考研数学多项式函数的极值点与拐点的简便求法
多元函数极值问题的答案详解
x x0 y y0
方法 2：对
f x, y y
x x0 y y0
的理解.
①先求
f x, y ，再将点 x0 , y0 代入，这个方法不能帮助解题； y
②求
f x, y 是将 x 看做常数，所以先将 x x0 代入 f x, y 得 f x0 , y ，则 y
0
充分条件 2：设 则点 多 元 函 数 极值
0
x , f x 是曲线 y f x 的拐点.
驻点 一 元 函 数 极值 多 元 函 数 极值
一元函数可能极值点 一元函数可能拐点 多元函数可能极值点
一元函数驻点或不可导点 一元函数二阶导为 0 点或二阶导不存在点 多元函数驻点或不可偏导点
2
1 无条件极值 多元函数的极值 2 条件最值 3 闭区域最值
2-1
1 定义 2 必要条件 多元函数极值 3 充分条件 4 驻点
2-1-1 定义 一元函 数极值
一元函 数拐点
多元函 数极值
必要条件 一元函数 极值 一元函数 拐点 多元函数 极值 设点
x , f x 为曲线 y f x 的拐点，且 f x 存在，则 f x =0
x x 2 重点 （2015 数二） 已知函数 f x, y 满足 f xy x, y =2 y 1 e , f x x, 0 = x 1 e , f 0, y y 2 y ，
求 f x, y 的极值.
……
……
重点（2008 数二）求函数 u 小值.
注：方程①②关于 x,y 具有轮换对称 性，作减法后不止 x y 能求解.
函数的拐点与极值的判断
拐点与极值的联系
拐点和极值都是函数图像上的点，具有特定的几何意义。 拐点和极值都是函数的一阶导数在该点附近的行为发生变化的表现。 拐点和极值在某些情况下是相互关联的，例如在单峰函数中，拐点通常位于极值点附近。 判断拐点和极值的方法通常需要使用导数或二阶导数，并分析其符号变化。
社会科学：拐点 与极值可以用于 研究社会现象的 变化趋势，如人 口增长、经济发 展等，为政策制 定提供科学依据。
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02
函数的极值判断
极值的定义
极值点：函数在 某点的值大于或 小于其邻近点的 值
极值：函数在极 值点处的函数值
局部极值：在一 定区间内函数达 到最大或最小值 的点
全局极值：在整 个定义域内函数 达到最大或最小 值的点
极值的判断方法
判断导数：导数等于0的点可能是极值点
判断二阶导数：二阶导数大于0的点是极小值点，二阶导数小于0的点是极大值点
拐点与极值的区别
定义不同：拐点是函数图像上凹 凸的分界点，而极值是函数在某 点的值大于或小于其邻近点的值。
判断方法不同：拐点的判断需要 考察函数的一阶导数和二阶导数， 而极值的判断需要考察函数的一 阶导数。
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性质不同：拐点不一定是极值点， 但极值点一定是拐点。
应用场景不同：拐点常用于研究 函数的凹凸性，而极值常用于研 究函数的最大值和最小值。
判断一阶导数的符号变化：如果在某点的左侧导数大于0，右侧导数小于0，则该点为 极大值点，反之则为极小值点 判断函数值：如果在某点的左侧函数值大于右侧函数值，则该点为极大值点，反之则为 极小值点
极值的Байду номын сангаас质
函数的极值和拐点的求解方法
函数的极值和拐点的求解方法随着科技的不断发展，数学在我们的生活中扮演了越来越重要的角色。
而函数的极值和拐点则是数学中的重要概念，对于解决实际问题有着重要的意义。
本文将探讨关于函数的极值和拐点的求解方法。
一、函数极值的概念首先，我们需要了解函数的极值的概念。
在数学中，一个函数的极值是指在其定义域中函数值最大或最小的点。
其中，最大值点称为函数的极大值点，最小值点则称为函数的极小值点。
二、求解函数的极值那么如何求解函数的极值呢？常见的方法包括使用导数法、配方法、综合法等。
下面我们逐一介绍这些方法。
1. 导数法导数法是求解函数极值的常用方法。
其基本思想是，函数的导数表示了函数的变化率，当导数为0时，函数在该处取极值。
