角动量、角动量守恒定律的分析

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4. 求质量 m ,半径 R 的球体对直径的转动惯量
解：以距中心 r ，厚 dr 的球壳
R
dr
r
为积分元
o
dV 4r 2dr
m
m 4 R3
3
dJ
2 3
dm r 2
2mr 4dr R3
dm dV
J
R
dJ
0
2mr 4dr R3
2 5
mR2
注意： 对同轴的转动惯量才具有可加减性。
直于杆，分别过杆的中点和一端端点的轴的转动惯量。
解：(1) 轴过中点
dm
x
L2
ox
L 2
L
J
r 2dm
m L
1 3
L3 8
L
x2dm
x 2 2
L
L3 8
1 12
2
mL2
m dx L
m L
1 3
x3
2 L
2
(2) 轴过一端端点
dm
o
x
Lx
J r2dm x2dm L x2 mdx 0L m 1 x3 L 1 mL2 L3 0 3
o r m p
p
or
* 质点对某参考点的角动量反映质点绕该参考点旋
转运动的强弱。
*必须指明参考点，角动量才有实际意义。
2. 质点系角动量
L
系i统L内i vr所ii 有i vr质rcci 点 rvp对iii 同 无一有i'：'参：r对i对考参质考点m心点i角vi 动o量r1pr的c1 矢crrp量2ir2i和
i
i
i
式中 J ri2mi
i
刚体对轴的转动惯量
对质量连续分布的刚体：
dLo r dmv dLz r dmv dmr2
z
o r v dm
刚体对z轴的总角动量为：
Lz dLz r 2dm r 2dm J
式中 J r 2dm 刚体对轴的转动惯量
二、刚体对轴的转动惯量
1. 定义 J ri2mi
1. 质点的角动量 L r p r mv
大小：
L rmv sin r p pr
方向：右手螺旋法则
垂 直 于r和p组 成 的 平 面 ， 服从右手定则。
m
p p
r
r
o
z
L
y
o
r
r
m
p p
设m作直线运动
以o为参考点：L 0
以o为参考点：L 0 若r、p大小相同，则：p ，L
mi ri 2
即
Lio
mi ri2
定义：质点 mi 对 o 点的角动量的大小，称为质
点对转轴的角动量。
Liz r mivi miri2
刚体定轴转动的特点：
(1) 质点均在垂直于转轴的转动平面内，作半径不
(2)
同的圆周运动； 各质点的角速度
大小相等，且均沿轴向。
刚体对 z 轴的总角动量为：
Lz Liz ri2mi ri2mi J
练习
与刚体总质量有关 与刚体质量分布有关 与转轴的位置有关
1. 由长l 的轻杆连接的质点如图所示，求质点系 对过A垂直于纸面的轴的转动惯量
J 2ml2 3m(2l)2 (4m 5m)( 2l)2 32ml2
4m
l
m
2m 3m
Al
l
l
5m
2. 一长为 L 的细杆，质量 m 均匀分布 ，求该杆对垂
ppi i
mi
L
rc
ri
mivi
i
rc
mivi
ri mi vc vi
i
i
rc
mivi
ri
mivc
ri mivi
i
i
i
由 M mi
i
vc
mivi
i
M
rc
miri i 0 M
第一项： rc mivi rc Mvc
i
即将质点系全部质量集中于质心处的一个质点上， 该质点对参考点的角动量
i
刚体对定轴的转动惯量等于其各质点的质量与该 质点到转轴距离的平方之积求和。
若质量连续分布，则
J r 2dm
J r 2dm 积分元选取：
dl 线密度： , 线元：dl
dm
dS dV
面密度： , 面元：dS 体密度： , 体元：dV
dm dm
dm
2. 计算 J ri2mi
i
刚体对轴的转动惯量 J
L轨道
L自旋
i
L自旋
L轨道
L
L轨道
L自旋
3. 定轴转动刚体的角动量
转轴 z 角速度
刚体上任一质点 mi
z
转动 平面
转轴与其转动平面交点
o o
mi 绕 圆周运动半径为 ri
mi
对o 的角动量： Lio
ri
mivi
o ri
vi
mi
Lio
方 大向 小： ：L沿io
ri mi vi
第五章 角动量 角动量守恒定律
角动量
转动 惯量
角动量 变化率
力矩
角动量 定理
角动量守 空间旋转 恒定律 对称性
刚体定轴转动定律
重要性：中学未接触的新内容 大到星系，小到基本粒子都有旋转运动； 微观粒子的角动量具有量子化特征； 角动量遵守守恒定律，与空间旋转对称性相对应。
§5.1 角动量 转动惯量 力矩
一、角动量
问题：将一绕通过质心的固定轴转动的圆
盘视为一个质点系，系统总动量为多少？
p总 MvC 0

C
M
由于该系统质心速度为零，所以，系统总动量为零， 系统有机械运动，总动量却为零？
说明不宜使用动量来量度转动物体的机械运动量。
*引入与动量 p对应的角量
L——角动量（动量矩）
动量对参考点（或轴）求矩
同轴圆柱
r1 r2
m2
o
m1
Jz J2 J1
m2r22 m1r12
2
2
z
空心圆盘
m1 r1 m2 r2
Jz J2 J1 m2r22 m1r12 22
平行轴定理
J D JC md 2
正交轴定理
z
o x
y
d
m
D
C
对平面刚体
Jz Jx Jy
一些均匀刚体的转动惯量表
练习 求长 L、质量 m 的均匀杆对 z 轴的转动惯量
z
解一：
A
mB
L4 o C
L
Jz
l 2dm 3L 4 m l 2dl 7 mL2
L 4 L
48
解二：
Jz
J oA
J oB
1 3
m 4
L 4
2
1 3
3m 4
3L 4
2
7 48
mL2
解三：
Jz
JC
m
L 4
2
描述质点系整体绕参考点的旋转运动： L轨道
第二项：
ri
mi
vc
mi
ri
vc
Mrc
vc
0
i
i
质心对自己的位矢
第三项： ri mivi 各质点相对于质心角动量的矢量和
i
反映质点系绕质心的旋转运动，与参考点的选择无关，
描述系统的内禀性质： L自旋
于是
L rc Mv c
ri
mivi
3. 求质量 m ,半径 R 的球壳对直径的转动惯量
dl r
R
d
o
m
解：取离轴线距离相等的点的
dm
集合为积分元
ds 2rdl 2Rsin Rd
m
4R 2
dm ds 1 msind
2
dJ r 2dm Rsin 2 dm 1 mR2sin3d
2
J dJ 1 mR2sin3d 2 mR2