《算法设计与分析》递归算法典型例题

算法递归典型例题
实验一：递归策略运用练习
三、实验项目
1运用递归策略设计算法实现下述题目的求解过程。

题目列表如下：
(1)运动会开了N天，一共发岀金牌M枚。

第一天发金牌1枚加剩下的七分之一枚，第二天发金牌2枚加剩下的七分之一枚，第3天发金牌3枚加剩下的七分之一枚，以后每天都照此
办理。

到了第N天刚好还有金牌N枚，到此金牌全部发完。

编程求
(2)国王分财产。

某国王临终前给儿子们分财产。

他把财产分为若干份，然后给第一个儿
子一份，再加上剩余财产的1/10;给第二个儿子两份，再加上剩余财产的1/10 ;……；给第i
个儿子i份，再加上剩余财产的1/10。

每个儿子都窃窃自喜。

以为得到了父王的偏爱，孰不知国王是“一碗水端平”的。

请用程序回答，老国王共有几个儿子？财产共分成了多少份？源程序：
(3)岀售金鱼问题：第一次卖岀全部金鱼的一半加二分之一条金鱼；第二次卖岀乘余金鱼
的三分之一加三分之一条金鱼；第三次卖岀剩余金鱼的四分之一加四分之一条金鱼；第四次卖岀
剩余金鱼的五分之一加五分之一条金鱼；现在还剩下11条金鱼，在岀售金鱼时不能把金鱼切开
或者有任何破损的。

问这鱼缸里原有多少条金鱼？
(4)某路公共汽车，总共有八站，从一号站发轩时车上已有n位乘客，到了第二站先下一
半乘客，再上来了六位乘客；到了第三站也先下一半乘客，再上来了五位乘客，以后每到一站都
先下车上已有的一半乘客，再上来了乘客比前一站少一个……，到了终点站车上还有乘客六人，
问发车时车上的乘客有多少？
(5)猴子吃桃。

有一群猴子摘来了一批桃子，猴王规定每天只准吃一半加一只(即第二天
吃剩下的一半加一只，以此类推) ，第九天正好吃完，问猴子们摘来了多少桃子？
(6)小华读书。

第一天读了全书的一半加二页，第二天读了剩下的一半加二页，以后天天如此……，第六天读完了最后的三页，问全书有多少页？
(7)日本著名数学游戏专家中村义作教授提岀这样一个问题：父亲将2520个桔子分给六个
儿子。

分完后父亲说：“老大将分给你的桔子的1/8给老二；老二拿到后连同原先的桔子分1/7 给老三；老三拿到后连同原先的桔子分1/6给老四；老四拿到后连同原先的桔子分1/5给老五；
老五拿到后连同原先的桔子分1/4给老六；老六拿到后连同原先的桔子分1/3给老大”。

结果大
家手中的桔子正好一样多。

问六兄弟原来手中各有多少桔子？
四、实验过程
(一) 题目一：……
1.题目分析
由已知可得，运动会最后一天剩余的金牌数gold等于运动会举行的天数由此可倒推每一
天的金牌剩余数，且每天的金牌数应为6的倍数。

2.算法构造
设运动会举行了N天，lf(i==N)Gold[i]=N;
Else gold[i]=gold[i+1]*7/6+i;
using n ames pace std; void mai nO {
int i=0,cou nt=O; int gold[100]; do
gold[cou nt]=cou nt; for (i=cou nt-1; i>=1; i--) {
if (gold[i+1]%6!=0 )
break; //跳岀for 循环 else
gold[i]=gold[i+1]*7/6+i;
//计算第i 天剩余的金牌数
题目二:
题目分析
由已知可得，最后一个儿子得到的遗产份数即为王子数目，由此可得到每个儿子得到的 遗产份数，在对遗产数目进行合理性判断可得到符合要求的结果。

算法构造
设皇帝有count 个王子，
prop erty[cou nt]=cou nt; for (i=cou nt-1; i>=1; i--) {
if (prop erty[i+1]%9!=0 )
break;
〃数目不符跳岀for 循环
else
3.
算法实现
#in elude <iostream>
//预编译命令
{
cou nt=cou nt+6;
//运动会天数加六
//主函数 //cou nt 表示运动会举办的天数
//定义储存数组
4.
}
} while( i>=1 );
//
cout <<"运动会开了 "<<count<<"天"<< endl; cout<<"总共发了 "<<gold[1]<<"枚金牌"<<endl; }
运行结果
i>=1
继续做do 循环
//返回天数 //返回金牌数
1.
2.
}
3.算法实现
P ro perty[i]=prop erty[i+1]*10/9+i;
〃计算到第i 个王子时剩余份数
#in elude <iostream> //预编译命令
using n ames pace std; void mai nO {
//主函数
int i=0,cou nt=0; int prop erty[100]; do //count 表示国王的儿子数
〃定义储存数组,
表示分配到每个王子时剩余份数 {
cou nt=cou nt+9;
prop erty[cou nt]=cou nt; for (i=cou nt-1; i>=1; i--) {
//王子数目为 9的倍数
if (prop erty[i+1]%9!=0 )
break;
//数目不符跳岀
else
for 循环
} 4.
}
} while( i>=1 );
// 当 i>=1
cout <<"皇帝有"<<count<<"个儿子"<< endl; cout<<"遗产被分成"<<property[1]<<"份"<<endl; 继续做do 循环
//返回王子数
//返回遗产份数
运行结果
rs\ID E0_\ De s klo 箭建交件夹\ Deb uq\C pp
1.题目分析
由最后一天的金鱼数目，可递推得到每天的金鱼数目，第一天的数目即为金鱼总数。