以一元函数为例，如果函数f(x)在点x0处可导，且f'(x0)=0，则：（1）当f''(x0)<0时，f(x)在x0处取极大值；（2）当f''(x0)>0时，f(x)在x0处取极小值；（3）当f''(x0)=0时，不能确定f(x)在x0处是否取极值。
2. 配方法配方法是一种简单直观的求解函数极值的方法。
其基本思想是将函数拆分成一个平方项和一个常数项的差，利用平方项的性质求解极值。
一般地，当函数f(x)可写成以下形式：f(x) = a(x-b)^2 + c其中，a、b、c为常数。
我们可以通过求导方式求解，也可以通过配方法求解。
配方法的具体步骤如下：（1）通过一次项与常数项合并，确定平方项的系数a；（2）将平方项表示成完全平方的形式，即：a(x-b)^2 + c + d其中，d为相应差部分；（3）通过相应差部分的性质，求解函数极值。
3. 综合法综合法是求解函数极值的一种综合方法。
它针对各个方法的优点进行结合，用来处理无法通过其他方法求解的复杂函数。
其基本思想是，利用函数的性质，在确定函数的形式后，采用合适的方法求解。
三、函数的拐点除了函数的极值外，函数的拐点也是一个重要的概念。
求极值的若干方法
求极值的若干方法求解函数的极值是数学分析中重要的问题之一、找出函数的极值可以帮助我们确定函数的最大值或最小值，并且有助于解决各种实际问题。
本文将介绍常见的求解极值的若干方法。
一、导数法（一阶导数法、二阶导数法）导数是函数在其中一点的变化率，求导数的过程可以帮助我们确定函数的增减性，从而找出函数的极值点。
常见的导数法包括一阶导数法和二阶导数法。
1.一阶导数法：首先求函数的一阶导函数，然后将导函数等于零，解出方程得到函数的临界点，再将临界点代入函数，找出对应的函数值，最终从函数值中找出最大值或最小值。
2.二阶导数法：首先求函数的二阶导函数，然后将二阶导函数等于零，解出方程得到函数的拐点，再将拐点代入函数，找出对应的函数值，最终从函数值中找出最大值或最小值。
二阶导数法可以帮助我们判断函数的临界点是极值点还是拐点。
二、边界法（最大最小值定理）边界法是基于最大最小值定理求解函数极值的方法。
最大最小值定理指出，在闭区间内的连续函数中，最大值和最小值一定存在。
因此，我们可以通过求解函数在闭区间端点和临界点处的函数值，找出函数的最大值或最小值。
三、拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法是用于求解带约束条件的极值问题的方法。
在求解极值问题时，如果还存在一些约束条件，可以引入拉格朗日乘数，通过构建拉格朗日函数，将约束条件加入目标函数中，然后求解拉格朗日函数的极值点。
最终，通过求解得到的极值点，再进行函数值的比较，找出最大值或最小值。
四、二分法二分法是一种在有序列表中查找特定元素的方法，也可以用于求解函数的极值。
二分法的基本思想是通过将区间一分为二，然后比较中间点与两侧点的大小关系，逐步缩小范围，最终找出函数的极值点。
二分法的效率较高，适用于一些连续单调函数。
五、牛顿法牛顿法是一种用于求解多项式函数的根的方法，也可以用于求解函数的极值。
牛顿法的基本思想是通过构建一个逼近曲线，以曲线与函数的交点为新的逼近值。
然后不断迭代逼近，最终找到函数的极值点。
函数与导数极值点与拐点的判定方法
函数与导数极值点与拐点的判定方法函数与导数极值点与拐点的判定方法是高等数学中重要的概念和技巧。
通过了解这些判定方法，我们可以更好地理解函数的行为和性质。
本文将介绍常见的函数极值点和拐点的判定方法。
一、函数极值点的判定方法1. 函数极值点的定义在数学中，函数的极值点是指函数在某一区间内取得的最大值和最小值的点。
如果函数在某点处取得最大值，则称该点为函数的极大值点；如果函数在某点处取得最小值，则称该点为函数的极小值点。
2. 函数极值点的判定条件常用的函数极值点的判定方法有以下几种：- 导数法：首先求函数的导数，然后解方程求导函数的零点，即为函数的可能极值点。
接着，利用导数的增减性来判定这些可能极值点是否为极大值点或极小值点。
- 二阶导数法：求函数的二阶导数，在极值点处，一阶导数为0且二阶导数大于0的点为极小值点，二阶导数小于0的点为极大值点。
- 拐点法：求函数的二阶导数，如果二阶导数为0，则该点可能是函数的拐点。
二、函数拐点的判定方法1. 函数拐点的定义在数学中，函数的拐点是指函数图像曲线从凹向上凸或从凸向下凹的点。
