南大复变函数与积分变换课件(PPT版)8.2 单位冲激函数
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复变函数与积分变换PPT_图文_图文
x y=-3
§1.4 复数域的几何模型---复球面
N
0
对复平面内任一 点z, 用直线将z 与N相连, 与球面 相交于P点, 则球 面上除N点外的 所有点和复平面 上的所有点有一 一对应的关系, 而N点本身可代 表无穷远点, 记 作.
这样的球面称作 x1
复球面.
x
x1
x3
除了复数的平
面表示方法外,
加减法与平行四边形 法则的几何意义:
乘、除法的几何意义
:
,
,
,
定理1 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积, 两个复 数乘积的幅角等于它们幅角的和.
几何上 z1z2 相 当于将 z2 的 模扩大 |z1| 倍 并旋转一个角
度Arg z1 .
0
1
等式 Arg(z1z2)=Arg z1+Arg z2, 的意思是等式的两 边都是无限集合, 两边的集合相等, 即每给定等式左边 的一个数, 就有等式右边的一个数与之对应, 反之亦然 .
复变函数与积分变换PPT_图文_图文.ppt
引言
在十六世纪中叶，G. Cardano (1501-1576) 在研究一元二次
方程
时引进了复数。他发现这个方程没有根，并
把这个方程的两个根形式地表为
。在当时，
包括他自己在内，谁也弄不清这样表示有什麽好处。事实上，
复数被Cardano引入后，在很长一段时间内不被人们所理睬，并 被认为是没有意义的，不能接受的“虚数”。直到十七与十八世纪，
解：
设 z = x + i y , 方程变为
y
O
x
-i
几何上, 该方程表示到点2i和-2的距离相等的点的轨 迹, 所以方程表示的曲线就是连接点2i和-2的线段的垂直
复变函数与积分变换-PPT课件
i i 1 2 1 2
推广至有限个复数的乘法
i i i n 1 2 z z z r e r e r e 12 n 1 2 n i ( ) 1 2 n r r r e 12 n
浙江大学
除法运算
z1 0
z2 z2 z1 z1
z2 z2 , z1 z1
n 1 1 n
浙江大学
x iy z1 x1 iy1 1 iy 1 x 2 2 x2 iy iy z2 x2 iy2 2 x 2 2
x x y y i x y x y 1 2 1 2 2 1 1 2
x y
2 2 2 2
b) 按上述定义容易验证 加法交换律、结合律
当k＝0，1，2，…，n－1时，得到n个相异的根：
w r (cos isin ) 0 n n 1 2 2 n w r (cos i sin ) 1 n n 1 4 4 n w r (cos i sin ) 2 n n
1 n
2 ( n 1 ) 2 ( n 1 ) w r (cos i sin )
z z ( z z ) e 3 1 2 1 1 3 ( 1i)( i) 2 2 1 3 1 3 i 2 2
3 3 1 3 z i 3 2 2
i 3
z3
z2
x
O
z1
3 3 1 3 z i 3 2 2
浙江大学
复数的乘幂
n个相同复数z的乘积成为z的n次幂
z1
O 加法运算 x
z z z z 1 2 1 2
浙江大学
y
z1
z2
推广至有限个复数的乘法
i i i n 1 2 z z z r e r e r e 12 n 1 2 n i ( ) 1 2 n r r r e 12 n
浙江大学
除法运算
z1 0
z2 z2 z1 z1
z2 z2 , z1 z1
n 1 1 n
浙江大学
x iy z1 x1 iy1 1 iy 1 x 2 2 x2 iy iy z2 x2 iy2 2 x 2 2
x x y y i x y x y 1 2 1 2 2 1 1 2
x y
2 2 2 2
b) 按上述定义容易验证 加法交换律、结合律
当k＝0，1，2，…，n－1时，得到n个相异的根：
w r (cos isin ) 0 n n 1 2 2 n w r (cos i sin ) 1 n n 1 4 4 n w r (cos i sin ) 2 n n
1 n
2 ( n 1 ) 2 ( n 1 ) w r (cos i sin )
z z ( z z ) e 3 1 2 1 1 3 ( 1i)( i) 2 2 1 3 1 3 i 2 2
3 3 1 3 z i 3 2 2
i 3
z3
z2
x
O
z1
3 3 1 3 z i 3 2 2
浙江大学
复数的乘幂
n个相同复数z的乘积成为z的n次幂
z1
O 加法运算 x
z z z z 1 2 1 2
浙江大学
y
z1
z2
复变函数与积分变换课件
解: ( 2)
z 1
sin z 4 dz z2 1 1
2
z 1
sin z 4 z 1 dz 1 z 1
2
sin z 4 2i z 1
2 i; 2
z 1
11
sin z 解: ( 3) 2 4 dz 由闭路复合定理, 得 z 1 z 2 sin z 4 dz 2 z 2 1 z
如果函数 f ( z ) 在区域 D 内处处解析, C 为 D 内的任何一条正向简单闭曲线, 它的内部完全含 于 D, z0 为 C 内任一点, 那末 1 f (z) f ( z0 ) C z z dz . 2 πi 0
证明: 因为 f ( z ) 在 z0 连续,
z0
C
D
则 0, ( ) 0,
2i (3(6 z 7), 而 1 i 在 C 内, 所以 f (1 i ) 2 ( 6 13i ).
