2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案

2011年全国硕士研究生入学统一考试

数学二试题

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三、解答题

（15）13a <<

（16）()y y x =的极小值为13-，极大值为1；凸区间为1(,)3-∞，凹区间为1

(,)3

+∞，拐点为11

(,)33

（17）2'''''

1111121|(1,1)(1,1)(1,1)x y d z f f f dxdy ===++

（18）()4

2x y x π

=-

（19）略

（20）（I ）

9

4

π；（II ） 278g πρ （21）I a =

（22）（I ） 5a =；（II ）

112324βααα=+-，2122βαα=+，31235102βααα=+-

（23）（I ） A 的特征值为-1，1，0，对应的特征向量为()1110k k α≠，()2220k k α≠，

()3330k k α≠ （II ）

001000100A ⎛⎫

⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选

项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）已知当0x →时，()3sin sin3f x x x =-与k

cx 是等价无穷小，则 （ ）

（A ）k=1, c =4 （B ）k=1,c =-4 （C ）k=3,c =4 （D ）k=3,c =-4 【答案】（C ）

【考点】无穷小量的比较，等价无穷小，泰勒公式 【难易度】★★★ 【详解】

解析：方法一：当0x →时，sin x x

03sin sin 3lim

k x x x cx →-03sin sin cos 2cos sin 2lim k

x x x x x x

cx →--=

()

20

sin 3cos 22cos lim

k

x x x x cx →--=2103cos 22cos lim k x x x

cx -→--= ()221

32cos 12cos lim

k x x x

cx -→---=22110044cos 4sin lim lim k k x x x x cx cx

--→→-== 3

04

lim

14,3k x c k cx -→==⇒==，故选择（C ）.

方法二：当0x →时，3

3sin ()3!

x x x o x =-+ 33

3333(3)()3sin sin 33[()][3()]4()3!3!

x x f x x x x o x x o x x o x =-=-

+--+=+

故3,4==k c ，选（C ）.

（2）设函数()f x 在x=0处可导，且()0f =0，则()()

233

2lim

x x f x f x x

→-= （ ）

（A ） -2()0f ' （B ）-()0f ' （C ） ()0f ' （D ） 0 【答案】（B ）

【考点】导数的概念 【难易度】★★ 【详解】 解析：()()

()()()()2333

30

0200lim

lim 2x x x f x f x f x f f x f x x x →→⎡⎤

---⎢⎥=-⎢⎥⎣⎦

()()()0200f f f '''=-=-

故应选（B ）

（3） 函数()ln (1)(2)(3)f x x x x =---的驻点个数为 （ ）

（A ） 0 （B ） 1 （C ） 2 （D ）3

【答案】（C ）

【考点】复合函数求导 【难易度】★★ 【详解】

解析：方法一：令)3)(2)(1()(---=x x x x g ，

易知0)3()2()1(===g g g ，且0)(='x g 即)(x g 有两个驻点，所以)(x g 有两个驻点， 因为x y ln =函数单调，故)(ln x g 有两个驻点，选C.

方法二：

令(2)(3)(1)(3)(1)(2)'()(1)(2)(3)x x x x x x f x x x x --+--+--=---231211

0(1)(2)(3)

x x x x x -+==---

有两个不同的根.所以()f x 有两个驻点.选（C ）. （4） 微分方程2

(0)λλλλ-''-=+>x

x y y e e 的特解形式为（ ）

（A ） ()x

x a e

e λλ-+ （B ） ()x x ax e e λλ-+ （C ） ()x

x x ae

be λλ-+ （D ） 2()x x x ae be λλ-+

【答案】（C ）

【考点】二阶常系数非齐次线性微分方程 【难易度】★★★★ 【详解】

解析：对应齐次微分放的特征方程为2

2

0r λ-=，解得r λ=±， 于是2

x y y e λλ''-=，2x

y y e λλ-''-=

分别有特解x

y axe

λ=，x

y bxe

λ-=，

因此原非齐次方程有特解()x

x y x ae

be λλ-=+.选（C ）.

（5） 设函数(),()f x g x 均有二阶连续导数，满足(0)0,(0)0,f g ><且'(0)'(0)0f g ==，则函数()()z f x g y =在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是 （ ）