拐点是函数图像中曲率发生变化的点，也是函数二阶导数为0的点。
2. 函数拐点的判定条件常用的函数拐点的判定方法有以下几种：- 二阶导数法：求函数的二阶导数，然后解方程求二阶导函数的零点，即为函数的可能拐点。
接着，利用二阶导数的增减性来判定这些可能拐点是否为真正的拐点。
- 导数法：求函数的导数，然后求导函数的极值点，再求对应的原函数的极值点，即为可能的拐点。
- 三阶导数法：求函数的三阶导数，在拐点处，三阶导数为0的点可能是函数的拐点。
三、具体例子下面以一个具体的例子来演示如何应用函数与导数极值点与拐点的判定方法：例题：已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5，请判断函数的极值点和拐点。
解答：1. 初始化极值点和拐点为空集合。
2. 求函数f(x)的导数：f'(x) = 3x^2 - 6x - 9。
一种判断多项式函数极值点和拐点个数的简单方法
一种判断多项式函数极值点和拐点个数的简单方法判断多项式函数的极值点和拐点个数的简单方法是通过分析多项式函数的导数和二阶导数的符号变化。
1.极值点判断：
-寻找多项式函数的一阶导数，即求导数。
找到导数的零点，即导数为0的点，这些点可能是多项式函数的极值点。
-对导数的零点进行分类讨论：
-如果导数的零点是奇数次的，那么这些点是多项式函数的极值点。
-如果导数的零点是偶数次的，那么这些点不是多项式函数的极值点。
2.拐点判断：
-寻找多项式函数的二阶导数，即对一阶导数再求导数。
找到二阶导数的零点，即二阶导数为0的点，这些点可能是多项式函数的拐点。
-对二阶导数的零点进行分类讨论：
-如果二阶导数的零点是奇数次的，那么这些点是多项式函数的拐点。
-如果二阶导数的零点是偶数次的，那么这些点不是多项式函数的拐点。
需要注意的是，这种简单方法只适用于多项式函数，对于其他类型的函数可能无法准确判断极值点和拐点个数。
另外，这种方法只能给出零点的个数，无法给出具体的极值点和拐点的位置和取值。
在实际应用中，如果需要更精确的结果，可以使用更复杂的数值方法或数学工具进行分析和计算。
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函数的单调性极值及凹凸性拐点
例1 讨论函数y e x x 1的单调性.
解 y e x 1. 又 D : ( ,).
在( ,0)内, y 0,
函数单调减少；
在(0,)内, y 0,
函数单调增加 .
注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用 导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一 点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．
例1 判断曲线 y x 3 的凹凸性.
解 y 3 x 2 , y 6 x ,
当x 0时， y 0,
曲线 在( ,0]为凸的；
当x 0时， y 0,
曲线 在[0,)为凹的；
注意到, 点(0,0)是曲线由凸变凹的分界 点.
2、曲线的拐点及其求法
2．单调区间求法
问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的， 但在各个部分区间上单调． 定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调 的，则该区间称为函数的单调区间. 导数等于零的点和不可导点，可能是单调 区间的分界点． 方法: 用方程 f ( x ) 0的根及 f ( x ) 不存在的点
来划分函数 f ( x )的定义区间 , 然后判断区间内导 数的符号.
极大值 f ( 1) 10,
极小值 f ( 3) 22.
f ( x ) x 3 3 x 2 9 x 5图形如下
M
m
定理3(第二充分条件)设 f ( x ) 在x0 处具有二阶导数, 且 f ' ( x0 ) 0 , f '' ( x0 ) 0 , 那末 '' f (1)当 ( x0 ) 0 时, 函数 f ( x ) 在x0 处取得极大值; '' (2)当 f ( x0 ) 0 时, 函数 f ( x ) 在x0 处取得极小值.