9
sin z 4 dz , 其中 C : (1) z 1 1 ; 练习:计算积分 2 2 C z 1
3
关于柯西积分公式的说明: (1) 公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积 分的一种方法, 而且给出了解析函数的一个积 分表达式. (这是研究解析函数的有力工具) (2) 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周 上的平均值. 如果 C 是圆周 z z0 R e i ,
1 2π f ( z0 ) f ( z0 R e i )d . 2π 0
2! f ( z) 可得 f ( z0 ) C ( z z )3 dz. 2i 0
18
至此我们证明了一个解析函数的导数仍然是解 析函数. 依次类推, 利用数学归纳法可证
复变函数与积分变换(全套课件334P)
z 3 z 2 z 1 0根为i, 1, i
且z z z 1 ( z i)( z 1)( z i)
3 2
§1.2 复平面上的曲线和区域
一、复平面上的曲线方程 平面曲线有直角坐标方程 和参数方程
F ( x, y ) 0
x x(t ) 两种形式。 y y (t )
5 5 z 2 r2 cos i sin 6 6
3 1 r2 r2i 2 2
3 1 3 1 则z r1 2 r1i r2 2 r2i 2 2 2 2
例4
求方程
3 2
z z z 1 0 的根。并将
1 3 2 z 13 13 13
2 2
2 arg( z ) arctan 3
（3）
i 4i i i 4i i 1 3i,
10 25 10
| z | (1) 2 32 10 ,
(4)
arg( z ) arctan 3
17512ii????232357arg21argii????57re57imii???例2求下列复数的模与辐角例2求下列复数的模与辐角12i??3i231?34iii??25104ni?????????231解12231215argarctan63zz???????????1??22321131313z????????????????32arctanarg??z132133232323231iiiii??????????????23144102510iiiiiii????????103122????z3arctanarg???z3313argarctan3ii????模为141?z23arg??knz??23nkk????????满足的313cossin233niinnei????????????????3argarctan323ez????模为14例3求满足下列条件的复数z
复变函数与积分变换课件
傅里叶级数的性质
傅里叶级数具有唯一性，即一个周期函数对应一个唯一的傅 里叶级数；反之亦然。此外，傅里叶级数具有可加性和可分 离性，即对于任意的实数x，f(x)=f(x+T)=f(x−T)，其中T为 函数的周期。
傅里叶变换的定义与性质
傅里叶变换的定义
将一个可积分的函数f(x)变换为一系列无穷的三角函数之和，即 F(ω)=∫f(x)e−iωxdx，其中ω为角频率。
复数域上的微积分基本定理
01
微积分基本定理
根据微积分基本定理，复数域上的微积分可以按照实数域上的微积分进
行计算。
02
微分中值定理
微分中值定理是微积分基本定理的一种特殊形式，它表明在一定条件下
，函数在区间上的值可以通过其端点的值和导数值来确定。
03
积分中值定理
积分中值定理是微积分基本定理的一种特殊形式，它表明在一定条件下
性质
拉普拉斯变换具有线性、时移、频移、微分、积分、尺度变换等性质。
拉普拉斯变换的逆变换与基本定理
逆变换
对于复数域上的函数$F(s)$，其拉普拉斯 逆变换定义为：$f(t)=\frac{1}{2\pi i}\int_{ci\infty}^{c+i\infty}F(s)e^{st}ds$
VS
基本定理
如果$F(s)$是$f(t)$的拉普拉斯变换，那 么对于任意的常数$a,b,c,d$，有： $\int_{0}^{\infty}f(t)[a\cos bt+c\sin bt]dt=\int_{0}^{\infty}F(s)[as\cos btcs\sin bt]ds$
复变函数与积分变换课件
目录
• 复数与复变函数 • 复变函数的微积分 • 傅里叶级数与傅里叶变换 • 拉普拉斯变换及其应用 • 复变函数与积分变换的物理意义
傅里叶级数具有唯一性，即一个周期函数对应一个唯一的傅 里叶级数；反之亦然。此外，傅里叶级数具有可加性和可分 离性，即对于任意的实数x，f(x)=f(x+T)=f(x−T)，其中T为 函数的周期。
傅里叶变换的定义与性质
傅里叶变换的定义
将一个可积分的函数f(x)变换为一系列无穷的三角函数之和，即 F(ω)=∫f(x)e−iωxdx，其中ω为角频率。
