公式
第三节高阶导数
第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率
一、隐函数的导数
二、由参数方程所确定的函数的导数
三、相关变化率
第五节函数的微分
一、微分的定义
二、微分的几何意义
三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则
四、微分在近似计算中的应用
学时数：12
第三章微分中值定理与导数的应用
[教学目的] 了解罗尔中值定理、理解拉格朗日中值定理及它们的几何意义，理解泰勒定理；
了解柯西中值定理，熟练掌握洛必达法则求“0/0”、“∞/ ∞”、“0×∞”、“∞－∞”、“1∞”、“00”和“∞0”型未定式的极限方法；掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法；理解函数极值的概念，掌握求函数的极值（必要性和两个充分条件）和最大（小）值的方法；会描绘简单函数的图形；了解曲率和曲率半径的概念。

[教学重点与难点] 罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定
理；洛必达法则；描绘简单函数的图形。

第一节微分中值定理
一、罗尔定理
二、拉格朗日中值定理
三、柯西中值定理
第二节洛必达法则
第三节 Taylor公式
第四节函数单调性和曲线的凹凸性
一、函数单调性的判定法
二、曲线的凹凸性与拐点
第五节函数的极值与最大值最小值
一、函数的极值及其求法
二、最大值最小值问题
第六节函数图形描绘
第六节曲率
一、弧微分
二、曲率及其计算公式
三、曲率圆与曲率半径
学时数12
第四章不定积分
[教学目的]: 掌握原函数与不定积分概念及不定积分性质，熟记基本积分表；掌握凑微分法和第二换元法求不定积分；掌握分部积分法求不定积分；会求有理函数，三角函数有理式和简单无理函数的积分，会使用积分表
[教学重点与难点]：原函数与不定积分概念及不定积分性质；凑微分法和第二换元法求不定积分；分部积分法求不定积分；有理函数，三
角函数有理式和简单无理函数的积分。

第一节不定积分概念与性质
一、原函数与不定积分概念
二、基本积分表
三、不定积分的性质
第二节换元积分法
一、第一类换元法
二、第二类换元法
第三节分部积分法
第四节有理函数的积分
一、有理函数的积分
二、可化为有理函数的积分举例
第五节积分表的使用
学时数12
第五章定积分
[教学目的]: 理解定积分的概念与几何意义，了解可积的条件；掌握定积分的基本性质；理解变上限的定积分是变上限的函数，掌握对变上限定积分求导数的方法；掌握牛顿—莱布尼茨公式；掌握定积分的换元积分法与分部积分法；理解无穷区间广义积分的概念，掌握其计算方法，了解广义积分的概念及广义积分的换元法和分步积分法。

[教学重点与难点]：牛顿—莱布尼茨公式；定积分的换元积分法与分部积分法；无穷区间广义积分的概念及其计算方法。

第一节定积分概念与性质
一、定积分问题举例
二、定积分定义
三、定积分的性质
第二节微积分基本公式
一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系
二、积分上限的函数及其导数
三、牛顿—莱布尼茨公式
第三节定积分的换元法和分部积分法
一、定积分的换元法
二、定积分的分部积分法
第四节反常积分
一、无穷限反常积分
二、无界函数的反常积分
学时数8
第六章定积分的应用
[教学目的]: 掌握定积分元素法要领，会用定积分求平面图形面积；会求旋转体的体积和平行截面面积为已知的立体的体积；掌握平面曲线弧长概念，掌握直角坐标，参数方程，极坐标情形下的弧微分公式，会求曲线的弧长；掌握功，水压力，引力等物理量的意义，会用元素法通过定积分计算这些物理量，掌握平均值，均方根等概念和求法；[教学重点与难点]：定积分元素法要领；用定积分表达和计算一些几何量与物理量。

第一节定积分的元素法
第二节定积分在几何中的应用
一、平面图形的面积
二、体积
三、平面曲线的弧长
第三节定积分在物理中的应用
一、变力沿直线所做的功
二、水压力
三、引力
学时数14
第七章空间解析几何与向量代数
[教学目的]：理解空间直角坐标系，理解向量概念及其表示法；掌握向量的运算（线性运算，数量积，向量积，知道混合积），掌握两个向量垂直，平行的条件；掌握单位向量，方向导数与方向余弦，向量的坐标表达式，以及用坐标表达式进行向量运算的方法；掌握平面方程和直线方程及求法，会利用平面，直线的相互关系（平行垂直，相交）解决有关问题；理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程；了解空间曲线的参数方程和一般方程；了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。