考研数学多项式函数的极值点与拐点的简便求法
考研数学多项式函数的极值点与拐点的简便求法来源：文都教育求函数的极值点和拐点，通常是求出函数的一阶和二阶导数，找出所有可能的取值点，然后利用极值和拐点的充分条件进行判断。
但是对于多项式函数，当其次数较高时，求导较复杂，运算很繁琐，不利于求解。
下面考研文都数学老师给出求多项式函数的极值点和拐点的简便方法，以助广大考生备考。
1．重要结论设函数1212()()()()n pp p n p x x a x a x a =--- ，其中i a R ∈，且 12,(1,2,,)n i a a a p Z i n +<<<∈= ，记12,,,k i i i a a a 为()p x 的k 个重根，对应重数为12,,,k i i i p p p ，l 为()p x 三重根的个数，有如下结论：结论1 ()p x 的驻点有且仅有(1)k n +-个，其中k 是()p x 的重根(1,2,,)j i a j k = 的个数，令1n -个分别介于()p x 的两个相邻零点之间，记为1((,)),12,,1i i i i a a i n ξξ+∈=- ． 结论2 在()p x 的所有驻点中，（1）若(1,2,,)j i p j k = 为偶数，则ji a 是()p x 的极值点；若(1,2,,)j i p j k = 为奇数，则ji a 不是()p x 的极值点． （2）1(,)i i i a a ξ+∈一定是()p x 的极值点（12,,1i n =- ）．结论3 "()p x 的零点有且仅有2l k n ++-个，其中l 为()p x 三重根的个数，另外2k n +-个分别介于'()p x 的两个相邻零点之间，记为,1,2,,2i i k n η=+- ．结论4 在"()p x 的所有零点中，（1）若(3)i p i ≥为奇数，则(,())i i a p a 是曲线()p x 的拐点(1,2,,)i n = ；若(3)i p i ≥为偶数，则(,())i i a p a 不是曲线()p x 的拐点(1,2,,)i n = ；（2）(,())i i p ηη一定是曲线()p x 的拐点(1,2,,2)i k n =+- ．2．典型例题例1 函数23()(1)(2)f x x x x =--的极值点的个数为（ ）（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个解析：由结论1知，()f x 有4个驻点：121,2,(0,1),(1,2)ξξ∈∈，再由结论2知，i p 中为偶数的只有1个，故共有3个极值点：121,(0,1),(1,2)ξξ∈∈，故选C ．例2 （ 数二真题）曲线22(1)(2)y x x =--的拐点个数为（ ）（A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个解析：由结论1知函数y 的驻点有3个：1,2,(1,2)ξ∈，又由结论3可知，"y 有两个零点：12(1,),(,2)ηξηξ∈∈，再由结论4知，1122(,()),(,())y y ηηηη皆为拐点，故选C ． 例3 （20XX 年数一真题）曲线234(1)(2)(3)(4)y x x x x =----的拐点是（ ）（A ）(1,0) （B ）(2,0) （C ）(3,0) （D ）(4,0) 解析：利用结论4，可知答案选C ．上面提供了一种求解多项式函数极值点与拐点的简便算法，对做这种选择题提供了一种技巧和方法，希望同学们好好学习一下。
多项式函数的图像与性质
多项式函数的图像与性质多项式函数是数学中常见的一类函数，它由一系列常数乘以自变量的幂次方和求和得到。
多项式函数的图像和性质对于理解和应用多项式函数具有重要的意义。
本文将对多项式函数的图像和性质进行探讨。
一、多项式函数的一般形式多项式函数的一般形式可以表示为：\[f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0\]其中，\(a_n, a_{n-1}, ..., a_1, a_0\)为常数，\(n\)为非负整数，\(x\)为自变量。
二、多项式函数的图像多项式函数的图像可以通过绘制函数关系图来表示。
下面以一些具体的例子来说明。
1. 一次函数一次函数是最简单的多项式函数，其一般形式为：\[f(x) = ax + b\]其中，\(a, b\)为常数。
一次函数的图像是一条直线，斜率为\(a\)，截距为\(b\)。
2. 二次函数二次函数是一类重要的多项式函数，其一般形式为：\[f(x) = ax^2 + bx + c\]其中，\(a, b, c\)为常数。
二次函数的图像是一个抛物线，开口的方向由\(a\)的正负决定。
3. 三次函数三次函数是一类常见的多项式函数，其一般形式为：\[f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\]其中，\(a, b, c, d\)为常数。
三次函数的图像通常具有两个极值点，并且在\(x\)轴两侧的趋势相反。
4. 高阶多项式函数高阶多项式函数是指次数大于三的多项式函数。
高阶多项式函数的图像形态更加复杂，可能具有多个极值点和拐点。
三、多项式函数的性质多项式函数具有一些重要的性质，下面将介绍其中几个。
1. 零点多项式函数的零点是指使函数取零值的自变量的取值。
零点可以通过解方程\(f(x) = 0\)来求得。
对于一次函数，零点只有一个；对于二次函数，零点有两个；对于三次函数及高阶多项式函数，零点的个数可能更多。
2. 极值点多项式函数的极值点是指函数在某一区间内取得极值的点。
函数的拐点及求法
函数的单调性与曲线的凹凸性
例1
求曲线 y (x 2)5 3 5 x2 的拐点及凹凸性.
9
解 定义域为 (,)
(3steps) (1) y
5 ( x 2)2 3 3
10 9
x,
y
10 1 ( x 2)1 3
9
( x 2)1 3
.
(2) 令y 0, 得 x1 3, y不存在的点 x2 2.