复数域上的微积分基本定理
01
微积分基本定理
根据微积分基本定理，复数域上的微积分可以按照实数域上的微积分进
行计算。
02
微分中值定理
微分中值定理是微积分基本定理的一种特殊形式，它表明在一定条件下
，函数在区间上的值可以通过其端点的值和导数值来确定。
03
积分中值定理
积分中值定理是微积分基本定理的一种特殊形式，它表明在一定条件下
性质
拉普拉斯变换具有线性、时移、频移、微分、积分、尺度变换等性质。
拉普拉斯变换的逆变换与基本定理
逆变换
对于复数域上的函数$F(s)$，其拉普拉斯 逆变换定义为：$f(t)=\frac{1}{2\pi i}\int_{ci\infty}^{c+i\infty}F(s)e^{st}ds$
VS
基本定理
如果$F(s)$是$f(t)$的拉普拉斯变换，那 么对于任意的常数$a,b,c,d$，有： $\int_{0}^{\infty}f(t)[a\cos bt+c\sin bt]dt=\int_{0}^{\infty}F(s)[as\cos btcs\sin bt]ds$
复变函数与积分变换课件
目录
• 复数与复变函数 • 复变函数的微积分 • 傅里叶级数与傅里叶变换 • 拉普拉斯变换及其应用 • 复变函数与积分变换的物理意义
复变函数与积分变换课堂PPT课件
完全类似在此基础上，也可以得出类似于微积分学中的 基本定理和牛顿-莱布尼兹公式。先引入原函数的概念。
第45页/共104页
定义 即
如果函数 , 则称
在区域D内的导数等于 f (z), 为 f (z)在区域B内的原函数。
定理二表明
是 f (z)的一个原函数。
• 容易证明，f (z)的任何两个原函数相差一个常数。
，因此有
或
第48页/共104页
有了原函数、不定积分和积分计算公式，复变函数
E'
E
C
B'
B
C1
即 或
第30页/共104页
上式说明如果将 C 及 沿C逆时针, 沿
看成一条复合闭路G, 其正向为: 顺时针, 则
上式说明在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分, 不 因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值, 只要在变 形过程中不经过函数
D
f (z)不解析的点。这 一重要事实，称为 闭路变形原理。
今后讨论积分，如无特别说明，总假定被积函数是连续 的，曲线C是按段光滑的。
第10页/共104页
例1 计算
, 其中C为原点到点3+4i的直线段。
[解]直线的方程可写作
或 在C上,
。于是
又因
第11页/共104页
容易验证，右边两个线积分都与路线C无关，所以 的值，不论C是怎样的连接原点到3+4i的曲线，
第27页/共104页
在上一节中，讨论了柯西-古萨定理是在单连通域
里，现将柯西-古萨基本定理推广到多连通域的情况。
设函数 f (z)在多连通域D内解析，C为D内的任意一条
简单闭曲线，当C的内部不完全含于D时，沿C的积分 就不一定为零。
第45页/共104页
定义 即
如果函数 , 则称
在区域D内的导数等于 f (z), 为 f (z)在区域B内的原函数。
定理二表明
是 f (z)的一个原函数。
• 容易证明，f (z)的任何两个原函数相差一个常数。
，因此有
或
第48页/共104页
有了原函数、不定积分和积分计算公式，复变函数
E'
E
C
B'
B
C1
即 或
第30页/共104页
上式说明如果将 C 及 沿C逆时针, 沿
看成一条复合闭路G, 其正向为: 顺时针, 则
上式说明在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分, 不 因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值, 只要在变 形过程中不经过函数
D
f (z)不解析的点。这 一重要事实，称为 闭路变形原理。
今后讨论积分，如无特别说明，总假定被积函数是连续 的，曲线C是按段光滑的。
第10页/共104页
例1 计算
, 其中C为原点到点3+4i的直线段。
[解]直线的方程可写作
或 在C上,
。于是
又因
第11页/共104页
容易验证，右边两个线积分都与路线C无关，所以 的值，不论C是怎样的连接原点到3+4i的曲线，
第27页/共104页
在上一节中，讨论了柯西-古萨定理是在单连通域
里，现将柯西-古萨基本定理推广到多连通域的情况。
设函数 f (z)在多连通域D内解析，C为D内的任意一条
简单闭曲线，当C的内部不完全含于D时，沿C的积分 就不一定为零。
复变函数与积分变换 第8.2 单位脉冲函数
(n)
∫
+∞
∞
2π i nδ ( n ) (ω )e iω t dω
= ( 1)n i n ( it )n = t n ,
所以 F [t ] = 2π i δ
n n
(ω ).
