一般周期函数的傅里叶级数

− +
级数收敛于 0
展开成余弦级数的方法： 展开成余弦级数的方法： 首先， 进行偶延拓， 首先，将 f ( x ) 进行偶延拓， 将它拓广 然后， 为 [− l , l ] 上的偶函数 F ( x ) ； 然后， F ( x ) 将 展开成傅氏级数(余弦级数 ；最后， 展开成傅氏级数 余弦级数)；最后， 余弦级数 再将 x 限制在 [0, l ] 上， 就得到 f ( x ) 的余弦级数 展开式。 展开式。 即：
按(4) 式求出 an , 从而得到 f ( x ) 的余弦级数
a0 ∞ nπ x + ∑ a n cos 2 n =1 l
在点 x ∈ (0, l ) ， x 是 f ( x ) 的连续点时， 的连续点时， 级数收敛于 f ( x )
x 是 f ( x ) 的间断点时， 的间断点时， 级数收敛于 f ( x ) + f ( x ) 2 在端点 x = 0 ，级数收敛于 f (0+ )
按(3) 式求出 bn , 从而得到 f ( x ) 的正弦级数
nπx ∑ bn sin l n =1
∞
在点 x ∈ (0, l ) ， x 是 f ( x ) 的连续点时， 的连续点时， 级数收敛于 f ( x ) ；
x 是 f ( x ) 的间断点时， 的间断点时， 级数收敛于 f ( x ) + f ( x ) 2 在端点 x = 0, l ，
傅氏系数： 计算 傅氏系数：∵ 2l = 4 ∴ l = 2
1 2 nπ x dx an = ∫− 2 f ( x ) cos 2 2 nπ x 1 0 n x + ∫ 2 k ⋅ cos π dx ] [ ∫− 2 0 ⋅ cos = dx 0 2 2 2 n≠0 k 2 nπ x 2 sin ⋅ = |0 2 2 nπ
按公式(4)得 按公式 得： nπx 2
2 x2 3 2 3 2 3 |0 = 3 a0 = ∫0 f ( x)dx = ∫0 xdx = ⋅ 3 2 3 3
∴ 余弦级数为
=
a0 ∞ nπ x + ∑ a n cos 2 n =1 3
3 ∞ 6 nπx n [(−1) −1]cos +∑ 2 n=1 n2π 2 3
k
−4
y
f ( x)
−2
o
2
4
x
f ( x ) 满足收敛定理的条件， 满足收敛定理的条件，
处间断， 它在点 x = 2m ( m = 0,±1,±2,...) 处间断， 在其它点处连续。 在其它点处连续。 由收敛定理， ∴ 由收敛定理，得 当 x = 2 m 时， 傅氏级数收敛于 k k+0 ≠ f ( 2m ) = 2 2 当 x ≠ 2m 时，傅氏级数收敛于 f ( x )
π
1 π
∫ −π F ( t ) cos ntdt =
t=
∫ −π F ( t ) sin ntdt = π
1 π
π
l
x
证毕。 即(1)(2)式。 证毕。 式
说明 (1) 当 f ( x ) 在 ( − l , l ) 上是奇函数时， 上是奇函数时，
an = 0 , ( n = 0,1,2,...) nπx 2 l bn = ∫ 0 f ( x)sin dx l l
余弦级数收敛于 f ( x ) ∴ 当 x ∈ (0,3) 时， 在端点 x = 0 ， 余弦级数收敛于 f (0+ ) = 0 = f (0) 在端点 x = 3， f ( 3 − ) = 3 = f ( 3) 余弦级数收敛于
求 an
2 3 nπx 3 a n = ∫0 f ( x)cos dx = ∫0 x cos dx 3 3 3 3 n ≠ 02 3 3 nπx = ∫ xd( sin ) 0 3 nπ 3 2 3x nπx 3 3 3 nπx sin )|0 − ∫0 sin dx] = [( 3 nπ 3 nπ 3 2 3 3 nπx 3 = 3 ⋅ nπ ⋅ nπ cos 3 |0 6 = 2 2 [cos nπ −1] nπ 6 n = 2 2 [(−1) −1] , ( n = 1,2,...) nπ
l
x 是 f ( x ) 的连续点
∵ y = F (t ) 由 y = f ( x ) 与 x = l t 复合而成 π ∴ x 是 f ( x ) 的连续点 t 是 F ( t ) 的连续点
即：
t 是 F ( t ) 的连续点
⇔ x 是 f ( x)的连续点
∴ 将t =
πlΒιβλιοθήκη x 代入 (*)式，得 式
n
∞
∞
}
( x ≠ 2m , m = 0 , ± 1 ,±2 , ...)