[教学重点与难点]：空间直角坐标系；向量相关概念；平面方程和直线方程及求法；利用平面，直线的相互关系（平行垂直，相交）解决有关问题；曲面方程的概念；常用二次曲面的方程及其图形；求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程；空间曲线的参数方程和一般方程。

第一节向量及其线性运算
一、向量概念
二、向量的线性运算
三、空间直角坐标系
四、利用坐标作向量的线性运算
五、向量的模、方向角、投影
第二节数量积，向量积
一、两向量的数量积
二、两向量的向量积
第三节曲面及其方程
一、曲面方程的概念
二、旋转曲面
三、柱面
四、二次曲面
第四节空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程
二、空间曲线的参数方程
三、空间曲线在坐标面上的投影
第五节平面及其方程
一、平面的点法式方程
二、平面的一般方程
三、两平面的夹角
第六节空间直线及其方程
一、空间直线的一般方程
二、空间直线的对称式方程与参数方程
三、两直线的夹角
四、直线与平面的夹角
五、杂例
学时数14
第八章多元函数微分法及其应用
[教学目的]: 了解多元函数的概念、二元函数的几何意义及二元函数的极值与连续概念（对计算不作要求）；会求二元函数的定义域，有界闭区域上连续函数的性质；理解多元函数偏导数和全微分的概念；了解全微分存在的必要条件与充分条件，会求全微分；了解全微分形
式的不变性；了解全微分在近似计算中的应用；掌握多元函数的一、二阶偏导数计算方法；掌握多元复合函数偏导数的求法；理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法；会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数；了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程；了解二元函数的二阶泰勒公式；理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件；了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值；会用拉格朗日乘数法求条件极值；会求简单多元函数的最大值和最小值并会解决一些简单的应用问题。

[教学重点与难点]：多元函数偏导数和全微分的概念；多元函数的一、二阶偏导数计算方法；隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数；多元函数极值和条件极值；拉格朗日乘数法求条件极值。

第一节多元函数的概念
一、平面点集 n维空间
二、多元函数概念
三、多元函数的极限
四、多元函数的连续性
第二节偏导数
一、偏导数的定义及其计算法
二、高阶偏导数
第三节全微分
一、全微分的定义
第四节多元复合函数的求导法则
第五节隐函数的求导公式
一、一个方程的情形
二、方程组的情形
第六节多元函数微分学的几何应用
一、空间曲线的切线与法平面
二、曲面的切平面与法线
第七节方向导数与梯度
一、方向导数
二、梯度
第八节多元函数的极值及其求法
一、多元函数的极值及极大值、极小值
二、条件极值拉格朗日数乘法
学时数12
第九章重积分
[教学目的]: 理解二重积分、三重积分的概念；了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理；掌握二重积分（直角坐标、极坐标）的计算方法；会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）；会用重积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、曲面面积、质量、重心、转动惯量等）。

[教学重点与难点]：二重积分（直角坐标、极坐标）的计算方法；计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）；用重积分求一些几何量与物理量。

第一节二重积分的概念和性质
一、二重积分的概念
二、二重积分的性质
第二节二重积分的计算法
一、利用直角坐标计算二重积分
二、利用极坐标计算二重积分
第三节三重积分
一、三重积分的概念
二、三重积分的计算
第四节重积分的应用
一、曲面的面积
二、质心
三、转动惯量
四、引力
学时数14
第十章曲线积分和曲面积分
[教学目的]理解两类曲线积分的概念；了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系；掌握计算两类曲线积分的方法；掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数；了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系；掌握计算两类曲面积分的方法；了解高斯公式、斯托克斯公式，会用高斯公式计算曲面积分；了解散度与旋度的概念，并会计算；会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、曲面面积、弧长、质量、引力、功及流量等）。

