中考数学一元二次方程-经典压轴题含答案解析
一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．随着经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，汽车消费成为新亮点．抽样调查显示，截止2008年底全市汽车拥有量为14.4万辆．已知2006年底全市汽车拥有量为10万辆．
（1）求2006年底至2008年底我市汽车拥有量的年平均增长率；
（2）为保护城市环境，要求我市到2010年底汽车拥有量不超过15.464万辆，据估计从2008年底起，此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%，那么每年新增汽车数量最多不超过多少辆？（假定每年新增汽车数量相同）
【答案】详见解析
【解析】
试题分析：（1）主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）解决问题；
（2）参照增长率问题的一般规律，表示出2010年的汽车拥有量，然后根据关键语列出不等式来判断正确的解．
试题解析：（1）设年平均增长率为x，根据题意得：
10（1+x）2=14.4，
解得x=﹣2.2（不合题意舍去）x=0.2，
答：年平均增长率为20%；
（2）设每年新增汽车数量最多不超过y万辆，根据题意得：
2009年底汽车数量为14.4×90%+y，
2010年底汽车数量为（14.4×90%+y）×90%+y，
∴（14.4×90%+y）×90%+y≤15.464，
∴y≤2．
答：每年新增汽车数量最多不超过2万辆．
考点：一元二次方程—增长率的问题
2．将m看作已知量，分别写出当0
3．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0有两根α，β．
（1）求m的取值范围；
（2）若11
1
αβ
+=-，则m的值为多少？
【答案】（1）
1
4
m≥；（2）m的值为3．
【解析】
【分析】
（1）根据△≥0即可求解,
（2）化简11αβ+,利用韦达定理求出α+β，αβ,代入解方程即可.
【详解】 解：（1）由题意知，（2m+3）2﹣4×1×m 2≥0，
解得：m≥-34
； （2）由根与系数的关系得：α+β=﹣（2m+3），αβ=m 2，
∵
111αβ+=-，即αβαβ+=-1, ∴2m 3m2
+﹣（）=-1,整理得m 2﹣2m ﹣3=0 解得：m 1=﹣1，m 1=3，
由（1）知m≥-
34
， ∴m 1=﹣1应舍去，
∴m 的值为3．
【点睛】 本题考查了一元二次方程根的判别式以及韦达定理，对根进行判断是正确解题的关键.
4．如图，在Rt ABC 中，90B =∠，10AC cm =，6BC cm =，现有两点P 、Q 的分别从点A 和点B 同时出发，沿边AB ，BC 向终点C 移动．已知点P ，Q 的速度分别为2/cm s ，1/cm s ，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动，设P ，Q 两点移动时间为xs ．问是否存在这样的x ，使得四边形APQC 的面积等于216cm ？若存在，请求出此时x 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】假设不成立，四边形APQC 面积的面积不能等于216cm ，理由见解析
【解析】
【分析】
根据题意，列出BQ 、PB 的表达式，再列出方程，判断根的情况.
【详解】
解：∵90B ∠=，10AC =，6BC =，
∴8AB =．
∴BQ x =，82PB x =-；
假设存在x 的值，使得四边形APQC 的面积等于216cm ，
则()1168821622
x x ??--=， 整理得：2480x x -+=，
∵1632160=-=-<，
∴假设不成立，四边形APQC 面积的面积不能等于216cm ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握方程根的判别方法、理解方程的意义是本题的解题关键.
5．设m 是不小于﹣1的实数，关于x 的方程x 2+2（m ﹣2）x+m 2﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x 1、x 2，
（1）若x 12+x 22=6，求m 值；
（2）令T=1212
11mx mx x x +--，求T 的取值范围． 【答案】（1）m=
517-；（2）0＜T≤4且T≠2． 【解析】
【分析】
由方程方程由两个不相等的实数根求得﹣1≤m ＜1，根据根与系数的关系可得x 1+x 2=4﹣2m ，x 1?x 2=m 2﹣3m+3；（1）把x 12+x 22=6化为（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=6，代入解方程求得m 的值，根据﹣1≤m ＜1对方程的解进行取舍；（2）把T 化简为2﹣2m ，结合﹣1≤m ＜1且m≠0即可求T 得取值范围.
【详解】
∵方程由两个不相等的实数根，
所以△=[2（m ﹣2）]2﹣4（m 2﹣3m+3）
=﹣4m+4＞0，
所以m ＜1，又∵m 是不小于﹣1的实数，
∴﹣1≤m ＜1
∴x 1+x 2=﹣2（m ﹣2）=4﹣2m ，x 1?x 2=m 2﹣3m+3；
（1）∵x 12+x 22=6，
∴（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=6，
即（4﹣2m ）2﹣2（m 2﹣3m+3）=6
整理，得m 2﹣5m+2=0
解得m=
； ∵﹣1≤m ＜1
所以m=．
（2）T=+
=
=
=
=
=2﹣2m．
∵﹣1≤m＜1且m≠0
所以0＜2﹣2m≤4且m≠0
即0＜T≤4且T≠2．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系、根的判别式，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
6．已知关于x的方程x2﹣2x+m﹣2＝0有两个不相等的实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)如果m为正整数，且该方程的根都是整数，求m的值．
【答案】(1)m＜3；(2)m＝2．
【解析】
【分析】
（1）根据题意得出△＞0，代入求出即可；
（2）求出m=1或2，代入后求出方程的解，即可得出答案．
【详解】
（1）∵方程有两个不相等的实数根．
∴△＝4﹣4(m﹣2)＞0．
∴m＜3；
（2）∵m＜3 且 m为正整数，
∴m＝1或2．
当 m＝1时，原方程为 x2﹣2x﹣1＝0．它的根不是整数，不符合题意，舍去；
当 m＝2时，原方程为 x2﹣2x＝0．
∴x(x﹣2)＝0．
∴x1＝0，x2＝2．符合题意．
综上所述，m＝2．
【点睛】
本题考查了根的判别式和解一元二次方程，能根据题意求出m 的值和m 的范围是解此题的关键．
7．已知关于x 的方程x 2﹣(k +3)x +3k ＝0．
(1)若该方程的一个根为1，求k 的值；
(2)求证：不论k 取何实数，该方程总有两个实数根．
【答案】(1)k ＝1；(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）把x ＝1代入方程，即可求得k 的值；
（2）求出根的判别式是非负数即可.