2.算法构造 fish[5]=11;
for (i=4; i>=1; i--) fish[i]=(fish[i+1]*(i+1)+1)/i; 3.算法实现 //计算到第i 天剩余金鱼条数
#include <iostream> // 预编译命令
using n ames pace std; void mai nO //主函数
int i=0;
P ro perty[i]=prop erty[i+1]T0/9+i;
〃计算到第i 个王子时剩余份数
int fish [ 6];
fish[5]=11;
for (i=4; i>=1; i--)
fish[i]=(fish[i+1]*(i+1)+1)/i; //计算到第i天剩余金鱼条数cout<<"浴缸里原有金鱼"<<fish[1]<<"条"<<endl; 〃返总金鱼数
using n ames pace std; void
int i=0;
num[9];
num[8]=6;
for(i=7; i>=2; i--)
num[i]=2*(num[i+1]-8+i); 〃计算到第i站车上的人数
cout<<"发车时车上有"<<num[2]<<"位乘客"<<endl; //返总发站人数，即为到第二站时车上人数
}
4.运行结果
Press anv key to continue
(五)题目五：•…
1.题目分析
〃定义储存数组各天剩余金鱼数
}
4. 运行结果
浴缸里原有金鱼59条.
Press any key to continite
1.
2.
(四)题目四：……
题目分析
有到终点站时车上的乘客数可求得到任意一站的乘客人数, 即
为发车时车上的乘客数。

算法构造
到第二站时车上的乘客数目
num[8]=6; for(i=7; i>=2; i--)
n um[i]=2*( num[i+1]-8+i);
//到终点站车上还有六人
〃计算到第i站车上的人数
3.算法实现
#in elude <iostream> //预编译命令
//主函数
mai nO
//定义储存数组
//到终点站车上还有六人
int
可假设有第十天， 则第十天剩余的桃子数目为 0 ,由此递推可得每一天剩余的桃子数目。

第一天的桃子数目即为猴子摘桃子的总数。

2. 算法构造
n um[10]=0; for(i=9; i>=1; i--) 3.算法实现
■iJ J 'C:\U5er^\DELL\De5ktop\^aS ：1W^Debug\Cpp5,exe
(六)题目六： .....
1.
题目分析
由第六天剩余的页数可递推得到每天的剩余页数，第一天的页数即为全书的页数
2.
算法构造
num[6]=3; for(i=5; i>=1; i--)
n um[i]=2* (n um[i+1]+2);
3.算法实现
//到第 n 天时剩余的页数
//计算到第i 天剩余的页数
#in clude <iostream>
//预编译命令
using n ames pace std; void mai nO { int i=0;
//主函数
int n um[7]; num[6]=3; for(i=5; i>=1; i--)
n um[i]=2* (n um[i+1]+2);
//定义储存数组 //到第n 天时剩余的页数
//计算到第i 天剩余的页数
//第n 天吃前的桃子数
num[i]=2* (n um[i+1]+1);
〃计算到第i 天剩余的桃子数算法实现
#in elude <iostream> //预编译命令
using n ames pace std; void
mai nO
//主函数
int i=0;
n um[11];
n um[10]=0;
for(i=9; i>=1; i--) num[i]=2*(num[i+1]+1);
//计算到第i 天剩余的桃子数
cout<<"猴子共摘来了 "<<num[1]<<"个桃子"<<endl;
//输岀总的桃子数，即第一天吃前
的数目
int
〃定义储存数组
//第n 天吃前的桃子数
}
4.
运行结果
cout<<"全书共有"<<num[1]<<"页"<<endl; } //输岀总页数，即第一天吃前的数目
4.运行结果
se pp5. exe
(七)
1.
2. 题目七：……
题目分析
由已知可得，第一个儿子得到的橘子数目为平均数的一半，由此可得到第一个儿子原先的橘子数目，而第i个儿子原先的橘子数目可由递推公式得到；
算法构造
if(i==0)
{
a[i]=(ave-ave/2)*(8-i)/(8-i-1);
left=a[i]-ave/2;
//第一个儿子的数目
}
else
{
a[i]=ave*(8-i)/(8-i-1)-left;
left=ave/(8-i-1);
} //由left求第i+1个儿子的橘子数目//第i+1个儿子得到的橘子数目
3.算法实现
#in clude<iostream> using n ames pace std;
void mai n()
{
int a[6];
int left=O;
int ave=420;
for(i nt i=0;i<6;i++) { //存放六个儿子原先手中的橘子数目〃存放下一个儿子得到的橘子数目
if(i==0)
{
a[i]=(ave-ave/2)*(8-i)/(8-i-1); //第一个儿子的数目left=a[i]-ave/2;
}
else
a[i]=ave*(8-i)/(8-i-1)-left; left=ave/(8-i-1);
}
}
for(i=0;i<6;i++)
coutvv"第"<<i+1<<"个儿子原先手中的的橘子数为
"vva[i]vvendl;
子原先手中的橘子数目
}
4.运行结果
IE *C ：\Users\DELL\Desktop\^S^fr5?\ Debug\1234.exe
//由left 求第i+1个儿子的橘子数目
//第i+1个儿子得到的橘子数目
//输岀每个儿。