高中数学选修4-5模块综合检测卷(整理含答案解析)

高中数学选修4-5模块综合检测卷
(时间：120分钟，总分：150分)
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．用数学归纳法证明3n >n 3(n ≥3，n ∈N)第一步应验证( ) A ．n ＝1 B ．n ＝2 C ．n ＝3 D ．n ＝4 2．不等式|3x －2|<4的解集是( ) A.{}
x |x ＞2 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜－23 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜－23或x ＞2 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪
⎪－23＜x ＜2 3．已知a ，b ，c ，d ∈R ，且ab ＞0，－c
a ＜－d b
，则下列各式恒成立的是( )
A ．bc ＜ad
B ．bc ＞ad C.a c ＞b d D.a c ＜b
d
4．若a ，b ，x ，y ∈R ，则⎩⎨⎧x ＋y ＞a ＋b ，（x －a ）（y －b ）＞0是⎩⎨⎧x ＞a ，
y ＞b 成立的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．给出三个条件：①ac 2＞bc 2；②a c ＞b
c
；③a 2＞b 2.其中能分别成为a ＞b 的充分条件的个数为( )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
6．若a ＞0，使不等式|x －4|＋|x －3|＜a 在R 上的解集不是空集的a 的取值范围是( )
A ．0＜a ＜1
B ．a ＝1
C ．a ≥1
D ．a ＞1
7．设x >0，y >0且x ＋y ≤4，则下列不等式中恒成立的是( ) A.
1x ＋y ≤14 B.1x ＋1y ≥1 C.xy ≥2 D.1xy ≥14
8．若k 棱柱有f (k )个对角面，则k ＋1棱柱有对角面的个数为( ) A ．2f (k ) B ．k －1＋f (k ) C ．f (k )＋k D ．f (k )＋2
9．已知f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足：“当f (k )≥k 2成立时，总可推出f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立”，那么下列命题总成立的是( )
A ．若f (3)≥9成立，则当k ≥1时，均有f (k )≥k 2成立
B ．若f (4)≥16成立，则当k ≥4时，均有f (k )＜k 2成立
C ．若f (7)≥49成立，则当k ＜7时，均有f (k )＜k 2成立
D ．若f (4)＝25成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k 2成立
10．用数学归纳法证明对一切大于1的自然数n ，不等式⎝ ⎛
⎭⎪
⎫1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15·…·⎝
⎛
⎭⎪⎫1＋12n －1>2n ＋12成立，当n ＝2时验证的不等式是( )
A ．1＋13>52 B.⎝ ⎛
⎭⎪⎫1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15>52
C.⎝
⎛
⎭⎪⎫1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15≥52 D ．以上都不对
11．用数学归纳法证明“对于任意x >0时的正整数n ，都有x n ＋x n －2＋x n －4
＋…＋
1
x n －4＋
1
x n －2＋1
x n
≥n ＋1”时，需验证的使命题成立的最小正整数值n 0应为
( )
12．记满足下列条件的函数f (x )的集合为M ，当|x 1|≤1，|x 2|≤1时，|f (x 1)－f (x 2)|≤4|x 1－x 2|，又令g (x )＝x 2＋2x －1(|x |≤1)，则g (x )与M 的关系是( )
A ．g (x )
M B ．g (x )∈M C ．g (x )∉M D ．不能确定
二、填空题(每小题5分，共20分)
13．函数y ＝3x ＋4
x
2(x >0)的最小值为________．
14．x ，y ∈R ，若x ＋y ＝1，则x 2＋y 2的最小值为________．
15．设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋2，用数学归纳法证明a n ＝4×2n －1－2的第二步中，设n ＝k 时结论成立，即a k ＝4×2k －1－2，那么当n ＝k ＋1时，______________________________________．
16．不等式|x ＋3|－|x －1|≤a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分) 17．(本小题满分11分)已知a 、b 、c ∈R ＋，求证：b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋b ＋a －c
c
≥3.
18．(本小题满分11分)已知关于x 的不等式|ax －1|＋|ax －a |≥1(a >0)． (1)当a ＝1时，求此不等式的解集；
(2)若不等式的解集为R ，求实数a 的取值范围．
19．(本小题满分12分)设x >0，y >0，证明：(x 2
＋y 2
)12>(x 3＋y 3
)1
3.