(3) 列表
x ( ,2) 2 (2,3)
3
(3, )
f ( x) 不存在
0
f (x)
拐点 (2, 20)
9
拐点
(3,4)
8
第五节 函数凸性和图形的描绘
曲线凸性的判别法 曲线的拐点及其求法 曲线的渐近线 函数作图
1
第三章 微分中值定理与导数的应用
函数的单调性与曲线的凹凸性
一、曲线凸性的判别法
(concave and convex)
1.定义 如何研究曲线的弯曲方向
y
C
B
A
O
x
2
函数的单调性与曲线的凹凸性
y
y f (x)
•
y
y f (x)
•
O x1
x2 x
图形上任意弧段 位于切线的下方
O x1
x2 x
图形上任意弧段 位于切线的上方
定义1 如果f (x)在(a,b)内各点都有切线，在切点 附近如果曲线弧总位于切线上方（下方）
那末称f ( x)在(a, b)内的图形是 凹(凸)的.
3
函数的单调性与曲线的凹凸性
2. 凸性的判别法
y
B
y f (x)
A
y
第四节函数的极值及其求法
第四节函数的极值及其求法一、函数极值的定义定义函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.二、函数极值的求法定理1(必要条件)定义注意:例如,定理2(第一充分条件)(是极值点情形)(不是极值点情形)求极值的步骤:例1解列表讨论极小值极大值图形如下定理3(第二充分条件)证同理可证(2).图形如下例2解注意:注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.例3解三、小结极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为临界点.函数的极值必在临界点取得.第一充分条件;(注意使用条件)判别法第二充分条件;思考题下命题正确吗？思考题解答不正确．例在–1和1之间振荡故命题不成立．练习题练习题答案设在点处具有导数,且在处取得极值,那末必定.(1)如果有而,有，则在处取得极大值.(2)如果有而有，则在处取得极小值.(3)如果当及时,符号相同,则在处无极值.设在处具有二阶导数,且,,那末(1)当时,函数在处取得极大值;(2)当时,函数在处取得极小值.所以，函数在处取得极大值．如果为的极小值点，那么必存在的某邻域，在此邻域内，在的左侧下降，而在的右侧上升.于是为的极小值点当时，当时，因而在的两侧都不单调.当时，填空题：极值反映的是函数的________性质.若函数在可导，则它在点处到得极值的必要条件中为___________.函数的极值点为________；的极值为__________.已知函数当时，小值；当，大值.二、求下列函数的极值：；；方程所确定的函数；.证明题：如果满足条，则函数无极值.2、设是有连续的二阶导数的偶函数，则为的极值点.一、1、局部；2、；3、(1,2),无；4、;二、1、极大值,极小值；2、极大值；3、极小值；4、极小值.。
求极值的方法
求极值的方法一、导数法。
求极值的常用方法之一是利用导数。
对于给定的函数，我们可以通过求导数来找到函数的驻点和拐点，进而确定函数的极值点。
具体步骤如下：1. 求出函数的导数；2. 解出导数为0的方程，得到函数的驻点；3. 利用二阶导数的符号来判断驻点的类型，从而确定函数的极值。
二、边界法。
对于定义在闭区间上的函数，我们可以通过边界法来求取函数的极值。
具体步骤如下：1. 求出函数在闭区间端点处的函数值；2. 求出函数在闭区间内部的驻点；3. 比较上述所有点的函数值，最大值即为函数的最大值，最小值即为函数的最小值。
三、拉格朗日乘数法。
对于带有约束条件的极值问题，我们可以使用拉格朗日乘数法来求解。
具体步骤如下：1. 根据约束条件建立拉格朗日函数；2. 求出拉格朗日函数的偏导数，并令其等于0；3. 解方程组，得到极值点。
四、牛顿法。
对于无法通过导数法求解的函数，我们可以使用牛顿法来求取函数的极值。
具体步骤如下：1. 选取一个初始点，计算函数在该点的函数值和导数值；2. 根据函数值和导数值，利用牛顿迭代公式来更新下一个点；3. 重复上述步骤，直到满足精度要求为止。
五、全局优化方法。
对于复杂的多维函数，我们可以利用全局优化方法来求取函数的全局极值。
常见的全局优化方法包括遗传算法、模拟退火算法、粒子群算法等。
总结。
求极值是数学中的一个重要问题，我们可以利用导数法、边界法、拉格朗日乘数法、牛顿法以及全局优化方法来求解。
不同的方法适用于不同的函数和问题，我们需要根据具体情况来选择合适的方法。
希望本文对读者有所帮助，谢谢阅读！。
多项式函数的极值及拐点
多项式函数的极值及拐点在数学中，多项式函数是一种常见的函数形式，它由多个项的代数和组成。