例5 计算 F [cos ω 0 t ] 和 F [sin ω 0 t ]. 函数Fourier变换的 根据δ 函数 变换的时移和频移性质 变换的 解 运行下面的 变换的时移和频移性质 , 可得
1 1 e iω0t + F e iω0t F [cos ω 0 t ] = F 2 2
当t≠0时, i(t)=0, 由于q(t)是不连续的 从而在 ≠ 时 由于 是不连续的, 是不连续的 普通导数意义下, 在这一点是不能求导数的. 普通导数意义下 q(t)在这一点是不能求导数的 在这一点是不能求导数的
如果我们形式地计算这个导数, 如果我们形式地计算这个导数 则得
这表明在通常意义下的函数类中找不到一个 函数能够表示这样的电流强度. 函数能够表示这样的电流强度 为了确定这样的电 流强度, 引进一称为狄利克雷(Dirac)的函数 简单 的函数, 流强度 引进一称为狄利克雷 的函数 函数: 记成δ-函数 函数
1 = 2π
1 ∫∞ [πδ (ω )] e dω + 2π
jω t +∞
+∞
∫
+∞
∞
1 jωt jω e dω
1 1 = + 2 2π
cos ω t + j sin ω t dω ∫∞ jω 1 1 +∞ sin ω t 1 1 +∞ sin ω t = + ∫∞ ω dω = 2 + π ∫0 ω dω 2 2π
∫
+∞
∞
2π i nδ ( n ) (ω )e iω t dω
= ( 1)n i n ( it )n = t n ,
所以 F [t ] = 2π i δ
n n
(ω ).
例5 计算 F [cos ω 0 t ] 和 F [sin ω 0 t ]. 函数Fourier变换的 根据δ 函数 变换的时移和频移性质 变换的 解 运行下面的 变换的时移和频移性质 , 可得
1 1 e iω0t + F e iω0t F [cos ω 0 t ] = F 2 2
当t≠0时, i(t)=0, 由于q(t)是不连续的 从而在 ≠ 时 由于 是不连续的, 是不连续的 普通导数意义下, 在这一点是不能求导数的. 普通导数意义下 q(t)在这一点是不能求导数的 在这一点是不能求导数的
如果我们形式地计算这个导数, 如果我们形式地计算这个导数 则得
这表明在通常意义下的函数类中找不到一个 函数能够表示这样的电流强度. 函数能够表示这样的电流强度 为了确定这样的电 流强度, 引进一称为狄利克雷(Dirac)的函数 简单 的函数, 流强度 引进一称为狄利克雷 的函数 函数: 记成δ-函数 函数
1 = 2π
1 ∫∞ [πδ (ω )] e dω + 2π
jω t +∞
+∞
∫
+∞
∞
1 jωt jω e dω
1 1 = + 2 2π
cos ω t + j sin ω t dω ∫∞ jω 1 1 +∞ sin ω t 1 1 +∞ sin ω t = + ∫∞ ω dω = 2 + π ∫0 ω dω 2 2π
《单位冲激函数》课件
它具有奇异性，即它在全域上的积分值为1。
单位冲激函数具有可分离性，即它可以表示为其 他函数的乘积或组合。
单位冲激函数与其他函数的区别
与普通函数相比，单位冲激函数具有 无穷大的值和积分为1的特性，这使 得它在某些数学分析和物理问题中具 有特殊的应用价值。
与脉冲函数相比，单位冲激函数更为 理想化，其值在零点处为无穷大，而 在其他点处为零，这使得它在描述某 些理想化的情况时更为精确。
冲激响应与系统特性
在物理学中，单位冲激函数可以用于描述系 统的冲激响应，从而分析系统的特性。
波动方程的求解
在物理学中的波动方程求解中，单位冲激函数可以 用于表示波前的传播和扩散。
其他物理现象的模拟与解 释
单位冲激函数还可以用于模拟和解释其他物 理现象，如电磁波的传播、量子力学的波函 数等。
05
单位冲激函数的扩展与展望
单位冲激函数的扩展
01
定义域扩展
将单位冲激函数的定义域从实数 轴扩展到复数域，以便更好地处 理复数信号和系统。
离散化
02
03
多维扩展
将单位冲激函数离散化，以适应 数字信号处理和计算机模拟的需 求。
将单位冲激函数从一维扩展到多 维，以处理更复杂的多维信号和 系统。
单位冲激函数的研究展望
深入研究单位冲激函数的性质
起源
单位冲激函数的概念最初由英国物理学家和数学家狄拉克提出， 用于描述量子力学中的粒子状态。
发展
随着数学和物理学的发展，单位冲激函数在各个领域得到了广泛的 应用，如信号处理、控制系统、概率论等。
现代应用
在现代科学和技术中，单位冲激函数在处理瞬态信号、解决奇异积 分方程以及量子力学等领域仍然发挥着重要的作用。
单位冲激函数的重要性
单位冲激函数具有可分离性，即它可以表示为其 他函数的乘积或组合。