20．(本小题满分12分)已知a ＞b ＞c ＞0，方程x 2
－(a ＋b ＋c )x ＋ab ＋bc ＋
ca ＝0，若该方程有实根，求证：a ，b ，c 不能成为一个三角形的三边长．
21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝
x ＋3
x ＋1
(x ≠－1)，设数列{a n }满足a 1
＝1，a n ＋1＝f (a n )，数列{b n }满足b n ＝|a n －3|，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n (n ∈N *)．
(1)用数学归纳法证明：b n ≤（3－1）n
2n －1；
(2)求证：S n ＜23
3
.
22．(本小题满分12分)已知数列{b n }是等差数列，且b 1＝1，b 1＋b 2＋…＋
b 10＝145(n ∈N *)．
(1)求数列{b n }的通项；
(2)设数列{a n }的通项a n ＝log a ⎝ ⎛
⎭⎪⎫1＋1b n (其中a >0且a ≠1)，设S n 是数列{a n }
的前n 项和，试比较S n 与1
3log a b n ＋1的大小，并证明你的结论．
高中数学选修4-5模块综合检测卷
参考答案
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．用数学归纳法证明3n >n 3(n ≥3，n ∈N)第一步应验证( ) A ．n ＝1 B ．n ＝2 C ．n ＝3 D ．n ＝4 答案: C
2．不等式|3x －2|<4的解集是( ) A.{}x |x ＞2 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜－23 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜－23或x ＞2 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－23＜x ＜2
答案: D
3．已知a ，b ，c ，d ∈R ，且ab ＞0，－c a ＜－d
b ，则下列各式恒成立的是( )
A ．bc ＜ad
B ．bc ＞ad C.a c ＞b d D.a c ＜b d
答案: B
4．若a ，b ，x ，y ∈R ，则⎩⎨⎧x ＋y ＞a ＋b ，（x －a ）（y －b ）＞0是⎩⎨⎧x ＞a ，
y ＞b 成立的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案: C
5．给出三个条件：①ac 2＞bc 2；②a c ＞b c
；③a 2＞b 2.其中能分别成为a ＞b 的充分条件的个数为( )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个 答案: B
6．若a ＞0，使不等式|x －4|＋|x －3|＜a 在R 上的解集不是空集的a 的取值范围是( )
A ．0＜a ＜1
B ．a ＝1
C ．a ≥1
D ．a ＞1
答案: D
7．设x >0，y >0且x ＋y ≤4，则下列不等式中恒成立的是( ) A.
1x ＋y ≤14 B.1x ＋1y ≥1 C.xy ≥2 D.1xy ≥14
答案: D
8．若k 棱柱有f (k )个对角面，则k ＋1棱柱有对角面的个数为( ) A ．2f (k ) B ．k －1＋f (k ) C ．f (k )＋k D ．f (k )＋2 答案: B
9．已知f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足：“当f (k )≥k 2成立时，总可推出f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立”，那么下列命题总成立的是( )
A ．若f (3)≥9成立，则当k ≥1时，均有f (k )≥k 2成立
B ．若f (4)≥16成立，则当k ≥4时，均有f (k )＜k 2成立
C ．若f (7)≥49成立，则当k ＜7时，均有f (k )＜k 2成立
D ．若f (4)＝25成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k 2成立
解析：∵f (k )≥k 2成立时f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立．当k ＝4时，f (4)＝25>16＝42成立，∴当k ≥4时，有f (k )≥k 2恒成立．
答案：D
10．用数学归纳法证明对一切大于1的自然数n ，不等式⎝ ⎛
⎭⎪
⎫1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15·…·⎝ ⎛
⎭
⎪⎫1＋12n －1>2n ＋12成立，当n ＝2时验证的不等式是( )
A ．1＋13>52 B.⎝ ⎛
⎭⎪⎫1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15>52
C.⎝
⎛
⎭⎪⎫1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15≥52 D ．以上都不对 解析：当n ＝2时，左边＝1＋
12×2－1＝1＋13，右边＝2×2＋12＝5
2
，∴应
验证1＋1
3
>
5
2
.
答案：A
11．用数学归纳法证明“对于任意x>0时的正整数n，都有x n＋x n－2＋x n－4
＋…＋
1
x n－4
＋
1
x n－2
＋
1
x n
≥n＋1”时，需验证的使命题成立的最小正整数值n0应为
( )
A．n0＝1 B．n0＝2 C．n0＝1，2 D．以上答案均不正确
解析：∵n∈N＋，∴n的最小值为1，即n0＝1.
