人口增长与预测模型[谷风课资]

~ 各年龄组种群 数量不变
8
稳态分析
3）=1时 Lx* x* x* 1, s1, s1s2,s1s2 sn1 T
b1 b2 bn1 bn
s 1
0
0
0
L
s2
0
0
sn1 0
b1 b2s1 bns1s2 sn1 1
~ 1个个体在整个存活 期内的繁殖数量为1
4) x(k) ck x*, x* [1, s1, s1s2 ,, sn1 ]T
r
p(r,t)
p0
(r
r
t)e (s)ds r t r
,
0
t
r
f
(t
r)e (s)ds 0
,
tr
tr tr
F (r, t )
r
0
p(s, t )ds
p0 (r)
tr
N (t)
rm 0
p(s,t)ds
0
f (t)
t
一类课资
16
生育率的分解
k(r,t) ~ (女性)性别比函数
b(r,t) ~ (女性)生育数 [r1, r2 ] ~ 育龄区间
n 1
dE dt
(
) nPn (t) n1一类课资
(
) E (t )
24
求解： dE ( )E(t)
dt E(0) n0
E(t) n0ert , r
r ~ 增长概率
比较：确定性指数增长模型 x(t) x0ert r ~ 平均增长率
X(t)的方差
D(t
)
n
2
P n
(t
)
E
2
(t
)
nn
0
n n0
(t=0时已知人口为n0)
评注：上述模型可作为一般的生灭过程的模型， 有着广泛的用途。如电梯升降、交通路口的通过 以及各种排队现象等，都可以在适当的假设下用 上述生灭过程模型来描述。
随机性模型
2.对象
X(t) ~ 时刻 t 的人口, 随机变量. Pn(t) ~概率P(X(t)=n), n=0,1,2,…
研究Pn(t)的变化规律；得到X(t)的期望和方差
一类课资
20
3. 模型假设
若X(t)=n, 对t到t+t的出生和死亡概率作以下假设
1)出生一人的概率与t成正比，记bnt ; 出生二人及二人以上的概率为o(t).
t
t时刻出生的人，死亡率按 (r,t) 计算的平均存活时间
4）老龄化指数 (t) R(t) / S (t)
控制生育率
控制 N(t)不过大
控制 (t)不过高
一类课资
19
四、随机人口模型
1.背景 • 一个人的出生和死亡是随机事件
一个国家或地区
平均生育率 平均死亡率
确定性模型
一个家族或村落
出生概率 死亡概率
三、人口预测和控制的偏微分方程模型
• 年龄分布对于人口预测的重要性 • 只考虑自然出生与死亡，不计迁移
F(r,t) ~ 人口分布函数 (t时刻年龄 r的人口数） t时刻,年龄小于 r 的人口数
p(r,t) ~ 人口密度函数 N(t) ~ 人口总数
rm ( ) ~ 最高年龄
F(0,t) 0, F(r ,t) N(t) m
发展中国家：人口增长很快，目前发展中国家每年增 长的人口，在世界人口增长总数中约占90%，原因是：
政治的独立 民族经济的发展
医疗卫生事业的进步
致使人口死亡率下降而 自然增长率高
发达国家：人口增长缓慢，已出现缓慢增长、零增长或 负增长
原因是：由于社会经济和文化教育的发展，人们自愿 节育，出生率逐步下降，目前多已接近零增长，甚至负 增长。
o(t)
全概率 公式：
Pn (t t)
Pn1 (t)bn1t Pn1 (t)dn1t
Pn (一t类)课(1资 bnt dnt) o(t2)2
5.建模 移项，两边除以t， 令t 0
dPn dt
bn1Pn1 (t) d P n1 n1 (t) (bn
dn )Pn (t)
bn=n，dn=n
随机事件X(t +t)=n的分解： X(t)=n-1, t内出生一人 X(t)=n+1, t内死亡一人 X(t)=n, t内没有出生和死亡
其它(出生或死亡二人， 出生且死亡一人，… …)
概率Pn(t+t) Pn-1(t), bn-1t Pn+1(t), dn+1t Pn(t), 1-bnt -dn t
解 释
x(k) Lk x(0) L对角化 L P[diag(1,n )]P1
Lk P[diag(1k ,kn )]P1 P的第1列是x*
lim
k
x(k)
1k
Pdiag(1,0,0)P1x(0)
一类课资
cx*
7
稳态分析——k充分大 种群按年龄组的分布
lim x(k ) cx*
k
k
1
1) x(k) ck x* ~ 种群按年龄组的分布趋向稳定，
i 1
b1
s 1
L
0
xi1(k 1) si xi (k), i 1,2,, n 1
b2 0
bn1 0
bn
0
x(k) [x1(k), x2 (k),xn (k)]T
~按年龄组的分布向量
s2
0
x(k 1) Lx(k)
x(k) Lk x(0)
sn1 0
预测任意时段种群
~Leslie矩阵(L矩阵) 一类课资
一类课资
11
二、延迟模型
Logistic模型：
dN rN (1 N )
dt
Nm
N
(t
)
1
(
N Nm
m
1)e
rt
N (0) N0,t 0.
