地图投影与高斯投影

第七章 地图投影与高斯投影

[本章提要]

本章介绍从椭球面上大地坐标系到平面上直角坐标系的正形投影过程。研究如何将大地坐标、大地线长度和方向以及大地方位角等向平面转化的问题。重点讲述高斯投影的原理和方法，解决由球面到平面的换算问题，解决相邻带的坐标坐标换算。讨论在工程应用中，工程测量投影面与投影带选择。

§7.1 高斯投影概述

1 投影与变形

地图投影：就是将椭球面各元素（包括坐标、方向和长度）按一定的数学法则投影到平面上。研究这个问题的专门学科叫地图投影学。可用下面两个方程式（坐标投影公式）表示： 式中B L ,是椭球面上某点的大地坐标，而y x ,是该点投影后的平面直角坐标。

投影变形：椭球面是一个凸起的、不可展平的曲面。将这个曲面上的元素（（距离、角度、图形）投影到平面上，就会和原来的距离、角度、图形呈现差异，这一差异称为投影变形。

投影变形的形式：角度变形、长度变形和面积变形。

地图投影的方式：

（1）等角投影——投影前后的角度相等，但长度和面积有变形；

（2）等距投影——投影前后的长度相等，但角度和面积有变形；

（3）等积投影——投影前后的面积相等，但角度和长度有变形。

2 控制测量对地图投影的要求

（1）应当采用等角投影（又称为正形投影）

采用正形投影时，在三角测量中大量的角度观测元素在投影前后保持不变；在测制的地图时，采用等角投影可以保证在有限的范围内使得地图上图形同椭球上原形保持相似。

（2）在采用的正形投影中，要求长度和面积变形不大，并能够应用简单公式计算由于这些变形而带来的改正数。

（3）能按分带投影

3 高斯投影的基本概念

（1）基本概念：

如图1所示，假想有一个椭圆柱面横套在地球椭球体外面，并与某一条子午线（此子午线称为中央子午线或轴子午线）相切，椭圆柱的中心轴通过椭球体中心，然后用一定投影方法，将中央子午线两侧各一定经差范围内的地区投影到椭圆柱面上，再将此柱面展开即成为投影面，如图2所示，此投影为高斯投影。高斯投影是正形投影的一种。

图1 图2

（2）分带投影

● 高斯投影 6带：自 0子午线起每隔经差 6自西向东分带，依次编号1,2,3,…。我

国 6带中央子午线的经度，由 75起每隔 6而至 135,共计11带（13～23带），带号用n 表示，中央子午线的经度用0L 表示，它们的关系是360-=n L ,如图所示。 ● 高斯投影 3带：它的中央子午线一部分同 6带中央子午线重合，一部分同 6带的

分界子午线重合，如用n '表示 3带的带号，L 表示 3带中央子午线经度，它们的关系n L '=3图8-4所示。我国 3带共计22带（24～45带）。

（3）高斯平面直角坐标系

5 椭球面三角系化算到高斯投影面

将椭球面三角系归算到高斯投影面的主要内容是：

（1）将起始点P 的大地坐标).(B L 归算为高斯平面直角坐标y x ,；为了检核还应进行反算，亦即根据y x ,反算B L ,。

（2）通过计算该点的子午线收敛角γ及方向改正δ，将椭球面上起算边大地方位角PK A 归算到高斯平面上相应边K P ''的坐标方位角K p ''α。

（3）通过计算各方向的曲率改正和方向改正，将椭球面上各三角形内角归算到高斯平面上的由相应直线组成的三角形内角。

（4）通过计算距离改正s ∆，将椭球面上起算边PK 的长度S 归算到高斯平面上的直线

长度s 。

（5）当控制网跨越两个相邻投影带，需要进行平面坐标的邻带换算。

§7.2 正形投影的一般条件

高斯投影首先必须满足正形投影的一般条件。图1为椭球面，图2为它在平面上的投影。

在椭球面上有无限接近的两点1P 和2P ，投影后为1p '和2p '，其坐标均已注在图上，dS 为大

地线的微分弧长，其方位角为A 。在投影面上，建立如图2所示的坐标系，dS 的投影弧长为ds 。

图2 图37

椭球面到平面的正形投影一般公式——称柯西-黎曼条件：

平面正形投影到椭球面上的一般条件：

§7.3 高斯平面直角坐标系与大地坐标系

1 高斯投影坐标正算公式

（1）高斯投影正算：已知椭球面上某点的大地坐标()B L ,，求该点在高斯投影平面上的直角坐标()y x ,，即()),(,y x B L ⇒的坐标变换。

（2）投影变换必须满足的条件

● 中央子午线投影后为直线；

● 中央子午线投影后长度不变；

● 投影具有正形性质，即正形投影条件。

（3）投影过程

在椭球面上有对称于中央子午线的两点1P 和2P ,它们的大地坐标分别为（B L ,）及（B l ,），式中l 为椭球面上P 点的经度与中央子午线)(0L 的经度差：0L L l -=, P 点在

中央子午线之东, l 为正，在西则为负，则投影后的平面坐标一定为),(1y x P '和),(2y x P -'。

（4）计算公式

当要求转换精度精确至0.OOlm 时，用下式计算：

2 高斯投影坐标反算公式

（1）高斯投影反算：已知某点的高斯投影平面上直角坐标()y x ,，求该点在椭球面上的大地坐标()B L ,，即()),(,B L y x ⇒的坐标变换。

（2）投影变换必须满足的条件

● x 坐标轴投影成中央子午线，是投影的对称轴；

● x 轴上的长度投影保持不变；

● 投影具有正形性质，即正形投影条件。

（3）投影过程

根据x 计算纵坐标在椭球面上的投影的底点纬度f B ，接着按f B 计算（B B f -）及经差l ，最后得到)(B B B B f f --=、l L L +=0。