答案：A
12．记满足下列条件的函数f(x)的集合为M，当|x1|≤1，|x2|≤1时，|f(x1)－f(x2)|≤4|x1－x2|，又令g(x)＝x2＋2x－1(|x|≤1)，则g(x)与M的关系是( )
A．g(x)M B．g(x)∈M C．g(x)∉M D．不能确定
解析：因为g(x1)－g(x2)＝x21＋2x1－x22－2x2＝(x1－x2)(x1＋x2＋2)，|g(x1)－g(x2)|＝|x1－x2|·|x1＋x2＋2|≤|x1－x2|(|x1|＋|x2|＋2)≤4|x1－x2|，所以g(x)∈M.
答案：B
二、填空题(每小题5分，共20分)
13．函数y＝3x＋4
x2
(x>0)的最小值为________．
答案：33
9
14．x，y∈R，若x＋y＝1，则x2＋y2的最小值为________．
答案：1 2
15．设数列{a n}满足a1＝2，a n＋1＝2a n＋2，用数学归纳法证明a n＝4×2n－1－2的第二步中，设n＝k时结论成立，即a k＝4×2k－1－2，那么当n＝k＋1时，______________________________________．
答案：a k＋1＝2a k＋2＝2(4×2k－1－2)＋2＝4×2k－2＝4×2(k＋1)－1－2
16．不等式|x ＋3|－|x －1|≤a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为________．
答案：(－∞，－1]∪[4，＋∞)
三、解答题(本大题共6小题，共70分) 17．(本小题满分11分)已知a 、b 、c ∈R ＋，求证：b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋b ＋a －c
c
≥3.
证明：∵a 、b 、c ∈R ＋，
b ＋
c －a a ＋c ＋a －b b ＋b ＋a －c c ＝b a ＋c a －1＋c b ＋a
b
－1＋b c ＋a c －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋c b ＋a c ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫
c a ＋b c ＋a b －3≥33b a ×c b ×a c ＋33c a ×b c ×a b － 3＝3.
当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立．
18．(本小题满分11分)已知关于x 的不等式|ax －1|＋|ax －a |≥1(a >0)． (1)当a ＝1时，求此不等式的解集；
(2)若不等式的解集为R ，求实数a 的取值范围． 解析：(1)当a ＝1时，得2|x －1|≥1. ∴x ≥32或x ≤12
.
∴不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12∪
⎣⎢⎡⎭⎪⎫
32，＋∞. (2)∵原不等式的解集为R ，
∴|ax －1|＋|ax －a |≥1对一切实数x 恒成立． 又∵|ax －1|＋|ax －a |≥|a －1|， ∴|a －1|≥1， ∴a ≥2或a ≤0. ∵a >0，
∴a的取值范围为[2，＋∞)．
19．(本小题满分12分)设x>0，y>0，证明：(x2＋y2)1
2>(x3＋y3)
1
3.
证明：证法一(分析法) 所证不等式等价于(x2＋y2)3>(x3＋y3)2，即x6＋y6＋3x2y2(x2＋y2)>x6＋y6＋2x3y3，
即3x2y2(x2＋y2)>2x3y3，
只需证：x2＋y2>2
3 xy，
∵x2＋y2≥2xy>2
3
xy成立，
∴(x2＋y2)1
2>(x3＋y3)
1
3，
证法二(综合法) ∵(x2＋y2)3＝x6＋y6＋3x2y2(x2＋y2)≥x6＋y6＋6x3y3>x6＋y6＋2x3y3＝(x3＋y3)2，
∵x>0，y>0，∴(x2＋y2)1
2>(x3＋y3)
1
3.
20．(本小题满分12分)已知a＞b＞c＞0，方程x2－(a＋b＋c)x＋ab＋bc＋ca＝0，若该方程有实根，求证：a，b，c不能成为一个三角形的三边长．证明：∵方程x2－(a＋b＋c)x＋ab＋bc＋ca＝0有实根，
∴Δ＝(a＋b＋c)2－4(ab＋bc＋ca) ＝a2＋b2＋c2－2(ab＋bc＋ca) ＝(a－
b)2－2(a＋b)c＋c2＝[(a＋b)2－c]·[(a－b)2－c] ＝(a＋b＋
c)(a＋b－c)(a－b＋c)(a－b－c)≥0.
