傅里叶变换性质

f t
频谱。
E
解：
令f0 t 表示矩形单脉冲
信号，其频谱函数F0 ,
F0
E
Sa
2
T
22
Tt
(a)三脉冲信号的波形
F0
E
2
O
(b)
例3-7-9
方法一：先标度变换，再时延
方法二：先时延再标度变换
相同
例3-7-6（教材例3-4）
已知矩形调幅信号 f t Gtcos0t ,
f t
其中Gt 为矩形脉冲，脉冲幅度为E，
f t f 0
F F 0
O
t
f td t
f 0
f 0 1 F ejt d
2
t0
1
2
F
d
2
B
O
B
F
d
F 0B
F0 f td t
等效脉冲宽
度与占有的
等效带宽成
1
Bf
反比。
例3-7-2
例3-7-1
相移全通 网络
例3-7-3
例3-7-4（时移性质，教材3-2）
求图(a)所示三脉冲信号的
§4.3 傅里叶变换的性质
主要内容
对称性质 奇偶虚实性 时移特性 微分性质
线性性质 尺度变换性质 频移特性 时域积分性质
意义
傅里叶变换具有惟一性。傅氏变换的性质揭示了 信号的时域特性和频域特性之间的确定的内在联系。 讨论傅里叶变换的性质，目的在于：
•了解特性的内在联系； •用性质求F(ω)； •了解在通信系统领域中的应用。
六．频移特性
2．证明
3．说明
4wenku.baidu.com应用
通信中调制与解调，频分复用。
七．微分性质
时域微分性质 频域微分性质
或
1．时域微分
注意
注意
如果f(t)中有确定的直流分量，应先取出单独求傅里 变换，余下部分再用微分性质。
2．频域微分性质
推广 或
八．时域积分性质
也可以记作：
证明
因为
综合上述两种情况
等效脉冲宽度与等效频带宽度
一．对称性质
1．性质
2． 意义
二．线性性质
1．性质
2．例
三．奇偶虚实性
证明： 由定义 可以得到
四．尺度变换性质
意义 (1) 0<a<1 时域扩展，频带压缩。 (2) a>1 时域压缩，频域扩展a倍。
说明…… 说明…… 说明……
3．意义
(1) 0<a<1 时域扩展，频带压缩。
脉冲持续时间增加a倍，变化慢了，信号在频域的频 带压缩a倍。高频分量减少，幅度上升a倍。
显然
证明
续……
证明
变上限积分用带时移的 单位阶跃的无限积分表 示，成为
交换积分顺序
，
即先求时移的单位阶跃
信号的傅里叶变换
……续
证明
即
(flash)
（2）a>1 时域压缩，频域扩展a倍。
持续时间短，变化快。信号在频域高频分量增加，频 带展宽，各分量的幅度下降a倍。 此例说明：信号的持续时间与信号占有频带成反比， 有时为加速信号的传递，要将信号持续时间压缩，则 要以展开频带为代价。
五．时移特性
幅度频谱无变化，只影响相位频谱，
时移加尺度变换
1．性质
E
2
Sa
0 2
E
2
Sa
0 2
将包络线的频谱一分为二，向左、右各平移 0
F
E
2
0 O
0
0
2
(b)矩形调幅信号的频谱
例3-7-5
求三角函数的频谱密度函数．
分析
X
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X
例3-7-8
解：
例3-7-9
解：
例3-7-10
1. 求单位阶跃函数的傅里叶变换 解：
解：
证明
设f(t)是实函数（为虚函数或复函数情况相似，略）
E
脉宽为 ,试求其频谱函数。
解：
o
t
2
2
已知矩形脉冲Gt的频谱G 为
(a)矩形调幅信号的波形
G E Sa
因为
2
f
t
1 Gt
e e j0t
j0t
2
根据频移性质，f t频谱F 为
F 1 G 1 G
2
02
0
频谱图
F 1 G 1 G
2
02
0