单位冲激函数与其他函数的区别
与普通函数相比，单位冲激函数具有 无穷大的值和积分为1的特性，这使 得它在某些数学分析和物理问题中具 有特殊的应用价值。
与脉冲函数相比，单位冲激函数更为 理想化，其值在零点处为无穷大，而 在其他点处为零，这使得它在描述某 些理想化的情况时更为精确。
冲激响应与系统特性
在物理学中，单位冲激函数可以用于描述系 统的冲激响应，从而分析系统的特性。
波动方程的求解
在物理学中的波动方程求解中，单位冲激函数可以 用于表示波前的传播和扩散。
其他物理现象的模拟与解 释
单位冲激函数还可以用于模拟和解释其他物 理现象，如电磁波的传播、量子力学的波函 数等。
05
单位冲激函数的扩展与展望
单位冲激函数的扩展
01
定义域扩展
将单位冲激函数的定义域从实数 轴扩展到复数域，以便更好地处 理复数信号和系统。
离散化
02
03
多维扩展
将单位冲激函数离散化，以适应 数字信号处理和计算机模拟的需 求。
将单位冲激函数从一维扩展到多 维，以处理更复杂的多维信号和 系统。
单位冲激函数的研究展望
深入研究单位冲激函数的性质
起源
单位冲激函数的概念最初由英国物理学家和数学家狄拉克提出， 用于描述量子力学中的粒子状态。
发展
随着数学和物理学的发展，单位冲激函数在各个领域得到了广泛的 应用，如信号处理、控制系统、概率论等。
现代应用
在现代科学和技术中，单位冲激函数在处理瞬态信号、解决奇异积 分方程以及量子力学等领域仍然发挥着重要的作用。
单位冲激函数的重要性
复变函数与积分变换PPT课件
11 2i (2 i )( 5i) 11 2i 5 10i 25 5i (5i) 25 25
16 8 i 25 25
所以
16 8 Re z , Im z 25 25
16 8 16 8 64 zz ( i)( i) 25 25 25 25 125
1. 复数的乘幂 设 n 为正整数， n 个非零相同复数 z 的乘 z 的 n 次幂，记为 z n ，即 积，称为
z n z z z
n个
若 z r（cos i sin ) ，则有
z n r n (cos n i sin n )
当 r 1 时，得到著名的棣莫弗公式 (cos i sin ) n cos n i sin n
所以 r z ( 1) 2 ( 3) 2 2 设 arg z, 则
3 tan t 3 1
又因为 z 1 i 3 位于第II象限 2 所以 arg z 3 于是
2 2 z 1 i 3 2(cos i sin ) 3 3
y arctan x , z在第一、四象限 y y arg z arctan , z在第二象限 其中 arctan 2 x 2 x y arctan x , z在第三象限
说明：当 z 在第二象限时， arg z 0 2 2 y y arctan tan( ) tan( ) tan
z0
25
开集 如果点集 D 的每一个点都是D 的内 点，则称 D 为开集. 闭集 如果点集 D 的余集为开集，则称D 为闭集. 连通集 设是 D 开集，如果对于 D 内任意两 点，都可用折线连接起来，且该折线上的 点都属于 D ，则称开集 D 是连通集.
16 8 i 25 25
所以
16 8 Re z , Im z 25 25
16 8 16 8 64 zz ( i)( i) 25 25 25 25 125
1. 复数的乘幂 设 n 为正整数， n 个非零相同复数 z 的乘 z 的 n 次幂，记为 z n ，即 积，称为
z n z z z
n个
若 z r（cos i sin ) ，则有
z n r n (cos n i sin n )
当 r 1 时，得到著名的棣莫弗公式 (cos i sin ) n cos n i sin n
所以 r z ( 1) 2 ( 3) 2 2 设 arg z, 则
3 tan t 3 1
又因为 z 1 i 3 位于第II象限 2 所以 arg z 3 于是
2 2 z 1 i 3 2(cos i sin ) 3 3
y arctan x , z在第一、四象限 y y arg z arctan , z在第二象限 其中 arctan 2 x 2 x y arctan x , z在第三象限
说明：当 z 在第二象限时， arg z 0 2 2 y y arctan tan( ) tan( ) tan
z0
25
开集 如果点集 D 的每一个点都是D 的内 点，则称 D 为开集. 闭集 如果点集 D 的余集为开集，则称D 为闭集. 连通集 设是 D 开集，如果对于 D 内任意两 点，都可用折线连接起来，且该折线上的 点都属于 D ，则称开集 D 是连通集.
