《概率论与数理统计》习题及答案__第一章

《概率论与数理统计》习题及答案

第 一 章

1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’；

（2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’；

（3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小为1’；

（4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’

； （5）记录在一段时间，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。

解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’1,2,

,6i =，

135{,,}A e e e =。

（2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S =

(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。

（3）{(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)S =

(2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)}

{(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A =

（4）{(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),S ab ab ab a b a b b a =---------

(,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。

（5）{0,1,2,

},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===。

2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件：

（1）仅A 发生；

（2）,,A B C 中至少有两个发生； （3）,,A B C 中不多于两个发生； （4）,,A B C 中恰有两个发生； （5）,,A B C 中至多有一个发生。 解 （1）ABC

（2）AB

AC BC 或ABC ABC ABC ABC ；

（3）A B C 或ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ； （4）ABC ABC ABC ；

（5）AB AC BC 或ABC ABC ABC ABC ；

3．一个工人生产了三件产品，以(1,2,3)i A i =表示第i 件产品是正品，试

用i A 表示下列事件：（1）没有一件产品是次品；（2）至少有一件产品是次品；（3）恰有一件产品是次品；（4）至少有两件产品不是次品。 解 （1）123A A A ；（2）123A A A ；（3）123123123A A A A A A A A A ；

（4）12

1323A A A A A A 。

4．在中任取一个，求后面四个数字全不相同的概率。 解 设A =‘任取一后四个数字全不相同’，则

4

104126

()0.50410250

P P A ===

5．一批晶体管共40只，其中3只是坏的，今从中任取5只，求 （1）5只全是好的的概率； （2）5只中有两只坏的的概率。 解 （1）设A =‘5只全是好的’，则

537

5

40

()0.662C P A C =；

（2）设B =‘5只中有两只坏的’，则

23

337

5

40

()0.0354C C P B C =.

6．袋中有编号为1到10的10个球，今从袋中任取3个球，求 （1）3个球的最小为5的概率； （2）3个球的最大为5的概率. 解 （1）设A =‘最小为5’，则

253101

()12

C P A C ==；

（2）设B =‘最大为5’，则

2

43101

()20

C P B C ==.

7．（1）教室里有r 个学生，求他们的生日都不相同的概率； （2）房间里有四个人，求至少两个人的生日在同一个月的概率. 解 （1）设A =‘他们的生日都不相同’，则

365

()365

r

r

P P A =； （2）设B =‘至少有两个人的生日在同一个月’，则

21222321

4121141241212

4

41()1296

C C P C C C P C P B +++==； 或

412

441()1()11296

P P B P B =-=-=

. 8．设一个人的生日在星期几是等可能的，求6个人的生日都集中在一个星期中的某两天，但不是都在同一天的概率.

解 设A =‘生日集中在一星期中的某两天，但不在同一天’，则

2

676

(22)

()0.011077

C P A -==.？？？？为什么 9．将,,,,,,C C E E I N S 等7个字母随机地排成一行，那么恰好排成英文单词SCIENCE 的概率是多少？ 解1 设A =‘恰好排成SCIENCE ’

将7个字母排成一列的一种排法看作基本事件，所有的排法：

字母C 在7个位置中占两个位置，共有2

7C 种占法，字母E 在余下的5个位置中占两个位置，共有2

5C 种占法，字母,,I N C 剩下的3个位置上全排列的方法

共3！种，故基本事件总数为22

753!1260C C ⋅⋅=，而A 中的基本事件只有一个，

故

22

7511

()3!1260

P A C C =

=⋅⋅； 解2 七个字母中有两个E ，两个C ，把七个字母排成一排，称为不尽相异元素的全排列。一般地，设有n 个元素，其中第一种元素有1n 个，第二种元素有2

n