五邑大学高等数学期末考试-01

（请考生注意：本试卷共 6 页）
大题
一
二三四五
六
七八九十
成绩
一、解答下列各题 (本大题共 2 小题，总计 16 分) 1、(本小题 8 分)
求函数 z ln(1 x 2 y 4 ) 2 x 的驻点。
2、(本小题 8 分)
2
求曲面 z x ln y y ln x 在点 (1,1,0) 处的切平面方程。
1 ，发散.
n1 3
6
1
b 1时, lim an1 a n
n
lim 2 b n1
n
1

lim
n
2 bn 2 bn1
1 1 原级数收敛. b
10
2 bn
2、(本小题 5 分)
(n 2)!
lim an1 a n
n

lim
n
(n 1)n2 (n 1)!
九、 ( 本 大 题 10 分 )
特征方程 r 2 9 0 的根为： r1,2 3i
对应的齐次方程的通解为
yC C1 cos3x C2 sin 3x
（5 分）
设特解为 y p x( A cos3x B sin 3x) ，代入方程得
6
y p 2x sin 3x
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（8 分）
还是条件收敛？
七、(本大题 10 分)
x
4n1
利用逐项求导或逐项积分，求下列级数的和函数.
n1 4n 1
八、(本大题 10 分)
求微分方程 xy y xe x 满足条件 y x1 1 的特解
九、(本大题 10 分)
求微分方程 y 9 y 12 cos 3 x 的通解.
解法一
把原方程改写为 y 1 y e x , 是一阶线性方程，其通解为 x
y e P( x)dx Q( x)e P( x)dx dx c
3

e
1 dx x

ex

e

1 x
dx
dx

c


1 x
( x 1)e x
c
八、(本大题 10 分)
求微分方程 y 2dx x 2dy xydy 的通解
九、(本大题 10 分)
求微分方程 y 3 y 2 y 3 xe x 的通解.
十、(本大题 6 分)
求平面 x y z 1 和柱面 x 2 y 2 1 的交线上与 xoy 平面 345
2、(本小题 8 分) 对应的切平面法向量
n 1,10,6
（5 分） （10 分）
5分
切平面方程
(x 2) 10( y 3) 6(z 1) 0 或 x 10y 6z 38
法线方程
x2 y3 z1 10 6
二、 ( 本 大 题 10 分 )
8分 10 分
三、 ( 本 大 题 10 分 )
四、 ( 本 大 题 10 分 )
4
五、 ( 本 大 题 8 分 ) 由高斯公式
六、解答下列各题 (本大题共 2 小题，总计 10 分) 1、(本小题 5 分)
b

1时,
lim
n
un

lim
n
2
1 bn

1 2
0 原级数发散，
4

b 1时, 原级数化为
7
用 x=1,y=1 代入，得 c=1,所以特解为 y x 1 e x 1
10
x
x
解法二 原方程等价于 d ( xy) xe x ， dx
积分后得
xy ( x 1)e x c
3 7
用 x=1,y=1 代入，得 c=1,所以特解为 y x 1 e x 1
10
x
x
故所求通解为
y yC y p C1 cos3x (C2 2x) sin 3x
（10 分）
十、 ( 本 大 题 10 分 )
设 A 1 e f ( x)dx 1 e f ( x)dx
0
0
则 A 1 e f ( x)dx 1 e f ( y)dy 1 1 e f ( x) f ( y)dxdy
十、(本大题 6 分)
1
1
设f ( x)在[0,1]上连续,试证 e f ( x)dx e f ( x)dx 1
0
0
命题人:罗利民 审批人:____________试卷分类(A 卷或 B 卷):B
五邑大学
试卷
课程:高等数学 专业:
班级
学期:2001 至 2002 学年度第 2 学期 姓名:_________学号_____成绩__________

lim
n
(n 2)nn1 (n 1)n2
1 1 原级数绝对收敛. e
10
n n1
5
七、 ( 本 大 题 10 分 )