冲激函数 ppt课件
冲激函数
5
其他形状脉冲的极限情况
❖ 冲激函数一般看成是矩形脉冲函数的极限情况，其他 形状脉冲的极限情况也可作为单位冲激的近似。
❖ 具有单位面积的三角形脉冲，当趋近于零时，可作 为单位冲激的近似。
冲激函数
6
负指数函数
ftA0et/
t 0 t 0
| Aet /dt Aet /
A
0
0
令 A 1,
图(b)。
冲激函数
23
解答
N0为ab左边部分各独立源及初始条件置零后的网络， 即R1与C1的并联组合。
由图(b)求短路电流时，电流
可看成是电阻支路电流和电容支
路电流之和。
电阻支路的电流为(t)/Rl。阶 跃电压(t)作用于电容，意味着电
容电压发生跃变，因而电容支路
的电流为C1(t)。
is
t
t
R1
C1
x
ht
d
xt
h
d
❖ 对于物理上可实现的网络，响应(输出)不能先于激励
(输入)。冲激响应h(t)是对冲激激励(t)的响应，当t<0 时，(t)=0，因而冲激响应h(t)=0。
ytxtht
txhtd t ht0
0xthd冲激函数 0 ht0
29
卷积性质
❖ 如果只限于讨论输入在t=0时作用到网络的情况，亦 即
励之和作为N的输入，则根据叠加定理，输出就应该 是上述响应之和。
❖把激励的积分作 为输入，则响应 的积分便是输出， 即
xt dxht d xt dxtdxt ytxht dxt冲激h函数t
响应是激励与
冲激响应的卷
积
28
卷积性质
❖ 在卷积积分中冲激响应h(t)和输入x(t)可以交换。
复变函数和积分变换 84页PPT文档
（2）第二次数学危机 前面说过牛顿在确定 x3的导数时，前面部 分假设 0 是非零的，而在论证的后一部分， 又被取为零，偷换假设的错误是明显的。1734 年，英国哲学家、大主教贝克莱发表《分析 学家，或致一个不信正教数学家的进言》，矛 头指向微积分的基础——无穷小的问题，提 出了所谓“贝克莱悖论”。
中国古藉《易．系辞》中说： 「上古结绳而治，后世圣人易之以书契。」 这些都是匹配计数法的反映。
（２）整数 正整数，零与负整数构成整数系。
•零不仅表示「无」，更是表示空位的符号。 •中国古代用算筹计算数并进行运算时，空位不放算筹， 虽无空位记号，但仍能为位值记数与四则运算创造良好的条件。 •印度－阿拉伯命数法中的零（zero）来自印度的（sunya ） 字，其原意也是「空」或「空白」。
2、数学的内容
大致说来，数学分为初等数学与高等 数学两大部分。
初等数学中主要包含两部分：几何学 与代数学。几何学是研究空间形式的学科， 而代数学则是研究数量关系的学科。
初等数学基本上是常量的数学。
高等数学含有非常丰富的内容，以大学本科所学为 限，它主要包含： • 解析几何：用代数方法研究几何，其中平面解析几 何部分内容已放到中学。 • 线性代数：研究如何解线性方程组及有关的问题。 • 高等代数：研究方程式的求根问题。 • 微积分：研究变速运动及曲边形的求积问题。作为 微积分的延伸，物理类各系还要讲授常微分方程与 偏微分方程。 • 概率论与数理统计：研究随机现象，依据数据进行 推理。等等
分数的使用导源于除法运算的需要。 除法运算可看作求解方程px=q（p≠0 ），如果p， q是整数，则所给方程未必有整数解。 为了使它恒有解，就有必要把整数系扩大成为有 理数系。
（４）无理数
（５）实数
复变函数与积分变换课件(南昌大学)
的 根,则z也 是 其 根. (实 多 项 式 的 零 点 成 对 出现)
例4.证明 : z1 z2 2 z1 z2 2 2 z1 2 z2 2
二、复数的几何表示
1. 复平面的定义
复数 z x iy 与有序实数对( x, y) 成一一
对应. 因此, 一个建立了直角坐标系的平面可以
z
z1 z2
x1 x2 y1 y2 | z2 |2
i
x2 y1 x1 y2 | z2 |2
(z2 0)
•运算规律
复数的运算满足交换律、结合律、分配律。 （与实数相同）即，
z1+z2=z2+z1； z1z2=z2z1； (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)； z1(z2z3)=(z1z2)z3； z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 .