展开成余弦级数. 例2 将函数 f ( x ) = x , (0 ≤ x ≤ 3) 展开成余弦级数 解 令 l=3， 偶延拓. 将 f ( x ) 偶延拓
f ( x ) 在 (0,3) 上连续
−3
o
y
f ( x) = x
x
3
nπx ∑ bn sin l n =1
∞
, (n = 1,2,...) (3)
奇函数的傅氏级数是正弦级数
其中， 其中，bn 按(3)式计算。 式计算。 式计算
当 f ( x ) 在 ( − l , l ) 上是偶函数时， 上是偶函数时，
nπx 2 l an = ∫ 0 f ( x)cos dx , (n = 0,1,2,...) (4) l l
∴ f ( x ) 的傅氏级数为： 的傅氏级数为：
nπ x a0 nπ x ) + bn sin + ∑ (an cos 2 2 2 n =1 nπ x k[1 − ( −1) ] nπx k sin + + ∑ {0 ⋅ cos = 2 nπ 2 2 n =1 ∞ k k[1 − ( −1)n ] nπx sin + ∑ = 2 nπ 2 n =1 ∞ k k[1 − ( −1) n ] nπx sin ∴ f ( x) = + ∑ 2 nπ 2 n =1
∞
其中
an =
bn =
(*)
∫ −π F ( t ) cos ntdt , ( n = 0,1,2,...) π
∫ −π F ( t ) sin ntdt , ( n = 1,2,...) π
1 π
1 π
y = f ( x ) 由 y = F (t ) 与 t = π x 复合而成 ∵
∴ t 是 F (t ) 的连续点
(1) 当 x 为连续点时，级数收敛于 f ( x ) 为连续点时，
−
f (x )+ f (x ) (2) 当 x 为间断点时，级数收敛于 为间断点时， 2
+
其中 an = 1 ∫l f ( x)cos nπxdx , (n = 0,1,2,...) (1) −l
l l 1 l nπx , (n = 1,2,...) (2) bn = ∫ −l f ( x)sin dx l l
按(1)、(2)式求出 an , bn , 从而得到 f ( x ) 的 、 式求出 傅氏级数
a0 ∞ nπ x nπ x ) + ∑ (a n cos + bn sin 2 n =1 l l
在点 x ∈ ( − l , l ) ， x 是 f ( x ) 的连续点时， 的连续点时， 级数收敛于 f ( x ) ；
= 0
, ( n = 1,2,...)