若a，b，c为一个三角形的三边长，由a＋b＋c＞0，
a＋b－c＞0，a－b＋c＞0得a－b－c≥0，
即b＋c≤a，即b＋c＜a.这与三角形两边之和大于第三边矛盾．∴a，b，c不能成为一个三角形的三边长．
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x＋3
x＋1
(x≠－1)，设数列{a n}满足a1
＝1，a n＋1＝f(a n)，数列{b n}满足b n＝|a n－3|，S n＝b1＋b2＋…＋b n(n∈N*)．
(1)用数学归纳法证明：b n≤（3－1）n
2n－1
；
(2)求证：S n＜23 3
.
证明：(1)当x≥0时，f(x)＝1＋
2
x＋1
≥1，
因为a1＝1，所以a n≥1(n∈N*)，
下面用数学归纳法证明不等式b n≤（3－1）n
2n－1
：
①当n＝1时，b1＝3－1，不等式成立．
②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，不等式成立，即
b k ≤
（3－1）k
2k－1
，
那么n＝k＋1时，
b k＋1＝|a k＋1－3|＝
（3－1）|a k－3|
1＋a k
≤
3－1
2
b
k
≤
（3－1）k＋1
2k
.
所以，当n＝k＋1时，不等式也成立．
由①②可知不等式对任意n∈N*都成立．(2)由(1)知b n≤（3－1）n
2n－1
，
所以S n＝b1＋b2＋…＋b n≤
(3－1)＋（3－1）22＋…＋（3－1）n 2n －1＝(3－1)×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫3－12n 1－3－12
＜(3－1)×11－3－12
＝23 3. 故对任意n ∈N *
，S n ＜23 3.
22．(本小题满分12分)已知数列{b n }是等差数列，且b 1＝1，b 1＋b 2＋…＋b 10＝145(n ∈N *)．
(1)求数列{b n }的通项；
(2)设数列{a n }的通项a n ＝log a ⎝
⎛⎭⎪⎫1＋1b n (其中a >0且a ≠1)，设S n 是数列{a n }的前n 项和，试比较S n 与13log a b n ＋1的大小，并证明你的结论． 解析：(1)设数列{b n }的公差为d ，由题意，得10×1＋
10×（10－1）2
×d ＝145，∴d ＝3，b n ＝3n －2.
(2)由b n ＝3n －2，知 S n ＝log a (1＋1)＋log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14＋…＋log a (1＋
13n －2) ＝
log a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（1＋1）⎝
⎛⎭⎪⎫1＋14…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13n －2， 13log a b n ＋1＝log a 33n ＋1， 因此要比较S n 与13log a b n ＋1的大小，可先比较(1＋1)·⎝
⎛⎭⎪⎫1＋14…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13n －2与
33n ＋1的大小，
取n ＝1，有(1＋1)>33×1＋1，
猜想取n ≥1，n ∈N *，
有(1＋1)⎝
⎛⎭⎪⎫1＋14…(1＋13n －2)>33n ＋1， 下面用数学归纳法证明之：
①当n ＝1时，已验证不等式成立．
②假设当n ＝k (k ∈N *
)时不等式成立，
即(1＋1)⎝
⎛⎭⎪⎫1＋14…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13k －2>33k ＋1， 则当n ＝k ＋1时，
(1＋1)⎝
⎛⎭⎪⎫1＋14…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13k －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋13（k ＋1）－2> 3
3k ＋1⎝
⎛⎭⎪⎫1＋13k ＋1＝33k ＋13k ＋1·(3k ＋2)， ∵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤33k ＋13k ＋1（3k ＋2）3－(33k ＋4)3＝ （3k ＋2）3－（3k ＋4）（3k ＋1）2（3k ＋1）2＝9k ＋4（3k ＋1）2
>0. ∴3
3k ＋13k ＋1·(3k ＋2)>33k ＋4＝33（k ＋1）＋1， 因此(1＋1)(1＋14)…(1＋13k －2)[1＋13（k ＋1）－2
]>33（k ＋1）＋1. 这说明，当n ＝k ＋1时不等式也成立．
由①②知，对一切n ∈N *
，不等式(1＋1)(1＋14)…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13n －2>33n －1都成立．
再由对数性质，可得：
当a>1时，S n>1
3
log a b n＋1；
当0<a<1时，S n<1
3
log a b n＋1.。