多项式函数的极值和拐点是我们研究该函数的重要特征，对于理解函数的性质和图像具有重要意义。
一、多项式函数的极值多项式函数的极值是函数在定义域内取得的最大值和最小值。
要找到多项式函数的极值，可以通过以下步骤进行：1. 求导数：首先，我们需要求出多项式函数的导数。
对于多项式函数f(x) =a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0，其中a_n、a_{n-1}、...、a_1、a_0是常数系数，n是多项式的次数。
求导后的函数f'(x)是一个次数比原多项式低1的多项式。
2. 解方程f'(x) = 0：找到导数f'(x)的零点，即解方程f'(x) = 0。
这些零点是多项式函数可能的极值点。
3. 判断极值类型：通过二阶导数的符号判断极值的类型。
计算f''(x)，即多项式函数f(x)的二阶导数。
如果f''(x) > 0，那么f(x)在该点处取得极小值；如果f''(x) < 0，那么f(x)在该点处取得极大值。
4. 求极值点的函数值：将极值点代入原多项式函数f(x)中，求出函数在该点处的值，即得到多项式函数的极值。
二、多项式函数的拐点多项式函数的拐点是函数图像曲线由凹向上凸或由凸向上凹的转折点。
要找到多项式函数的拐点，可以按照以下步骤进行：1. 求二阶导数：首先，我们需要求出多项式函数的二阶导数。
对于多项式函数f(x)，求导两次得到f''(x)。
2. 解方程f''(x) = 0：找到二阶导数f''(x)的零点，即解方程f''(x) = 0。
这些零点是多项式函数可能的拐点。
3. 判断拐点类型：通过二阶导数的变号判断拐点的类型。
在拐点的左侧，f''(x)从正变为负，表示拐点是由凹向上凸的；在拐点的右侧，f''(x)从负变为正，表示拐点是由凸向上凹的。
函数极值与拐点：极值和拐点计算
函数极值与拐点：极值和拐点计算函数的极值和拐点是微积分中常见的概念，它们对于研究函数的性质和图像具有重要的作用。
在本文中，我们将重点讨论如何计算函数的极值和拐点，并介绍相关的概念和方法。
一、函数的极值计算函数的极值是指在某个定义域内，函数取得的最大值或最小值。
要计算函数的极值，首先需要找到函数的驻点，即函数导数为零或不存在的点。
然后，通过二阶导数的正负性来确定驻点的类型。
举个例子，我们考虑函数 f(x) = x³ - 3x² - 9x + 5。
首先求函数的导数，得到 f'(x) = 3x² - 6x - 9。
然后，令 f'(x) = 0，解得 x = -1 和 x = 3，这两个点就是函数的驻点。
接下来，求函数的二阶导数 f''(x) = 6x - 6，并代入驻点的值，得到 f''(-1) = -12 和 f''(3) = 12。
根据二阶导数的正负性，当 f''(x) > 0 时，函数在该点处取得极小值；当 f''(x) < 0 时，函数在该点处取得极大值。
因此，对于本例中的函数f(x)，x = -1 处取得极大值，x = 3 处取得极小值。
二、函数的拐点计算函数的拐点是指函数图像在该点处曲线的凹凸性发生转折的点。
要计算函数的拐点，需要找到函数的拐点位置以及确定拐点的性质。
以函数 g(x) = x³ - 3x为例，我们首先求其导数 g'(x) = 3x² - 3。
然后，令 g'(x) = 0，解得 x = -1 和 x = 1，这两个点就是函数的拐点位置。
接着，求函数的二阶导数 g''(x) = 6x，并代入拐点位置的值，得到 g''(-1) = -6 和 g''(1) = 6。
函数拐点的求法范文
函数拐点的求法范文要求解一个函数的拐点，首先需要了解什么是拐点。
在数学中，拐点也称为拐点，是函数图像上由凸变为凹或由凹变为凸的点。
在这个点上，函数的二阶导数为零且二阶导数的符号发生变化。
换句话说，一个函数的拐点是函数图像上的一个点，在这个点的左侧和右侧，函数由凸性变为凹性或由凹性变为凸性。
以下是求解函数拐点的一般步骤：步骤1：找到函数的二阶导数首先，我们需要找到函数的一阶导数，然后再对一阶导数求导，得到函数的二阶导数。
一阶导数表示函数的变化率，而二阶导数则表示函数变化率的变化率。
步骤2：解二阶导数的方程解二阶导数的方程意味着找到二阶导数为零的点，即函数的拐点。
通过设置二阶导数等于零，可以得到一个方程，然后解这个方程可以得到拐点。
步骤3：检查拐点的性质找到二阶导数为零的点后，还需要检查这些点的性质，即检查二阶导数的符号变化。
如果二阶导数在拐点的左侧为负，在拐点的右侧为正，则拐点是凹点；如果二阶导数在拐点的左侧为正，在拐点的右侧为负，则拐点是凸点。
步骤4：绘制函数图像和标记拐点最后，我们可以用找到的拐点来标记函数图像。
