静电场的环路定理和电势综述

在正电荷形成的电场中任一点的电势均为正， 且离点电荷越远的点，电势越低
在负电荷形成的电场中任一点的电势均为负， 且离点电荷越远的点，电势越高
9.4 静电场的环路定理和电势
二、电势叠加原理
V (P)
E dl
P
p
(E1
E2
)
dl
i
Vi (P)
i
qi 4πε 0 ri
一般的：连续带电体的电场任一场点的电势
A
1E
2
B
A1B
A2B
E dl 0
在静电场中，电场强度E 沿
L
任意闭合路径的线积分为零
静电场的电场线不可能是闭合曲线—静电场是无旋场
9.4 静电场的环路定理和电势
描述静电场的性质的定理
高斯定理
E S
dS
1
0
qi
（S内）
通量
静电场是有源场， “源”就是电荷
静电场的环路定理
LE dl 0
2
P(x, y)
r
q
x
9.4 静电场的环路定理和电势
忽略二级小量l 的平方项，得
V 1 ql cos 4π 0 r 2
1
4π 0
p cos
r2
q
V
1
4π 0
pr r3
y P(x, y)
r r
r
O q
l
x
9.4 静电场的环路定理和电势
例题2 求均匀带电圆环（电量q ，半径R）轴线
上P点的电势。
V 1 dq 4πε0 r
三、电势的计算
利用电势叠加原理
由定义式 Va
"0" E dl
a
9.4 静电场的环路定理和电势
例题1 求电偶极子的电势分布
y
解
q 11
VP
4 0
( r
) r
在 r l 的情况下有
r
r
l 2
cos
r r
q O
r
r
l 2
cos
l
V q lcos 4π 0 r 2 ( l cos )2
W qU
1.601019C1V 1.601019 J
一个电子伏特的能量
电子伏特是近代物理学中能量单位
9.4 静电场的环路定理和电势
9.4.3 电势的计算
一、点电荷q的电场中任一场点的电势
无穷远处为电势零点
V (P)
E dl
E dr
Edr
P
P
P
q
q
r 4πε0r 2 dr 4πε0r
dV 1
1 2πrdr
4πε0 x2 r 2
V R 2ε0 0
rdr ( x2 R2 x)
x2 r 2 2ε0
9.4 静电场的环路定理和电势
概念检测
有N个电荷均为q的点电荷，以两种方式分布在相 同半径的圆周上：一种是无规则地分布，另一种是均 匀分布．比较这两种情况下在过圆心O并垂直于圆平 面的z轴上任一点P(如图所示)的电场强度与电势，则 有
试验电荷在电场中某点的电势能We ，在数值上等于把 它从该点移到零电势能处(参考点)电场力所做的功。
9.4 静电场的环路定理和电势
电势能属于静电场和试验点电荷
电势能的大小是相对的
电势能是状态（位置）的单值函数
2、电势与电势差
电势
VP
WeP q0
VQ
WeQ q0
参考点
E dl
P 参考点
r q0 dr B
rb
dW F dl q0E dl A ra Q
q0E cos dl
dW
q0
4
Q
π 0r 2
dr
9.4 静电场的环路定理和电势
从a点到b点电场力做的功
W Qq0 rb dr
4π 0 r ra 2
Qq0 ( 1 1 )
4 π 0 ra rb
A ra Q
E
dl
rq0
dl
P
Edr
P
E0
(r R)
V (r)
r
Q
4π 0
r
2
dr
Q 4πε0r
(r R)
R
Q
V (r) 0 dr
dr
Q
r
R 4π 0r 4π 0 R
(r R)
在球面处场强不连续，但电势却是连续的。
9.4 静电场的环路定理和电势
dr
rb
B
电场力所做的功只与电荷
的电量以及始末位置有关，而
与路径无关
推广：点电荷系(连续带电体)的电场力做功
具有同样特征
——静电力是保守力
9.4 静电场的环路定理和电势
二、静电场的环路定理
W L q0E dl
q0E dl q0E dl
A1B B2A
q0E dl q0E dl 0
VP
E dl
P
2、 电荷分布延伸到无限远；可选取场中任一点，
合理选择电势零点可使问题简化。
电荷分布虽延伸到无限远，但电荷的代数和为零。
9.4 静电场的环路定理和电势
三、点电荷在电场中移动时电场力所做的功
WPQ
WeP
WeQ
q0
Q E dl
P
q0 (VP VQ ) q0U PQ
电子伏特（eV）——能量的一个单位
静电力是保守力， 静电场是无旋场
环流
电势能
9.4 静电场的环路定理和电势
9.4.2 电势能和电势
一、电势能、电势、电势差
WeQQ
1、电势能We
Q
WeP WeQ q0 P E dl
若设零电势能 WeQ 0
q
rQ
rP
WeP
P
q0
参考点 静电力做正功时，电势能减少
WeP q0 P E dl 电场力做负功时，电势能增加
E dl
Q
某点的电势等于把单位正电荷从该点移到电势零 点电场力作的功
电势与电势能的联系和区别
9.4 静电场的环路定理和电势
➢电势是相对的，电势差是绝对的
电势差
U PQ VP VQ
Q E dl
P
➢单位：1V＝1J/C
二、电势零点
1、电荷只分布在有限区域时，电势零点通常选在无
穷远处。
设Q点在无限远，VQ=0
dl
解 利用电势叠加原理
dq dl
r R2 x2
R
1 dq dV
4πε0 r
1 dl
4πε0 r
V dl q 1 4πε0 l r 4πε0r 4πε0
q x2 R2
9.4 静电场的环路定理和电势
例题3 求圆盘轴线上任一点的电势
解 取微元
dr Rr
dq 2π rdr
0
xP
A. 电场强度相等，电势相等 B. 电场强度不等，电势不等 C. 电场强度分量Ez相等，电势相等 D. 电场强度分量Ez相等，电势不等
C
9.4 静电场的环路定理和电势
例题4 求球面半径为R、总带电量为Q的均匀
带电球面的电势分布。
解
均匀带电球面的电场
E
Q 4ε0r 2
er
(r R)
VP
E
9.4 静电场的环路定理和电势
9.4 静电场的环路定理和电势
9.4.1 静电场的环路定理 9.4.2 电势能和电势 9.4.3 电势的计算
9.4 静电场的环路定理和电势
9.4.1 静电场的环路定理
一、静电场力做功的特点
E
将试验电荷q0从a点移动到b点 对任意位移元 dl
静电力所做的 元功
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
dl