1 2 a0 = ∫ f ( x )dx 2 −2 1 0 2 = [ ∫− 2 0 dx + ∫0 k dx ] = 1 ⋅ 2k = k 2 2
1 2 nπ x dx bn = ∫− 2 f ( x ) sin 2 2 nπ x 1 0 nπ x 2 dx + ∫ k ⋅ sin = [ ∫− 2 0 ⋅ sin dx ] 0 2 2 2 1 2 nπ x dx = ∫0 k ⋅ sin 2 2 = k ⋅ 2 ∫ 2 sin nπx d ( nπx ) 2 nπ 0 2 2 k nπ x 2 ( − cos ) |0 = nπ 2 k = nπ ( − cos nπ + 1) k [1 − ( −1)n ] , ( n = 1,2,...) = nπ
−
x 是 f ( x ) 的间断点时， 的间断点时， 级数收敛于 f ( x ) + f ( x ) 2 在端点 x = ± l ，
f ( l − ) + f ( −l + ) 级数收敛于 2
+
(3) 若 f ( x ) 只在 [0, l ] 上有定义， 且满足收敛 上有定义， 定理的条件， 可将它展开成正弦级数和余弦 定理的条件， 级数。 级数。 展开成正弦级数的方法： 展开成正弦级数的方法： 首先， 进行奇延拓， 首先， f ( x ) 进行奇延拓， 将它拓广 将 然后， 为 [− l , l ] 上的奇函数 F ( x ) ； 然后， F ( x ) 将 展开成傅氏级数(正弦级数 ；最后， 展开成傅氏级数 正弦级数)；最后， 正弦级数 再将 x 限制在 [0, l ] 上， 就得到 f ( x ) 的正弦级数 展开式。 展开式。 即：
a0 ∞ + ∑ (a n cos nt + bn sin nt ) ∴ F (t ) 的傅氏级数 2 n =1
上收敛， 在 ( −∞ ,+∞ ) 上收敛，且
, t连续点 F (t ) a0 + ∑ (a n cos nt + bn sin nt ) = F (t − ) + F (t + ) 2 n =1 , t间断点 2
证
作换元 t =
π
l
x ，则在此变换下
π
t
t=
π
l
区间 − l ≤ x ≤ l 变为
x
区间 − π ≤ t ≤ π
l
∆
−l
∴ f ( x ) = f ( t ) = F (t ) x π O l 可以验证： 可以验证： F (t )是周期为 2π 的周期函数 ∵ − π F ( t + 2π ) = f [ l ( t + 2π )] = f [ l t + 2l ] π π l = f ( t ) = F (t ) π
§8 一般周期函数的傅里叶级数
一、 周期为 定理
2l
的周期函数的傅里叶级数
的周期函数， 设 f ( x ) 是周期为 2l 的周期函数，
且满足收敛定理的条件， 且满足收敛定理的条件， 则它的傅里叶级数
a0 ∞ nπ x nπx 在( −∞ ,+∞ ) 上收敛,且 上收敛 且 ) + ∑ (a n cos + bn sin 2 n =1 l l
a0 ∞ nπ x nπ x ) + ∑ (a n cos + bn sin 2 n =1 l l
其中
an = bn =
= f ( x− ) + f ( x+ )
2
t=
f ( x)
, x 是 f ( x )的连续点 ,
π
l x
x 是 f ( x )的间断点
1 l nπ x ∫ − l f ( x ) cos l dx l 1 l nπ x ∫ − l f ( x ) sin l dx l
bn = 0 , ( n = 1,2,...)
偶函数的傅氏级数是余弦级数
a0 ∞ nπ x + ∑ a n cos l 2 n =1
其中，an 按(4)式计算。 其中， 式计算。 式计算
(2) 若 f ( x ) 只在 [− l , l ] 上有定义， 且满足收敛 上有定义， 定理的条件， 也可将它展开为傅氏级数。 定理的条件， 也可将它展开为傅氏级数。 方法：首先， 进行周期延拓， 方法：首先， f ( x ) 进行周期延拓，将它 将 拓广为周期为 2l 的周期函数 F ( x ) ； 然后 展开成傅氏级数； 最后， 将 F ( x )展开成傅氏级数； 最后，再将 x 限制在 [− l , l ] 上， 就得到 f ( x ) 的傅氏级数 展开式。 展开式。即：
3 ∞ 6 nπx n ∴ f ( x) = + ∑ [(−1) −1]cos 2 n=1 n2π 2 3
, x ∈[0,3]
例3 将函数 f ( x ) = 10 − x ,5 ≤ x ≤ 15 展开成 为周期的傅氏级数。 以 10 为周期的傅氏级数。 π 解 令 t = x − 2π ，则在此变换下， 则在此变换下，
x = l ，级数收敛于 f (l − )
− +
的周期函数， 例1 设 f ( x ) 是周期为 4 的周期函数， 它在
[−2,2) 上的表达式为 −
0, − 2 ≤ x < 0 f ( x) = k , 0 ≤ x < 2
(常数k ≠ 0)
将 f ( x ) 展开成傅氏级数。 展开成傅氏级数。 解