可以绘制函数图像，并在拐点上做标记。
以下是一个例子来说明如何使用上述步骤求解函数的拐点：例子：步骤1：找到函数的一阶导数和二阶导数一阶导数：f'(x)=3x^2-6x二阶导数：f''(x)=6x-6步骤2：解二阶导数的方程将f''(x)=0，我们得到6x-6=0解这个方程，我们得到x=1步骤3：检查拐点的性质我们需要检查x=1的左右两侧二阶导数的符号变化。
当x<1时，6x-6<0，所以在x=1的左侧，f''(x)<0，说明拐点是凹点。
当x>1时，6x-6>0，所以在x=1的右侧，f''(x)>0，说明拐点是凸点。
步骤4：绘制函数图像和标记拐点画出函数图像f(x)=x^3-3x^2，并在x=1处做标记。
多项式相乘求拐点
多项式相乘求拐点
要求多项式相乘的拐点，需要首先考虑多项式的拐点定义以及相乘的影响。
拐点是指函数图像上出现的凹凸变化的点，在多项式函数中，拐点出现在二阶导数为零的点处。
假设要求的多项式相乘为P(x) = A(x) * B(x)，其中A(x)和B(x)分别为两个多项式。
首先确定A(x)和B(x)分别的拐点位置，即找到A(x)和B(x)的二阶导数为零的点。
分别记为a1, a2, ..., an和b1, b2, ..., bn。
然后确定P(x)的二阶导数表达式，即P''(x) = (A''(x) * B(x) + 2 * A'(x) * B'(x) + A(x) * B''(x))。
接下来确定拐点位置，即求解P''(x) = 0的根。
最后验证求得的根是否是拐点，即验证P'''(x)的符号是否满足拐点的定义。
如果P'''(x)的符号在根左右两侧不同，则该点为拐点，否则不是拐点。
需要注意的是，多项式相乘会使得拐点的个数增加或减少，所以在求解P''(x) = 0的根后，还需要进行验证。
极值点与最值点、稳定点及拐点的关系
极值点与最值点、稳定点及拐点的关系《极值点与最值点、稳定点及拐点的关系》这是一篇关系类的文章，咱们来好好唠唠极值点、最值点、稳定点和拐点之间的那些事儿。
先说说极值点吧。
极值点呢，就是函数在某个局部范围内取得最大值或者最小值的点。
这就好比在一群小伙伴里，有一个小伙伴在某个小圈子里是最高或者最矮的。
那极值点是怎么来的呢？这就和函数的导数有关系了。
当函数的导数在某点为零或者不存在的时候，这个点就有可能是极值点。
为啥呢？你想啊，导数表示函数的变化率，当变化率突然变成零或者不存在了，那函数在这个地方就可能出现了一个“峰”或者“谷”，就像爬山的时候，爬到顶或者落到底的时候，速度可能就会有变化。
再看看最值点。
最值点就是函数在整个定义域内取得最大或者最小值的点。
这和极值点有啥关系呢？有的时候，极值点就可能是最值点。
比如说，在一个封闭区间上，函数的最值点可能就在那些极值点里面。
就好像在一个屋子里找最高的人，可能在每个小角落里面的最高的人里就能找到全屋最高的。
但也有特殊情况，有时候最值点可能在区间的端点上，而不是极值点。
这就好比屋子的门边上站着一个特别高的人，他不是那些小圈子里最高的，但是却是整个屋子最高的。
稳定点又是啥呢？稳定点就是函数的导数为零的点。
从这里能看出来，极值点和稳定点关系很密切啊。
大部分的极值点都是稳定点，因为前面说了，当导数为零的时候，这个点就很可能是极值点。
可是呢，稳定点不一定就是极值点。
就好比有一群人都站着不动（导数为零），但并不是每个人都是在小圈子里最高或者最矮的（极值点）。
最后说说拐点。
拐点是函数的凹凸性发生改变的点。
它和前面几个点的关系有点复杂。
极值点和拐点一般不会是同一个点，因为它们表示的函数性质不太一样。
极值点是关于函数的最大值最小值，而拐点是关于函数的凹凸性。
但是呢，在求极值点和拐点的时候，都要用到函数的二阶导数。
如果二阶导数在某点的符号发生了变化，这个点可能是拐点，如果一阶导数在某点为零且二阶导数不为零，这个点就可能是极值点。
一种判断多项式函数极值点和拐点个数的简单方法
一种判断多项式函数极值点和拐点个数的简单方法
明万元;黄香蕉
【期刊名称】《大学数学》
【年(卷),期】2011(027)006
【摘要】A simple method for determining the numbers of extreme points and inflexion points of a class of polynomial function is given. Some relative results are gained, and the validity and convenience of the method are verified through some typical examples.%给出了判断一类多项式函数极值点和拐点个数的一种快捷方法，得到了几个相关结论，并通．过几个典型例题验证了该方法解题的有效性和快捷性．