❖ 华罗庚(1910-1985年)中国著名数 学家。中国科学院院士。主要从事 解析数论、矩阵几何学、典型群、 自守函数论、多复变函数论、偏微 分方程、高维数值积分等领域的研 究与教授工作并取得突出成就.他 在多元复变数函数论方面的贡献， 影响到世界数学的发展。他在解析 数论方面的成就尤其广为人知，国 际间颇有名气的"中国解析数论学 派"即以华罗庚为首开创的学派.
conjugate实多项式的零点成对出也是其根是实系数方程证明若叫虚轴或纵轴通常把横轴叫实轴或用来表示复数的平面可以一个建立了直角坐标系因此对应成一一与有序实数对复数表示面上的点可以用复平复数的模或绝对值向量的长度称为z表示可以用复平面上的向量复数opiy定义两点的距离为称为辐角argz的主值记作复数的辐角说明0有无穷多个辐角任何一个复数是其中一个辐角如果的全部辐角为那么称为为终边的角的弧度数的向量以表示argtanarctanarg计算argzz0的公式特殊地辐角不确定
例4.证明 : z1 z2 2 z1 z2 2 2 z1 2 z2 2
二、复数的几何表示
1. 复平面的定义
复数 z x iy 与有序实数对( x, y) 成一一
对应. 因此, 一个建立了直角坐标系的平面可以
z
z1 z2
x1 x2 y1 y2 | z2 |2
i
x2 y1 x1 y2 | z2 |2
(z2 0)
•运算规律
复数的运算满足交换律、结合律、分配律。 （与实数相同）即，
z1+z2=z2+z1； z1z2=z2z1； (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)； z1(z2z3)=(z1z2)z3； z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 .
❖ 华罗庚(1910-1985年)中国著名数 学家。中国科学院院士。主要从事 解析数论、矩阵几何学、典型群、 自守函数论、多复变函数论、偏微 分方程、高维数值积分等领域的研 究与教授工作并取得突出成就.他 在多元复变数函数论方面的贡献， 影响到世界数学的发展。他在解析 数论方面的成就尤其广为人知，国 际间颇有名气的"中国解析数论学 派"即以华罗庚为首开创的学派.
conjugate实多项式的零点成对出也是其根是实系数方程证明若叫虚轴或纵轴通常把横轴叫实轴或用来表示复数的平面可以一个建立了直角坐标系因此对应成一一与有序实数对复数表示面上的点可以用复平复数的模或绝对值向量的长度称为z表示可以用复平面上的向量复数opiy定义两点的距离为称为辐角argz的主值记作复数的辐角说明0有无穷多个辐角任何一个复数是其中一个辐角如果的全部辐角为那么称为为终边的角的弧度数的向量以表示argtanarctanarg计算argzz0的公式特殊地辐角不确定
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( t t 0 ) f ( t ) d t
P193 性质 8.2
f (t0 ) .
(2) 对称性质
函数为偶函数，即 ( t ) ( t ) .
6
§8.2 单位冲激函数 第 二、单位冲激函数的概念及性质 八 章 3. 单位冲激函数的图形表示 傅 里 叶 变 换
统一起来。
(3) 在工程实际问题中，有许多瞬时物理量不能用通常 的函数形式来描述，如冲击力、脉冲电压、质点的 质量等等。 2
§8.2 单位冲激函数 第 一、为什么要引入单位冲激函数 八 长度为 a，质量为 m 的均匀细杆放在 x 轴的 [0 , a] 区间 章 引例 傅 里 叶 变 换
P191 例 8.5
显然 , 该密度函数并没有反映出质点的任何质量信息 ,
3
§8.2 单位冲激函数 第 二、单位冲激函数的概念及性质 八 章 1. 单位冲激函数的概念 定义 单位冲激函数 ( t ) 满足： 傅 里 P192 (1) 当 t 0 时， ( t ) 0 ; 叶 变 (2) ( t ) d t 1 . 换 单位冲激函数 ( t ) 又称为 Dirac 函数或者 函数。 显然，借助单位冲激函数，前面引例中质点的密度函数 就可表示为 P ( x ) m ( x ) .
m a , 上，则它的线密度函数为 Pa ( x ) 0,
0 x a,
其它
.
质量为 m 的质点放置在坐标原点，则可认为它相当于 细杆取 a 0 的结果。相应地，质点的密度函数为
, P ( x ) lim Pa ( x ) a 0 0, x 0, x 0.
休息一下 ……
14
§8.2 单位冲激函数 第 附：单位冲激函数的其它定义方式 八 1 / , 0 t , 章 方式一 令 ( t ) 其它 , 0, 傅 里 则 ( t ) lim ( t ) . 叶 0 变 换 方式二 (20 世纪 50 年代，Schwarz)
(t )
1
t
单位冲激函数 (t ) 满足 ( t ) ( t ) d t (0) , 其中， ( t ) C 称为检验函数。
(返回)
15
是由 Dirac(狄拉克)给出的。
单位冲激函数 其它定义方式
5
§8.2 单位冲激函数 第 二、单位冲激函数的概念及性质 八 章 2. 单位冲激函数的性质 性质 (1) 筛选性质 傅 设函数 f ( t ) 是定义在 ( , ) 上的有界函数， 里 P192 叶 性质 8.1 且在 t 0 处连续，则 ( t ) f ( t ) d t f ( 0 ) . 变 换 一般地，若 f ( t ) 在 t t 0 点连续，则
称这种方式的 Fourier 变换是一种广义的Fourier变换。
9
§8.2 单位冲激函数 第 八 章 傅 里 叶 变 换
P194 例8.7 修改
解 (1) F1 ( )
[ f1 ( t ) ]
1e ) .