N0
假定Logistic模型中人口数量的增长率与过去 的人口数量有关，环境对人口的制约作用并不是立 即见效，而是有一个滞后，要延迟到T 时刻后才起 作用，则Logistic模型可改为：
0 4 3
L
1
0
0 ,
2
0
1
0
4
如果开始时在这3个年龄组中每组有1000名女性，即
1000 X (0) 1000 ,
1000
于是由 x(k) Lk x(0)，得一到类课资
10
0 4 3 1000 7000
X (1) LX (0) 1/ 2
0
0
1000
500
,
0 1/ 4 0 1000 250
f
(t )
r2 r1
b(r, t )k (r, t )
p(r,t)dr
h(r,t) h(r)
b(r, t) (t)h(r, t)
0 r1
r 2
r
r2 r1
h(r , t )dr
1
h~生育模式
(t )
r2 r1
b(r , t )dr
~总和生育率
f
(t )
(t ) r2 r1
h(r, t )k (r, t )
E
E(t)+(t)
n1
D(t)
n0
e [e ( )t ( )t
1]
n0
E(t)-(t)
0
t
X(t)大致在 E(t)2(t) 范围内（ (t) ~均方差）
- = r D(t) , D(t)
一类课资
25
dPn dt
bn1Pn1 (t) dn1Pn1 (t) (bn
dn )Pn (t)
1, Pn (0) 0,
p(r,t)dr
一类课资
17
人口发展方程和生育率
f
(t )
(t) r2 r1
h(r,
t)k
(r,
t)
p(r,
t)dr
(t) ~总和生育率——控制生育的多少
h(r, t ) ~生育模式——控制生育的早晚和疏密
p(r,t)
p 0
(r
r
t)e (s)ds rt r
,
0
t
r
f (t r)e0(s)ds , t r
x*称稳定分布, 与初始分布无关。
2) x(k 1) x(k) ~ 各年龄组种群数量按同一
xi (k 1) xi (k) 倍数增减， 称固有增长率
与基本模型 x(k 1) Lx(k) 比较
3）=1时 x(k 1) x(k) cx*
x* 1, s1, s1s2 ,s1s2 sn1 T
一类课资
• 时间离散为时段，长度与年龄组区间相等，记k=1,2,…
• 第i 年龄组1雌性个体在1时段内的繁殖率为bi
• 第i 年龄组在1时段内的死亡率为di, 存活率为si=1- di
一类课资
5
假设 xi(k) ~时段k第i 年龄组的种群数量
与 建模
n
x 1
(k
1)
b i
x i
(k
)
(设至少1个bi>0)
dPn dt
(n 1)Pn1(t) (n 1)Pn1(t) ( )nPn (t)
初始 条件：
1, Pn (0) 0,
n n0 n n0
(t=0时已知人口为n0)
一组递推微分方程——求解过程复杂且不必要
转而考察X(t)的期望和方差
一类课资
23
基本方程
dPn dt
(n 1)Pn1(t) (n 1)Pn1(t) ( )nPn (t)
p(r, t) F
r
一类课资
14
人口发展方程
(r,t) ~ 死亡率
t,年龄[r, r dr]人数
t dt,年龄[r dr1,
(t,t dt)内
r dr1 dr]人数 dt dr1 死亡人数
p(r,t)dr p(r dr1,t dt)dr (r,t) p(r,t)drdt
[ p(r dr ,t dt) p(r,t dt)][ p(r,t dt) p(r,t)] 1
一类课资
3
我国的人口出生率、死亡率与自然增长率
一类课资
4
一、按年龄分组的种群增长模型（ Leslie矩阵模型）
• 不同年龄组的繁殖率和死亡率不同
• 以雌性个体数量为对象 • 建立差分方程模型，讨论稳定状况下种群的增长规律
1. 假设与建模
