初一-探索规律经典题

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图③图②图①初一探索规律
1．直线上有2010个点,我们进行如下操作：在每相邻两点间插入1个点,经过3次这样的操作后,直线上共有________个点.
答案：16073 ，若本题将2010改为2011，结果是多少？
2． （2010年安徽中考）下面两个多位数1248624……、6248624……，都是按照如下方法得到的：将第一位数字乘以2，若积为一位数，将其写在第2位上，若积为两位数，则将其个位数字写在第2位。

对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字……，后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的。

当第1位数字是3时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前100位的所有数字之和是（ ） A ）495 B ）497 C ）501 D ）503 答案：A
3．（2010年浙江省）阅读材料，寻找共同存在的规律：有一个运算程序a ⊕b = n ， 可以使：（a+c ）⊕b= n+c ，a ⊕（b+c ）=n －2c ， 如果1⊕1=2，那么2010⊕2010 =________．
答案：-2007；若本题将2010⊕2010改为2011⊕2011，结果是多少？
4．(2010重庆市)有两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心O 按逆时针方向进行旋转，每次均旋转45°，第1次旋转后得到图①，第2次旋转后得到图②，……，则第10次旋转后得到的图形与图①～④中相同的是（）
A ．图①
B ．图②
C ．图③
D ．图④
解析：观察图形，可知每转动4次为一个循环，所以10÷4=2…2，即第10次旋转后得到图形是图②.
答案：B. 循环型探索规律主要是弄清循环节。

5.（2010年四川省）如图，将第一个图（图①）所示的正三角形连结各边中点进行分割，得
到第二个图（图②）；再将第二个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，得到第三个图（图③）；再将第三个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，……，则得到的第五个图中，共有________个正三角形．
答案：17
6．（2010年福建省）如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作；...，根据以上操作，若要得到2011个小正方形，则需要操作的次数是( ) .
A. 669
B. 670
C.671
D. 672 答案：B
先从特殊到一般，然后采用列表法进行观察，或利用等差数列通项公式d n a a n )1(1-+=。

然后列方程进行求解
7．（2010日照市）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：
他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是
（A ）15 （B ）25 （C ）55 （D ）1225 答案：D
8.我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），它们两者之间可以互相换算，如将(101)2,(1011)2换算成十进制数应为：
5104212021)101(0122=++=⨯+⨯+⨯= 1121212021)1011(01232=⨯+⨯+⨯+⨯=
按此方式，将二进制(1001)2换算成十进制数的结果是_______________. 答案： 9 9．（2010·汕头）阅读下列材料：
1×2 =
31
(1×2×3－0×1×2)， 2×3 = 3
1
(2×3×4－1×2×3)，
3×4 =
3
1
(3×4×5－2×3×4)，由以上三个等式相加，可得 1×2＋2×3＋3×4= 3
1
×3×4×5 = 20．
读完以上材料，请你计算下列各题： (1) 1×2＋2×3＋3×4＋···＋10×11（写出过程）； (2) 1×2＋2×3＋3×4＋···＋n ×(n ＋1) = _________； (3) 1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋···＋7×8×9 = _________． 10．（2010·汕头）如图（1），已知小正方形ABCD 的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A 1B 1C 1D 1；把正方形A 1B 1C 1D 1边长按原法延长一倍得到正方形A 2B 2C 2D 2（如图（2））；以此下去···，则正方形A 4B 4C 4D 4的面积为__________．
11.（2007四川）一个叫巴尔末的中学教师成功地从光谱数据
59，1216，2125，32
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，…中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥秘的大门，请你按照这种规律，写出第n （n ≥1）个数据是___________．
解：)4()2(2
++n n n 或4
)2()2(22-++n n
12．（2007山东威海）观察下列等式：
223941401⨯=-，224852502⨯=-，225664604⨯=-，226575705⨯=-，228397907⨯=-…
请你把发现的规律用字母表示出来：n m ∙ ．
答案：2
2
22m n m n +-⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
13.（2007湖北武汉）下列图案是由边长为单位长度的小正方形按一定的规律拼接而成。

依
此规律，第5个图案中小正方形的个数为_______________。

第10题图（1） A 1 B 1 C 1 D 1 A B C D D 2 A 2 B 2
C 2
D 1 C 1 B 1
A 1 A B
C
D 第10题图（2）
答案：41
14.（2007贵州贵阳）如图12，平面内有公共端点的六条射线OA ，OB ，OC ，OD ，
OE ，OF ，从射线OA 开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，…．
（1）“17”在射线 上． （2）请任意写出三条射线上数字的排列规律． （3）“2007”在哪条射线上？
解：（1）“17”在射线OE 上．
（2）射线OA 上数字的排列规律：65n -
射线OB 上数字的排列规律：64n - 射线OC 上数字的排列规律：63n - 射线OD 上数字的排列规律：62n - 射线OE 上数字的排列规律：61n - 射线OF 上数字的排列规律：6n
（3）在六条射线上的数字规律中，只有632007n -=有整数解．解为335n = “2007”在射线OC 上． 15．（2009年重庆）观察下列图形，则第n 个图形中三角形的个数是（ ）
A ．22n +
B ．44n +
C ．44n -
D ．4n
答案：D ．
16．(2009年河北)古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10 … 这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16 … 这样的数称为“正方形数”． 从图7中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是（ ）
A ．13 = 3+10
B ．25 = 9+16
C ．36 = 15+21
D ．49 = 18+31
【答案】C
4=1+3 9=3+6
16=6+10
图7
…
……
第1个 第2个
第3个
图12
17．(2009
成都)已知2
1
(123...)(1)
n a n n =
=+，，，，记112(1)b a =-，2122(1)(1)b a a =--，…，122(1)(1)...(1)n n b a a a =---，则通过计算推测出n b 的表达式n b ＝_______．(用含n 的代数式表示) 【答案】
1
2
++n n
18．（2009年济宁市）观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第5个大三角形中白色三角形有 个 ． 【答案】121 19．（2009年广西梧州）图（3）是用火柴棍摆成的边长分别是1，2，3 根火柴棍时的正方形．当边长为n 根火柴棍时，
（用n 的代数式表示s ）
【答案】2(1)n n +
20.有一个四等分转盘，在它的上、右、下、左的位置挂着“众”“ 志”“ 成”“城”四个字牌，如图5-1．若将位于上下位置的两个字牌对调，同时将位于左右位置的两个字牌对调，再将转盘顺时针旋转90°，则完成一次变换．图5-2、图5-3分别表示第1次变换和第2次变换．按上述规则完成第9次变换后，“众”字位于转盘的位置是（ ）
A ．上
B ．下
C ．左
D ．右
答案C ；四次变换为一周期；通过观察、分析、归纳、抽象、概括迅速发现每一次变换“众”字逆时针旋转90°这一规律。

第1个第2个第3个
图 5 -
1 图 5 -
2 …
图 5 -
3
n =1 n =2 n =3。