【详解】
(1)把x ＝1代入方程x 2﹣(k +3)x +3k ＝0得1﹣(k ﹣3)+3k ＝0，
1﹣k ﹣3+3k ＝0
解得k ＝1；
(2)证明：
1,(3),3a b k c k ==-+=
24b ac ?=-
∴ △＝(k +3)2﹣4?3k ＝(k ﹣3)2≥0，
所以不论k 取何实数，该方程总有两个实数根．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解以及根的判别式，熟练掌握相关知识点是解题关键.
8．阅读材料：各类方程的解法
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a 的形式。求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解：求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解。求解分式方程，把它转化为整式方程来解。各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想--转化，把未知转化为已知。
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程。例如，一元三次方程
3220x x x --=，可以通过因式分解把它转化为2(2)0x x x --=，解方程0x =和
220x x --=，可得方程3220x x x --=的解。
（1）问题：方程3220x x x --=的解是10x =，2x =_____，3x =_____。
（2）拓展：用“转化”x =的解。
（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD 的长6AD m =，宽4AB m =，小华把一根长为10m 的绳子的一端固定在点B ，沿草坪边沿BA ，AD 走到点P 处，把长绳PB 段拉直并固定在点P ，然后沿草坪边沿PD 、DC 走到点C 处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C 。求AP 的长。
【答案】（1）2，-1; （2）1，3 ; （3）3m.
【解析】
【分析】
（1）因式分解多项式，然后得结论；
（2）两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，验根即可；
（3）设AP 的长为xm ，根据勾股定理和BP+CP=10，可列出方程，由于方程含有根号，两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解即可.
【详解】
（1）x 3-x 2-2x=0，
x （x 2-x-2）=0，
x （x-2）（x+1）=0
所以x=0或x-2=0或x+1=0
∴x 1=0，x 2=2，x 3=-1；
故答案为： 2，-1；
（243x x -=
方程的两边平方，得4x-3=x 2
即x 2-4x+3=0
（x-3）（x-1）=0
∴x-3=0或x-1=0
∴x 1=3，x 2=1，
当x=3或1时, 43x -.
（3）因为四边形ABCD 是矩形，
所以∠A=∠D=90°，AB=CD=4m,
设AP=xm ，则PD=（6-x ）m
因为BP+CP=10，22216AP AB x +=+22216(6)DC PD x +=+- 216(6)x +-216x +
两边平方，得16+(6-x)2216x ++x 2+16
整理，得216x +
两边平方并整理，得x 2-6x+9=0
即（x-3）2=0
所以x=3．
经检验，x=3是方程的解．
答：AP的长为3m．
【点睛】
考查了转化的思想方法，一元二次方程的解法．解无理方程是注意到验根．解决（3）时，根据勾股定理和绳长，列出方程是关键．
9．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（2m+1）=0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2+x1+x2≥20，求m的取值范围．
【答案】（1）m≤4；（2）3≤m≤4．
【解析】
试题分析：（1）根据判别式的意义得到△=（-6）2-4（2m+1）≥0，然后解不等式即可；（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=6，x1x2=2m+1，再利用2x1x2+x1+x2≥20得到2
（2m+1）+6≥20，然后解不等式和利用（1）中的结论可确定满足条件的m的取值范围．试题解析：
（1）根据题意得△＝（－6）2－4（2m＋1）≥0，
解得m≤4；
（2）根据题意得x1＋x2＝6，x1x2＝2m＋1，
而2x1x2＋x1＋x2≥20，所以2（2m＋1）＋6≥20，解得m≥3，
而m≤4，所以m的范围为3≤m≤4．
10．自2018年1月10日零时起，高铁开通，某旅行社为吸引广大市民组团去仙都旅游，推出了如下收费标准：如果人数不超过10人，人均旅游费用为200元，如果人数超过10人，每增加1人，人均旅游费用降低5元，但人均旅游费用不得低于150元．
()1如果某单位组织12人参加仙都旅游，那么需支付旅行社旅游费用________元；()2现某单位组织员工去仙都旅游，共支付给该旅行社旅游费用2625元，那么该单位有多少名员工参加旅游？
【答案】（1）2280；（2）15
【解析】
【分析】
对于（1）根据人数超过10人，每增加1人，人均旅游费用降低5元，但人均旅游费用不得低于150来求解；
对于（2）设这次旅游可以安排x人参加，而由10×200＝2000＜2625，可以得出人数大于10人，则根据x列出方程：（10＋x）（200－5x）＝2625，求出x，然后根据人均旅游费用降低5元，但人均旅游费用不得低于150来求出x的范围，最后得出x的值.
【详解】
（1）2280
()2因为1020020002625
?=<．
因此参加人比10人多，
设在10人基础上再增加x 人，
由题意得：()()1020052625x x +-=．
解得 15x = 225x =，
∵2005150x -≥，
∴010x <≤，
经检验 15x =是方程的解且符合题意，225x =（舍去）．
1010515x +=+=
答：该单位共有15名员工参加旅游．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的应用和一元一次不等式的应用，根据题意作出判断，列出一元二次方程，求解方程，舍去不符合题意的解，从而得出结果.