工程力学第9章 梁弯曲时的刚度计算

[例 ] 某起重机的。大梁的自重为均布载荷，集度为q 。 作用在梁跨度中点的吊重为集中力 F ，如图所示。设梁 的弯曲刚度为EI ，试求大梁跨度中点C的挠度wC 。
解：在均布载荷 q单独作用下，大梁跨度中点C的挠度由教材
表7–1第6栏中查出为
q
F
wC
q


5ql 4 384EI
A
C
B
l
l
2
C 1 ql3 24EI
D0
将所得积分常数代入式（a）、（b），梁的转角方程和 挠曲线方程分别成为
w

1 EI
1 12
qlx3

1 24
qx4

1 24
ql
3
x

（c）


1 EI

1 4
qlx2

1 6
qx3

1 24
ql 3

（d）
（4）计算最大挠度与截面的转角
挠曲线

w

x
qx
F
x
9.1 挠曲线近似微分方程
9.1.2 挠度和转角的关系
◆挠曲线方程 ： w f x
w
挠曲线

w

x
qx
F
x
tan dw
dx
dw
dx
9.1.3 挠曲线近似微分方程
一、挠曲线的曲率公式
1M EI

1
x

M x
EI
d2w

1
x


l x0 3
将上述 x0 值代入式（d），即得梁的最大挠度
wmax
w
x
l 3
Mel2 9 3EI
结果为负，说明挠度方向向下。
9.3 计算梁位移的叠加法
◆叠加法:
在小变形且材料服从胡克定律的情况下，梁任一截面处的挠 度和转角是梁上所受外载荷的线性函数。所以当梁上有几种 载荷同时作用时，可，以先分别计算每一种载荷单独作用在梁 上所产生的变形，然后再按照代数值相加，即可得梁的实际 变形。这种方法即为计算弯曲变形的叠加法。
d2w dx2


M x
EI
d2w M x
dx2 EI
挠曲线近似微分方程
9.2 计算梁位移的积分法
◆ 挠曲线近似微分方程
d2w dx2

M x
EI
◆ 梁的转角方程


dw dx


M x
EI
dx

C
◆ 梁的挠曲线方程
M x
w

EI
dx dx Cx D
作出梁的弯矩图如下图所示，全梁弯矩为正。考虑到 结构与载荷的对称性，可知梁的挠曲线是一条关于中 间截面对称的凹曲线。
ql 2
在中间截面，即 x l 2处挠度 M
8
w 取极值。将x l 2 代入式
（d），得梁的最大挠度
x
wmax

w
x l 2

5ql4 384EI
wmax为负，说明其方向向下。
（b）
（3）确定积分常数
位移边界条件：在两端固定铰支座处，挠度为零，即
wA w x0 0

wB

w xl
0
,
将上述位移边界条件代入分别代入式（a）、（b）， 解得积分常数
D0 C Me l
6EI
将所得积分常数代入式（a）、（b），梁的转角方程和 挠曲线方程分别成为
◆ 积分常数C、D的确定
1、位移边界条件
w
w 0 x0
x0 0
A
Байду номын сангаас
B
x
l
2、位移连续条件 w w xa
xa
F
a
b
A
C
x B
w 0
w
x0
w 0 xl
A
x B
l
xa
xa
[例 ] 受均布载荷作用的简支梁如图所示，已知抗弯
刚度 EI为常数，试求此梁的最大挠度wmax以及截面A的
qlx2

1 6
qx3

C
对式（a）再积分一次，得挠曲线方程
（a）
w

1 EI
1 12
qlx3

1 24
qx4


Cx

D
（b）
（3）确定积分常数
位移边界条件：在两端固定铰支座处，挠度为零，即
wA w x0 0

wB

w xl
0
,
将上述位移边界条件代入分别代入式（a）、（b）， 解得积分常数
2
在集中力 F 单独作用下，大梁跨度中点C的挠度由教材表
7–1第5栏中查出为
wC
F


Fl 3 48EI
将以上结果叠加，即得在均布载荷 和q 集中力 的F 共同作用
下，大梁跨度中点C的挠度
第9章 梁弯曲时的刚度计算
对于工程中承受弯曲变形的构件，设计时除了应使 其工作应力不超过材料的许用应力之外，还必须考 虑由于变形过大可能会出现的问题。例如
9.1 挠曲线近似微分方程
9.1.1 挠度和转角
◆挠曲线方程 ： w f x
◆挠度 ：w
◆转角 ：
w
向上的挠度为正，反之为负。 逆时针的转角为正，反之为负。
FA
3
l
FB
FA

Me l
,
FB


Me l
从而得梁的弯矩方程为
M
x

FA x

Me l
x
（2）建立转角方程和挠曲线方程
将所得弯矩方程代入式（7-4），积分一次，得转角方程
dw Me x2 C
dx 2EIl
（a）
对式（a）再积分一次，得挠曲线方程
w Me x3 Cx D 6EIl
再将x 0代入式（c），即得截面A的转角为
A

x0


ql 3 24EI
A为负，说明截面A的转角为顺时针转向。
[例 ] 如图所示简支梁，在无限接近右支座B处受到矩为
M
的集中力偶作用，试计算梁的最大挠度。设弯曲刚度
e
EI 为常数。
w
解：
x
wmax
A
Me x
（1）列弯矩方程
B
3
l
由梁的平衡方程，易得
转角 A 。
w q
解：
A
A
x B
（1）列弯矩方程
FA
x
l
FB
利用对称关系易得梁的支座反力
FA

FB

1 2
ql
从而得梁的弯矩方程为
M x 1 qlx 1 qx2
22
（2）建立转角方程和挠曲线方程
将所得弯矩方程代入式（7-4），积分一次，得转角方程


dw dx

1 EI

1 4
1
dx2 dw dx
2
3
2
d2w
dx2
3
1


dw dx
2

2

M x
EI
d2w M x
dx2
EI
讨论：
弯矩正负号规 定
w
w
M 0
d 2 dx2 0
O
x
O
M 0 d 2
0 dx2
x
高等数学知识
w Mex x2 l2 6EIl
（c）
Me 3x2 l2 6EIl
（d）
（4）计算最大挠度与截面的转角
作出梁的弯矩图如下图所示，全梁弯矩为正。其最大 挠度处的转角为零。故由式（c）有
dw Me 3x2 l2 0 dx 6EIl
从而得最大挠度所在截面的坐标为