【总页数】3页(P161-163)
【作者】明万元;黄香蕉
【作者单位】南昌航空大学数学与信息科学学院,江西南昌330063;南昌航空大学数学与信息科学学院,江西南昌330063
【正文语种】中文
【中图分类】O172.1
【相关文献】
1.多项式函数的极值点与拐点判别及个数公式 [J], 倪谷炎;李颖
2.利用导数的因子判断极值点和拐点 [J], 黄英
3.函数极值点与拐点的一种判别法 [J], 林荣斐;林炳江
4.判断负反馈组态的一种简单方法 [J], 汤光华
5.电磁波极化状态判断的一种简单方法 [J], 路彦峰;李宏;公丕锋;陈龙;杨浩基因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
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考研数学多项式函数的极值点与拐点的简便求法
来源：文都教育
求函数的极值点和拐点，通常是求出函数的一阶和二阶导数，找出所有可能的取值点，然后利用极值和拐点的充分条件进行判断。
但是对于多项式函数，当其次数较高时，求导较复杂，运算很繁琐，不利于求解。
下面考研文都数学老师给出求多项式函数的极值点和拐点的简便方法，以助广大考生备考。
1．重要结论
设函数1212()()()()n p
p p n p x x a x a x a =--- ，其中i a R ∈，且 12,(1,2,,)n i a a a p Z i n +<<<∈= ，记12,,,k i i i a a a 为()p x 的k 个重根，对应
重数为12,,,k i i i p p p ，l 为()p x 三重根的个数，有如下结论：
结论1 ()p x 的驻点有且仅有(1)k n +-个，其中k 是()p x 的重根(1,2,,)j i a j k = 的个
数，令1n -个分别介于()p x 的两个相邻零点之间，记为1((,)),12,,1i i i i a a i n ξξ+∈=- ． 结论2 在()p x 的所有驻点中，
（1）若(1,2,,)j i p j k = 为偶数，则j
i a 是()p x 的极值点；若(1,2,,)j i p j k = 为奇数，则j
i a 不是()p x 的极值点． （2）1(,)i i i a a ξ+∈一定是()p x 的极值点（12,,1i n =- ）．
结论3 "()p x 的零点有且仅有2l k n ++-个，其中l 为()p x 三重根的个数，另外2k n +-个分别介于'()p x 的两个相邻零点之间，记为,1,2,,2i i k n η=+- ．
结论4 在"()p x 的所有零点中，
（1）若(3)i p i ≥为奇数，则(,())i i a p a 是曲线()p x 的拐点(1,2,,)i n = ；若(3)i p i ≥为
偶数，则(,())i i a p a 不是曲线()p x 的拐点(1,2,,)i n = ；
（2）(,())i i p ηη一定是曲线()p x 的拐点(1,2,,2)i k n =+- ．
2．典型例题
例1 函数23()(1)(2)f x x x x =--的极值点的个数为（ ）
（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个
解析：由结论1知，()f x 有4个驻点：121,2,(0,1),(1,2)ξξ∈∈，再由结论2知，i p 中为偶数的只有1个，故共有3个极值点：121,(0,1),(1,2)ξξ∈∈，故选C ．
例2 （ 数二真题）曲线22(1)(2)y x x =--的拐点个数为（ ）
（A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个
解析：由结论1知函数y 的驻点有3个：1,2,(1,2)ξ∈，又由结论3可知，"y 有两个零点：12(1,),(,2)ηξηξ∈∈，再由结论4知，1122(,()),(,())y y ηηηη皆为拐点，故选C ． 例3 （20XX 年数一真题）曲线234(1)(2)(3)(4)y x x x x =----的拐点是（ ）
（A ）(1,0) （B ）(2,0) （C ）(3,0) （D ）(4,0) 解析：利用结论4，可知答案选C ．
上面提供了一种求解多项式函数极值点与拐点的简便算法，对做这种选择题提供了一种技巧和方法，希望同学们好好学习一下。
最后祝所有2015考研的学员取得优异的成绩！。