• 种群按年龄大小等分为n个年龄组，记i=1,2,… , n
p0 (r)
• 正反馈系统 • 滞后作用很大
f (t)
p p (r,t) p(r,t)
r t
一类课资
(t)
p(r,t)
18
人口指数
1）人口总数
N (t)
rm 0
p(r,t)dr
2）平均年龄
R(t )
1 N (t)
rm 0
rp(r , t )dr
t
3）平均寿命
S(t)
e d ( r ,t ) dr 0
按年龄组的分布
6
2. 稳定状态分析的数学知识
• L矩阵存在正单特征根1，
k
1
,
k
2,3,n
特征向量
x*
1,
s1
1
,
s1s2
2 1
, ,
s s s
T
12
n1
n1 1
• 若L矩阵存在bi, bi+1>0, 则 k 1, k 2,3,, n
且
lim
k
x(k )
1k
cx* , c是由bi, si, x(0)决定的常数
2)死亡一人的概率与t成正比，记dnt ; 死亡二人及二人以上的概率为o(t).
3)出生和死亡是相互独立的随机事件。
4）进一步假设
bn与n成正比，记bn=n , ~出生概率；
dn与n成正比，记dn=n，~死亡概率。
一类课资
21
5.建模
为得到Pn(t) =P(X(t)=n), 的变化规律，
考察 Pn(t+t) =P(X(t +t)=n).
(r,t) p(r,t)dt, dt dr 1
p p (r,t) p(r,t) 一阶偏微分方程
r t
一类课资
15
p
r
p t
(r,t) p(r,t)
人口发展方程
p(r,0) p0 (r), r 0 ~已知函数（人口调查）
p(0,
t)
f (t),
t0
~生育率（控制人口手段）
(r,t) (r)
0 4 3 7000 2750
X (2) LX (1) 1/ 2
0
0
500
3500
,
0 1/ 4 0 250 125
0 4 3 2750 14375
X (3) LX (2) 1/ 2
0
0
3500
1375
.
0 1/ 4 0 125 875
因此60年后，年龄从0到20岁的女性有14375名；20到40岁 的女性有1375名；40到60岁之间的女性有875名。
6.求解 X(t)的期望 E(t) nPn (t) n 1
dE n dPn dt n1 dt
n-1=k
dE dt
n(n n 1
1)Pn1 (t)
k (k 1)Pk (t) k 1
n(n
1)P n 1
(t
)
k (k 1)Pk (t) k 1
n 1
n+1=k
(
)
n2
P n
(t )
xi1(k ) si xi (k ), i 1,2,, n 1
~存活率 si是同一时段的 xi+1与 xi之比
（与si
的定义
xi1
(k 1) 一类课资
s i
x i
(k)
比较）
9
一个简单实例：
考虑一个没有多少移民迁入与外界隔绝的部落。假设 该部落中没有年龄大于60的女性，将该部落中的女性分 分成期限为20年的3个年龄组，并知其Leslie矩阵是
第三讲 人口增长与预测模型
人口增长与人口问题背景知识
一类课资
1
wk.baidu.com
纵向观察：
世界人口增长是由规律可循的 古代----增长缓慢 近代----人口快速增长 现代----人口“爆炸性”增长
影响人口增长的因素----
自然--
人文-- 生产力发展水平、经济、 医疗卫生条件、生活等
国际大环境---一类课资
2
空间差异
一类课资
12
具有常迟滞的Logistic模型：
dN dt
rN 1
N
(t Nm
T
)
,
t [t0, ),
N (t) (t), t [t0 T ,t0].
其中T > 0为常数。
令 y N
则
Nm 1
dy r y(t T )[1 y(t)] dt
求解与讨论较复杂，建一类议课资用数值方法求解。 13