(
0
0
[ e j 0 t ]
[ e j 0 t ] )
π ( 0 ) π ( 0 ) .
12
§8.2 单位冲激函数 第 四、周期函数的 Fourier 变换 八 章 定理 设 f ( z ) 以 T 为周期，在 [ 0 , T ] 上满足 Dirichlet 条件， P195 则 f ( z ) 的 Fourier 变换为 傅 定理 里 8.3 F ( ) 2 π F ( n 0 ) ( n 0 ) . 叶 n 变 其中， 0 2 π / T , F ( n 0 ) 是 f ( z ) 的离散频谱。 换 证明 由
π δ(ω ) .
注 称 u ( t ) 为单位阶跃函数，也称为 Heaviside 函数， 它是工程技术中最常用的函数之一。 11
§8.2 单位冲激函数 第 八 章 傅 里 叶 变 换
P194 例8.7 部分 P195 例8.9
解 (1) F1 ( )
[ f1 ( t ) ]
4
§8.2 单位冲激函数 第 二、单位冲激函数的概念及性质 八 章 1. 单位冲激函数的概念
( t ) 并不是经典意义下的函数，而是一 傅 注 (1) 单位冲激函数 里 个广义函数(或者奇异函数)，它不能用通常意义下的 叶 “值的对应关系”来理解和使用，而总是通过它的性质 变 换 来使用它。
(2) 单位冲激函数有多种定义方式，前面给出的定义方式
(t ) e
j t
dt e
j t t0
1.
即 ( t ) 与 1 构成Fourier变换对 ( t ) 1 .
(t )
[ ( t ) ]
1 t
1
由此可见，单位冲激函数包含所有频率成份，且它们具有 相等的幅度，称此为均匀频谱或白色频谱。 8
§8.2 单位冲激函数 第 八 章 傅 里 叶 变 换
P194 例8.8 修改
解 已知
[ sgn t ]
2 jω
,
u( t )
[ 1 ] 2 π ( ) , 又 u(t )
1 2 1 2 (sgn t 1 ) ,
1
t
得 U ( )
(
[ sgn t ]
[1])
1 jω
f (t ) F ( )
n
F (n 0 ) e
jn 0t
有
n
F ( n 0 )
e jn 0t e jn t d t
2π
n
F ( n 0 ) ( n 0 ) .
13
§8.2 单位冲激函数 第 八 章 傅 里 叶 变 换
(2) 将等式 e j t d t 2 π ( ) 的两边对 求导，有
( jt ) e te
j t
j t
d t 2 π ( ) ,
d t 2 π j ( ) ,
即得 F 2 ( )
[ f 2 ( t ) ] 2 π j ( ) . 10
函数的图形表示方式非常特别，通常采用一个从原点
出发长度为 1 的有向线段来表示，其中有向线段的长度 代表 函数的积分值， 称为冲激强度。
同样有，函数 A ( t ) 的冲激强度为 A。
(t )
(t t0 )
A (t )
1 t
1
t0
A
t
t
7
§8.2 单位冲激函数 第 三、单位冲激函数的 Fourier 变换 八 利用筛选性质，可得出 函数的 Fourier 变换： P194 章 傅 里 叶 变 换 [ (t ) ]
§8.2 单位冲激函数 第 八 章 傅 里 叶 变 换
§8.2 单位冲激函数
一、为什么要引入单位冲激函数 二、单位冲激函数的概念及性质 三、单位冲激函数的 Fourier 变换 四、周期函数的 Fourier 变换
1
§8.2 单位冲激函数 第 一、为什么要引入单位冲激函数 八 章 理由 (1) 在数学、物理学以及工程技术中，一些常用的重要 函数，如常数函数、线性函数、符号函数以及单位 傅 里 阶跃函数等等，都不能进行 Fourier 变换。 叶 变 (2) 周期函数的Fourier级数与非周期函数的Fourier变 换 换都是用来对信号进行频谱分析的，它们之间能否
§8.2 单位冲激函数 第 三、单位冲激函数的 Fourier 变换 八 按照 Fourier 逆变换公式有 章 傅 里 叶 变 换
重要公式
e
j t
d 2 π (t ) .
注 在 函数的 Fourier 变换中，其广义积分是根据 函数的 性质直接给出的，而不是通过通常的积分方式得出来的，
e
j
0
t
e
j t
dt
e
1 2
j ( 0 ) t
d t 2 π ( 0 ) 2 π ( 0 ) .
e
j 0 t
(2) 由 cos 0 t
(e
j 0 t
)，
F 2 ( )
π
有 F 2 ( )
1 2
[ f2 (t )]