高等数学期末复习：2xl1 导数与微分习题课

d(e x ) e xdx
d (loga
x)
1 dx x lna
d(arcsin x) 1 dx 1 x2
d(ln x) 1 dx x
d(arccos x) 1 dx 1 x2
d
(arctan
x
)
1
1 x
2
dx
d
(arc
cot
x)
1
1 x2
dx
8、 微分的基本法则
函数和、差、积、商的微分法则
1 e2x
(3).
y'
1 x2 x 2x 2 1 x2
1 x2
1 3;
1 x2 2
(4). 当x 0时，y' cos x;
当x 0时，y' 1 ; 1 x
当x 0时,
y' (0)
lim
x0
ln(1
x) x
ln(1 0
0)
1;
y' (0)
lim
x0
sin
x
x
ln(1 0
0)
(cos x) sin x
(cot x) csc2 x
(csc x) csc xctgx
(e x ) e x
(ln x) 1 x
(arccos x) 1 1 x2
(arc
cot
x
)
1
1 x
2
3、求导法则
(1) 函数的和、差、积、商的求导法则
设u u( x),v v( x)可导，则
f (x) x
f (x0 ) x0
lim
x 0
f (x0
x) x
f (x0 );
2.右导数:
f( x0 )
lim
x x0 0
f (x) x
f (x0 ) x0
lim
x 0
f (x0
x) x
f (x0 );
函数 f ( x)在点x0 处可导 左导数 f( x0 ) 和右 导数 f( x0 )都存在且相等.
f
( x),
y
,
d3 dx
y
3
.
一般地,函数f ( x)的n 1阶导数的导数称为
函数f ( x)的n阶导数,记作
f
(n) ( x),
y(n) ,
dny dx n
或d
n f (x) dx n .
5、微分的定义
定义设函数y f ( x)在某区间内有定义, x0及x0 x 在这区间内, 如果 y f ( x0 x) f ( x0 ) A x o(x) 成立(其中A是与x无关的常数),则称函数y f ( x) 在点x0可微,并且称A x为函数y f ( x)在点x0相应 于自变量增量x的微分, 记作dy x x0 或df ( x0 ),即
dt dx
(t); (t )
dt
d2y dx2
(
t
)
(t) ( 3(t)
t
)
(t
)
.
4、高阶导数 (二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数)
二阶导数 ( f ( x)) lim f ( x x) f ( x) ,
x0
x
记作
f
( x),
y,
d2y或d dx 2
2 f (x dx 2
)
.
二阶导数的导数称为三阶导数,
（1）(u v) u v, （2）(cu) cu ( c 是常数),
（3）(uv) uv uv,
（4）( u )
v
uv v2
uv
(v
0) .
(2) 反函数的求导法则
如果函数x ( y)的反函数为y f ( x),则有
f
(
x)
1 ( x)
.
(3) 复合函数的求导法则
设y f (u),而u ( x)则复合函数y f [( x)]的导数为 dy dy du 或 y( x) f (u) ( x). dx du dx
(4) 对数求导法 先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法 求出导数. 适用范围: 多个函数相乘和幂指函数u( x)v( x)的情形.
(5) 隐函数求导法则
用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
(6) 参变量函数的求导法则
若参数方程
x y
(t (t
)确定y与x间的函数关系, )
dy
dy dx
1;
cos x,
x 0,
所以
y' 1,
x 0,
1
,
1 x
x 0.
例2 按要求求导数:
(1). y y( x)由方程x2 y2 4xy 0隐式确定,求y".
(2). y
y( x)由参数方程 x y
a cos3 t确定,求y". a sin3 t
(3). y
d(C) 0
d ( x ) x1dx
d(sin x) cos xdx
d(cos x) sin xdx
d(tan x) sec2 xdx d(cot x) csc2 xdx
d(sec x) sec x tan xdx d(csc x) csc x cot xdx
d(a x ) a x ln adx
(2). y ln e x 1 e 2 x ;
x
(3). y
;
1 x2
sin x,
x 0,
(4). y ln( 1 x), x 0.
解 (1). y'
cos x
cos x ;
1 sin2 x cos x
(2).
y'
e x 2e2 x
2 1 e2x
ex 1 e2x
ex ;
d(u v) du dv d(uv) vdu udv 微分形式的不变性
d(Cu) Cdu
u vdu udv
d( ) v
v2
无论x是自变量还是中间变量,函数y f ( x) 的微分形式总是 dy f ( x)dx
二、典型例题
例1 求下列函数的导数:
(1). y arcsin sin x;
2、基本导数公式（常数和基本初等函数的导数公式）
(C ) 0
(sin x) cos x
(tan x) sec2 x
(sec x) sec xtgx
(a x ) a x ln a
(loga
x )
1 x ln a
(arcsin x) 1 1 x2
(arctan
x
)
1
1 x
2
( x ) x1
第二章 导数与微分 习题课
一、主要内容
关 系
dy dx
y
dy
ydx
y
dy
o(x)
导数
y lim x0 x
基本公式 高阶导数
微分
dy yx
求导法则
1、导数的定义
y
x x0
Hale Waihona Puke Baidu
y lim x0 x
lim
x 0
f (x0
x) x
f (x0 ) .
单侧导数
1.左导数:
f( x0 )
lim
x x0 0
dy x x0 A x.
微分dy叫做函数增量y的线性主部. (微分的实质)
6、导数与微分的关系
定理 函数f ( x)在点x0可微的充要条件是函数f ( x) 在点x0处可导,且 A f ( x0 ).
7、 微分的求法
dy f ( x)dx 求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分.
基本初等函数的微分公式