n1
x 4n1 4n 1

n1


x4 4n
n1
1


n1
x 4n
x4 1 x4
0
0
00
3

1
e f ( y)dy
1 e f ( x)dx
1 1 e f ( y) f ( x )dxdy
0
0
00
5
于是 2A
1 0
1 0 e
f ( x)
f
( y)

e
1
f ( x)
f
( y)
dxdy
7
1 1
2dxdy 2 00
即
A 1 e f ( x)dx 1 e f ( x)dx 1
命题人:
审批人:____________试卷分类(A 卷或 B 卷):A
五邑大学
试卷
课程:高等数学 专业:
班级
学期:2001 至 2002 学年度第 2 学期 姓名:_________学号_____成绩____ ______
（请考生注意：本试卷共 6 页）
大题
一
二三四五
六
七八九十
成绩
一、解答下列各题 (本大题共 2 小题，总计 16 分) 1、(本小题 8 分)
二、(本大题 10 分)
计算二重积分
xydxdy 其中 D 是由双曲线 y 1 ，直线 y x x
D
及 x 2 所围成的区域。
三、(本大题 10 分)
计算 ( x 2 y 2 z 2 )dS 其中∑为球面 x 2 y 2 z 2 a 2 , a 0
点(1，0)，然后再沿直线段到(0，1)，再沿着 Y 轴回到原点，求力所做的功 。
五、(本大题 8 分)（坐标对曲线积分）用格林化为二重积分，然后定 Y 于 X 的关系就 OK
计算 (z y) d x d y ( y x) d x d z ( x z) d z d y ，（高斯定律）
四、(本大题 10 分)
验证 (2 x cos y y 2 sin x)dx (2 y cos x x 2 sin y)dy
是某个函数的全微分，并求出它的一个原函数。
五、(本大题 8 分)
设Ω是一空心球体 a 2 x 2 y 2 z 2 b2 (0 a b) ,
3
3
距离最短的点
高等数学答案
注：各主观题答案中每 步得分是标准得分，实 际得分应按下式换算： 第N步实际得分 = 本题实际得分 解答第N步标准得分 解答总标准得分
一、解答下列各题 (本大题共 2 小题，总计 16 分) 1、(本小题 8 分)
zx

arctan
x

xy 1 x2
zy arctan x
其中光滑曲面∑围成的Ω的体积为 V。
六、解答下列各题
1
(本大题共 2 小题，总计 10 分) 1、(本小题 5 分)
1
判别级数的敛散性
n1 2 bn
( b 0) （级数的收敛判断法）
2、(本小题 5 分)
判别级数
n1
(1)n
(n 1)! nn1
是否收敛？若是收敛的，是绝对收敛
0
0
10
7
设 z ( x y) arctan x ，求 z x , z y 。(偏导数)
2、(本小题 8 分)
求曲面 x 2 2 y 2 3z 2 xy 19 在点 (2,3,1) 处的切平面和法线方程 。（曲面的切平
面和法线方程）
二、(本大题 10 分)
计算二重积分 sin( x 2 y 2 )dxdy 其中 D：x2+y2≤4,x≥0,y≥0.（二重积分） D
4


x 4n1
n1 4n 1
x 0
1
x4 x4
dx
6

x 1 0
1 1 2 1 x2

1 1 2 1 x2
dx
10
1 ln 1 x 1 arctan x x (1 x 1)
4 1 x 2
八、 ( 本 大 题 10 分 )
计算
sin( x 2 y 2 z 2 ) 2 dV

六、判别下列级数的敛散性
(本大题共 2 小题，总计 10 分)
1、(本小题 5 分)

n1
2n
sin
3n
2、(本小题 5 分)

n1
ln(1

1 n2
)
七、(本大题 10 分)

求级数的和函数. nx n1 n1
三、(本大题 10 分)
Ω是 x≥0;y≥0 部分由曲面 z=3－x2－y2 及 z=x2+y2－5 所围的闭区域，
计算
y d v. （三重积分）(如何定 z 的上下限？)

四、(本大题 10 分)


已知力场 F ( x, y) x( x y)i xy 2 j ，质点从原点出发沿着 X 轴运动到