考研数学多项式函数的极值点与拐点的简便求法

考研数学多项式函数的极值点与拐点的简便求法

来源：文都教育

求函数的极值点和拐点，通常是求出函数的一阶和二阶导数，找出所有可能的取值点，然后利用极值和拐点的充分条件进行判断。但是对于多项式函数，当其次数较高时，求导较复杂，运算很繁琐，不利于求解。下面考研文都数学老师给出求多项式函数的极值点和拐点的简便方法，以助广大考生备考。

1．重要结论

设函数1212()()()()n p

p p n p x x a x a x a =--- ，其中i a R ∈，且 12,(1,2,,)n i a a a p Z i n +<<<∈= ，记12,,,k i i i a a a 为()p x 的k 个重根，对应

重数为12,,,k i i i p p p ，l 为()p x 三重根的个数，有如下结论：

结论1 ()p x 的驻点有且仅有(1)k n +-个，其中k 是()p x 的重根(1,2,,)j i a j k = 的个

数，令1n -个分别介于()p x 的两个相邻零点之间，记为1((,)),12,,1i i i i a a i n ξξ+∈=- ． 结论2 在()p x 的所有驻点中，

（1）若(1,2,,)j i p j k = 为偶数，则j

i a 是()p x 的极值点；若(1,2,,)j i p j k = 为奇数，则j

i a 不是()p x 的极值点． （2）1(,)i i i a a ξ+∈一定是()p x 的极值点（12,,1i n =- ）．

结论3 "()p x 的零点有且仅有2l k n ++-个，其中l 为()p x 三重根的个数，另外2k n +-个分别介于'()p x 的两个相邻零点之间，记为,1,2,,2i i k n η=+- ．

结论4 在"()p x 的所有零点中，

（1）若(3)i p i ≥为奇数，则(,())i i a p a 是曲线()p x 的拐点(1,2,,)i n = ；若(3)i p i ≥为

偶数，则(,())i i a p a 不是曲线()p x 的拐点(1,2,,)i n = ；

（2）(,())i i p ηη一定是曲线()p x 的拐点(1,2,,2)i k n =+- ．

2．典型例题

例1 函数23()(1)(2)f x x x x =--的极值点的个数为（ ）

（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个

解析：由结论1知，()f x 有4个驻点：121,2,(0,1),(1,2)ξξ∈∈，再由结论2知，i p 中为偶数的只有1个，故共有3个极值点：121,(0,1),(1,2)ξξ∈∈，故选C ．

例2 （ 数二真题）曲线22(1)(2)y x x =--的拐点个数为（ ）

（A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个

解析：由结论1知函数y 的驻点有3个：1,2,(1,2)ξ∈，又由结论3可知，"y 有两个零点：12(1,),(,2)ηξηξ∈∈，再由结论4知，1122(,()),(,())y y ηηηη皆为拐点，故选C ． 例3 （20XX 年数一真题）曲线234(1)(2)(3)(4)y x x x x =----的拐点是（ ）

（A ）(1,0) （B ）(2,0) （C ）(3,0) （D ）(4,0) 解析：利用结论4，可知答案选C ．

上面提供了一种求解多项式函数极值点与拐点的简便算法，对做这种选择题提供了一种技巧和方法，希望同学们好好学习一下。最后祝所有2015考研的学员取得优异的成绩！