[教学重点与难点] 计算两类曲线积分的方法；计算两类曲面积分的方法；格林公式；高斯公式；斯托克斯公式。

第一节对弧长的曲线积分
一、对弧长的曲线积分的概念与性质
二、对弧长的曲线积分的计算法
第二节对坐标的曲线积分
一、对坐标的曲线积分的概念与性质
二、对坐标的曲线积分的计算法
三、两类曲线积分之间的联系
第三节格林公式及其应用
一、格林公式
二、平面上曲线积分与路径无关的条件
三、二元函数的全微分求积
第四节对面积的曲面积分
一、对面积的曲面积分的概念和性质
二、对面积的曲面积分的计算法
第五节对坐标的曲面积分
一、对坐标的曲面积分的概念和性质
二、对坐标的曲面积分的计算法
三、两类曲面积分之间的联系
第六节高斯公式通量和散度
一、高斯公式
二、通量和散度
第七节斯托克斯公式环流量与旋度
一、斯托克斯公式
二、环流量与旋度
学时数 14
第十一章无穷级数
[教学目的] 理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念；掌握级数的基本性质及收敛的必要条件；掌握几何级数与p级数的收敛与发散的条件；掌握正项级数的比较审敛法和比值审敛法，会用根值审敛法；掌握交错级数的莱布尼茨判别法；了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系；了解函数项级数的收敛域及和函数的概念；掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法；了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数
的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和；了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件；掌握exp(x)、sin(x)、cos(x)、ln(1+x)和(1+x)α的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数；了解幂级数在近似计算上的简单应用；了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在[—L，L]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0，L]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。

[教学重点和难点]常数项级数；绝对收敛，条件收敛；正项级数的比较判别法，根号判别法，比值判别法，交错级数收敛的充要条件和一般级数收敛的必要但不充分条件；冥级数，收敛域；函数展开成冥级数；Fourier级数数学表达式。

第一节常数项级数的概念和性质
一、常数项级数的概念
二、收敛级数的基本性质
第二节常数项级数的审敛法
一、正项级数及其审敛法
二、交错级数及其审敛法
三、绝对收敛和条件收敛
第三节幂级数
一、函数项级数的概念
二、幂级数及其收敛性
三、幂级数的运算
第四节函数展开成幂级数
一、泰勒级数
二、函数展开成幂级数
第五节函数的幂级数展开式的应用
一、近似计算
二、欧拉公式
第六节傅里叶级数
一、三角级数三角函数系的正交性
二、函数展开成傅里叶级数
三、正弦级数和余弦级数
第七节一般周期的傅里叶级数
一、周期为2L的周期函数的傅里叶级数
学时数10
[教学目的] 理解微分方程的定义，理解微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解等概念；掌握可分离变量方程的解法；掌握一阶线性方程的解法，理解线性微分方程解的结构，了解常数变易法；会解齐次方程、伯努利(Bernoulli)方程和个微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程，了解用变量代换求解方程的思想；会解全微分方程，能观察出最简单的积分因子；掌握利用变量替换法解可降阶的高阶微分方程；掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。

掌握常系数齐次线性方程的解法和常系数非齐次线性微分方程。

[教学重点与难点]常微分方程的概念；分离变量法；常数变易法；变量替换法；常系数齐次线性微分方程求法；常系数非齐次线性微分方程求法。

第一节微分方程的基本概念
第二节可分离变量的微分方程
第三节齐次方程
一、齐次方程
第四节一阶线性微分方程
一、线性方程
二、伯努力方程
第五节全微分方程
第六节可降阶的高阶微分方程
一、型的微分方程
二、型的微分方程
三、型的微分方程
第七节高阶线性微分方程
一、二阶线性微分方程举例
二、线性微分方程的解的结构
第八节常系数齐次线性微分方程第九节常系数非齐次线性微分方程
一、型
二、型
四、课程学时分配：
五、分专业、层次的不同要求的有关说明：无
六、课程作业与考核评价：
考核方式为平时成绩与期末考试相结合。

平时成绩占总成绩30% ，期末考试占总成绩70% 。

1、作业（20% ）：一学期共布置15 次作业，交15次作业，15次作业各占总成绩 1.33% ，每次作业提供标准答案；
2、课堂考勤（10% ）：一学期随机考勤5次，每次2分；
3、期末考试（70% ）：试卷试题包括选择题、填空题、计算题和解析题四种题型，以教学内容的基本概念和基本计算为主，以考察学生的基本的掌握程度为目的。

七、教材及主要参考书
教材：同济大学应用数学系主编，《高等数学》，高等教育出版社，2002年第五版
参考书：
1、《微积分》上、下册，同济大学应用数学系编，高等教育出版社
2、《工科数学分析基础》上、下册，马知恩王绵森主编，高等教育出版社
3、《高等数学》上、下册，清华大学盛祥耀等编，高等教育出版
社
4、《高等数学释疑解难》工科数学课程教学指导委员会编，高等教育出版社
5、《高等数学例题与习题》同济大学高等数学教研室编，同济大学出版社
321。