(完整word)高中数学必修二直线与圆的综合问题.doc

直线与圆

一．解答题（共10 小题）

1．已知直线x﹣ y+3=0 与圆心为（ 3，4）的圆 C 相交，截得的弦长为2．

（1）求圆 C 的方程；

（2）设 Q 点的坐标为（ 2，3），且动点 M 到圆 C 的切线长与 | MQ| 的比值为常数 k（k＞ 0）．若动点 M 的轨迹

是一条直线，试确定相应的 k 值，并求出该直线的方程．

2．已知直线l： y=x+2 被圆 C：（x﹣ 3）2+（y﹣2）2=r2（r＞0）截得的弦AB的长等于该圆的半径．

（1）求圆 C 的方程；

（2）已知直线 m：y=x+n 被圆 C：（x﹣3）2+（ y﹣2）2=r2（ r＞ 0）截得的弦与圆心构成三角形CDE．若△ CDE 的面积有最大值，求出直线m：y=x+n 的方程；若△ CDE的面积没有最大值，说明理由．

3．已知 M （4， 0）， N（ 1，0），曲线 C上的任意一点P 满足：?=6||

（Ⅰ）求点 P 的轨迹方程；

（Ⅱ）过点 N（1，0）的直线与曲线 C 交于 A，B 两点，交 y 轴于 H 点，设=λ1，=λ2，试问λ1+λ2 是否为定值？如果是定值，请求出这个定值；如果不是定值，请说明理由．

4．已知动圆 P 与圆 F1：（x+2）2+y2=49 相切，且与圆 F2：（ x﹣ 2）2+y2=1 相内切，记圆心P 的轨迹为曲线 C．（Ⅰ）求曲线 C 的方程；

（Ⅱ）设 Q 为曲线 C 上的一个不在x 轴上的动点， O 为坐标原点，过点F2作 OQ 的平行线交曲线 C 于 M，

N 两个不同的点，求△QMN 面积的最大值．

5．已知动圆P 过定点且与圆N：相切，记动圆圆心P 的轨迹为曲线

C．

（Ⅰ）求曲线 C 的方程；

（Ⅱ）过点 D（ 3，0）且斜率不为零的直线交曲线 C 于 A，B 两点，在 x 轴上是否存在定点 Q，使得直线AQ，

BQ的斜率之积为非零常数？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．

6．如图所示，在△ABC中， AB 的中点为 O，且 OA=1，点 D 在 AB 的延长线上，且．固定边AB，在平面内移动顶点C，使得圆 M 与边 BC，边 AC 的延长线相切，并始终与AB 的延长线相切于点D，记顶点

C 的轨迹为曲线Γ．以AB所在直线为x 轴， O 为坐标原点如图所示建立平面直角坐标系．

（Ⅰ）求曲线Γ的方程；

（Ⅱ）设动直线l 交曲线Γ于 E、 F 两点，且以EF为直径的圆经过点O，求△ OEF面积的取值范围．

7．已知△ ABC的顶点 A（1， 0），点 B 在 x 轴上移动， | AB| =| AC| ，且 BC 的中点在y 轴上．

（Ⅰ）求 C 点的轨迹Γ的方程；

（Ⅱ）已知过 P（ 0，﹣ 2）的直线 l 交轨迹Γ于不同两点 M， N，求证： Q（ 1，2）与 M， N 两点连线 QM， QN 的斜率之积为定值．

8．已知圆M： x2+y2+2y﹣7=0和点N（0，1），动圆P经过点N且与圆M相切，圆心P的轨迹为曲线E．（1）求曲线 E 的方程；

（2）点 A 是曲线 E 与 x 轴正半轴的交点，点 B、C 在曲线 E 上，若直线 AB、AC的斜率 k1，k2，满足 k1k2=4，求△ ABC面积的最大值．

9．已知过点A（ 0， 1）且斜率为k 的直线 l 与圆 C：（x﹣ 2）2+（y﹣3）2

=1 交于点 M，N 两点．

（1）求 k 的取值范围；

（2）请问是否存在实数k 使得（其中O为坐标原点），如果存在请求出k 的值，并求 | MN | ；如果不存在，请说明理由．

10．已知O 为坐标原点，抛物线C： y2=nx（n＞ 0）在第一象限内的点P（2， t）到焦点的距离为，C在

点P 处的切线交 x 轴于点 Q，直线 l1经过点 Q 且垂直于 x

轴．（1）求线段 OQ 的长；

（2）设不经过点 P 和 Q 的动直线 l2：x=my+b 交 C 交点 A 和 B，交 l1于点 E，若直线 PA， PB 的斜率依次成

等差数列，试问： l2是否过定点？请说明理由．

直线与圆

参考答案与试题解析

一．解答题（共10 小题）

1．已知直线x﹣ y+3=0 与圆心为（ 3，4）的圆 C 相交，截得的弦长为2．

（1）求圆 C 的方程；

（2）设 Q 点的坐标为（ 2，3），且动点 M 到圆 C 的切线长与 | MQ| 的比值为常数 k（k＞ 0）．若动点 M 的轨迹

是一条直线，试确定相应的 k 值，并求出该直线的方程．

【分析】（1）求出圆心 C 到直线 l 的距离，利用截得的弦长为2求得半径的值，可得圆 C 的方程；

（2）设动点 M（ x，y），则由题意可得=k，即=k，化简可得（k2﹣

1）?x2+（k2﹣1） ?y2+（6﹣ 4k2） x+（8﹣6k2）y+13k2﹣9=0，若动点 M 的轨迹方程是直线，则k2﹣1=0，即可得出结论．

【解答】解：（1）圆心 C 到直线 l 的距离为= ，

∵截得的弦长为 2，

∴半径为 2，

∴圆 C：（x﹣ 3）2+（ y﹣4）2=4；

（2）设动点 M （x， y），则由题意可得=k，即=k，

化简可得（ k2﹣ 1）?x2+（ k2﹣ 1）?y2+（ 6﹣4k2）x+（8﹣ 6k2） y+13k2﹣

21=0，若动点 M 的轨迹方程是直线，则 k2﹣ 1=0，∴ k=1，直线的方程为 x+y﹣

4=0．

【点评】本小题主要考查直线与圆的位置关系，弦长公式的应用，圆的一般式方程，属于中档题．

2．已知直线l： y=x+2 被圆 C：（x﹣ 3）2+（y﹣2）2=r2（r＞0）截得的弦AB的长等于该圆的半径．

（1）求圆 C 的方程；

（2）已知直线 m：y=x+n 被圆 C：（x﹣3）2+（ y﹣2）2=r2（ r＞ 0）截得的弦与圆心构成三角形CDE．若△ CDE 的面积有最大值，求出直线m：y=x+n 的方程；若△ CDE的面积没有最大值，说明理由．

【分析】（1）根据直线和圆相交得到的弦长公式求出圆的半径即可求圆 C 的方程；

（2）根据直线和圆相交的位置关系，结合△CDE的面积公式即可得到结论．

【解答】解：（1）设直线 l 与圆 C 交于 A， B 两点．

∵直线 l ：y=x+2 被圆 C：（x﹣ 3）2 +（y﹣ 2）2=r2（ r＞0）截得的弦长等于该圆的半

径，∴△ CAB为正三角形，