研究生数理方程期末试题10111A答案

北京交通大学硕士研究生2010-2011学年第一学期

《数学物理方程》期末试题（A 卷）

（参考答案）

学院 专业 学号 姓名

1、 （10分）试证明：圆锥形枢轴的纵振动方程为：

其中E 是圆锥体的杨氏模量，ρ是质量密度，h 是圆锥的高（如下图所示）： 【提示：已知振动过程中，在x 处受力大小为u

ES

x

∂∂，S 为x 处截面面积。】 【证明】在圆锥体中任取一小段，截面园的半径分别是1r 和2r ，如图所示。于是，我们有 上式化简后可写成 从而有 或成 其中2

E

a ρ

=

，证明完毕。

2、 （20分）考虑横截面为矩形的散热片，它的一边y b =处于较高温度U ，其它三边0y =，

0x =和x a =则处于冷却介质中，因而保持较低的温度0u 。试求该截面上的稳定温度

分布(,)u x y ，即求解以下定解问题：

【提示：可以令0(,)(,)u x y u v x y =+，然后再用分离变量方法求解。】 【解】令0(,)(,)u x y u v x y =+，则原定解问题变为

分离变量：

代入方程得到关于X 和Y 的常微分方程以及关于X 的定解条件： 可以判定，特征值 特征函数

利用特征值n λ可以求得 于是求得特征解 形式解为

由边界条件，有 得到 解得

最后得到原定解问题的解是

3、 （20分）试用行波法求解下列二维半无界问题 【解】方程两端对x 求积分，得 也即

对y 求积分，得 也即

由初始条件得 也即

再取0x =，于是又有 从而得

于是

将这里的()g x 和()h y 代入(,)u x y 的表达式中，即得

4、 （20分）用积分变换法及性质，求解无界弦的自由振动问题：

【提示：可利用逆Fourier 积分变换公式：11

,||sin []20,

||x at

a t F a

a x at ωω-⎧<⎪=⎨⎪≥⎩】 【解】对变元x 作Fourier 变换，令

则有

方程的通解是 由初始条件得 可得 方程的解 从而 查表可得 从而

注意到

最后得到原问题的解 即

这就是d ’Alembert 公式。

5、 （20分）对于平面上的调和函数(,)u x y

1）试证明Dirichlet 边值问题解的唯一性，即：方程⎩⎨

⎧==∆Ω∂.

0,0u u 只有零解；

2）用Green 函数法，试求解边值界为(,)g x y 的上半平面调和函数的Poisson 表达式。

6、 （20分）半径为0r 的球形区域内部没有电荷，球面上的电位为2

0cos u θ，0u 为常数，

求球形区域内部的电位分布。即求解以下定解问题（球坐标形式）：

【解答】由于球面上边界条件中不含有变量ϕ，故只考虑轴对称解，可以用分离变量法求解该问题。为此令 代入方程，得 改写成

令(1),cos ,n n x P λθ=+==Θ，可将上面两个方程改写成

上面第二个方程是一个勒让德方程，其通解为()n P x 。而第一个方程是一个欧拉方程，它的通解是

再根据R 的有界性，应有20C =，从而 于是，原问题的解是 边界条件为 或写成 即有

根据已有的结果 或 从而 于是有

比较两端()n P x 的系数，可知 从而

7、 （10分）用Ritz-Galerkin 方法求下列问题的近似解： 其中区域2

2

2

{(,)|}x y x y R Ω=+≤，0u 为常数。

【提示：取近似解为222

1()u A R x y =--】

【解】取基函数组222

0R x y ϕ=--，求(,)u x y 的近似解，只取1N =，则

22210()u A A R x y ϕ==--。

泛函 令 有 可得

最后得到定解问题的近似解为