求值域的十种方法

求函数值域的十种方法
一．直接法（观察法）：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例 1 ．求函数的值域。

【解析】∵ ，∴ ，∴函数的值域为。

【练习】
1 ．求下列函数的值域：
① ；② ；
③ ；，。

【参考答案】① ；② ；③ ；。

二．配方法：适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。

形如
的函数的值域问题，均可使用配方法。

例 2 ．求函数（）的值域。

【解析】。

∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ 。

∴函数（）的值域为。

例 3 ．求函数的值域。

【解析】本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不妨设：
配方得：利用二次函数的相关知识得，从而得出：。

说明：在求解值域 ( 最值 ) 时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为：。

例 4 ．若，试求的最大值。

【分析与解】本题可看成第一象限内动点在直线上滑动时函数的最大值。

利用两点，确定一条直线，作出图象易得：
， y=1 时，取最大值。

【练习】
2 ．求下列函数的最大值、最小值与值域：
① ；② ；③ ；
④ ；，；。

【参考答案】① ；② ；③ ；④ ；；
三．反函数法：反函数的定义域就是原函数的值域，利用反函数与原函数的关系，求原函数的值域。

适用类型：分子、分母只含有一次项的函数 ( 即有理分式一次型 ) ，也可用于其它
易反解出自变量的函数类型。

例 5 ．求函数的值域。

分析与解：由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型，易反解出，从而
便于求出反函数。

反解得，故函数的值域为。

【练习】
1 ．求函数的值域。

2 ．求函数，的值域。

【参考答案】 1 ．；。

四．分离变量法：
适用类型 1 ：分子、分母是一次函数的有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。

例 6 ：求函数的值域。

解：∵ ，
∵ ，∴ ，∴函数的值域为。

适用类型 2 ：分式且分子、分母中有相似的项，通过该方法可将原函数转化为为( 常数 ) 的形式。

例 7 ：求函数的值域。

分析与解：观察分子、分母中均含有项，可利用分离变量法；则有。

不妨令：从而。

注意：在本题中若出现应排除，因为作为分母 . 所以故。

另解：观察知道本题中分子较为简单，可令，求出的值域，进而可得到的值域。

【练习】
1 ．求函数的值域。

【参考答案】 1 ．
五、换元法：对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数，可以考虑通过换元的方法将原函数转化为简单的熟悉的基本函数。

其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，当根式里是一次式时，用代数换元；当根式里是二次式时，用三角换元。

例 8 ：求函数的值域。

解：令（），则，∴ 。

∵当，即时，，无最小值。

∴函数的值域为。

例 9 ：求函数的值域。

解：因，即。

故可令，∴。

∵ ，，
故所求函数的值域为。

例 10 . 求函数的值域。

解：原函数可变形为：
可令 X= ，则有
当时，
当时，
而此时有意义。

故所求函数的值域为
例 11. 求函数，的值域。

解：
令，则
由
且
可得：
∴当时，，当时，
故所求函数的值域为。

例 12. 求函数的值域。

解：由，可得
故可令
∵
当时，
当时，
故所求函数的值域为：
六、判别式法：把函数转化成关于的二次方程；通过方程有实数根，
判别式，从而求得原函数的值域，形如（、不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解。

例 13 ：求函数的值域。

解：由变形得，
当时，此方程无解；
当时，∵ ，∴ ，
解得，又，∴
∴函数的值域为
七、函数的单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，
求出函数的值域。

例 14 ：求函数的值域。

解：∵当增大时，随的增大而减少，随的增大而增大，
∴函数在定义域上是增函数。

∴ ，
∴函数的值域为。

例 15. 求函数的值域。

解：原函数可化为：
令，显然在上为无上界的增函数
所以在上也为无上界的增函数
所以当 x=1 时，有最小值，原函数有最大值
显然，故原函数的值域为
适用类型 2 ：用于求复合函数的值域或最值。

（原理：同增异减）
例 16 ：求函数的值域。

分析与解：由于函数本身是由一个对数函数（外层函数）和二次函数（内层函数）复合而成，故可令：配方得：
由复合函数的单调性（同增异减）知：。

八、利用有界性：一般用于三角函数型，即利用等。

例 17 ：求函数的值域。

解：由原函数式可得：，可化为：
即
∵
∴
即
解得：
故函数的值域为
注：该题还可以使用数形结合法。

，利用直线的斜率解题。

例 18 ：求函数的值域。

解：由解得，
∵ ，∴ ，∴
∴函数的值域为。

九、图像法（数形结合法）：其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。

例 19 ：求函数的值域。

解：∵ ，
∴ 的图像如图所示，
由图像知：函数的值域为
例 20 . 求函数的值域。

解：原函数可化简得：
上式可以看成数轴上点 P （ x ）到定点 A （ 2 ），间的距离之和。

由上图可知，当点 P 在线段 AB 上时，
当点 P 在线段 AB 的延长线或反向延长线上时，
故所求函数的值域为：
例 21. 求函数的值域。

解：原函数可变形为：
上式可看成 x 轴上的点到两定点的距离之和，
由图可知当点 P 为线段与 x 轴的交点时，，故所求函数的值域为
例 22. 求函数的值域。

解：将函数变形为：
上式可看成定点 A （ 3 ， 2 ）到点 P （ x ， 0 ）的距离与定点到点
的距离之差。

即：
由图可知：（ 1 ）当点 P 在 x 轴上且不是直线 AB 与 x 轴的交点时，如点，则构成，根据三角形两边之差小于第三边，有
即：
（ 2 ）当点 P 恰好为直线 AB 与 x 轴的交点时，有
综上所述，可知函数的值域为：
例 23 、：求函数的值域 .
分析与解：看到该函数的形式，我们可联想到直线中已知两点求直线的斜率的公式
，将原函数视为定点 (2 ， 3) 到动点的斜率，又知动点
满足单位圆的方程，从而问题就转化为求点（ 2 ， 3 ）到单位圆连线
的斜率问题，作出图形观察易得的最值在直线和圆上点的连线和圆相切时取得，从而解得：
点评：本题从函数本身的形式入手，引入直线的斜率，结合图形，从而使问题得到巧解。

例 24 ．求函数的值域。

分析与解答：令，，则，，，
原问题转化为：当直线与圆在直角坐标系的第一象限有
公共点时，求直线的截距的取值范围。

由图 1 知：当经过点时，；
当直线与圆相切时，。

所以：值域为
十：不等式法：利用基本不等式，求函
数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。

例 25. 求函数的值域。

解：原函数变形为：
当且仅当
即当时，等号成立
故原函数的值域为：
例 26. 求函数的值域。

解：
当且仅当，即当时，等号成立。

由可得：
故原函数的值域为：
＊十一、多种方法综合运用：
例 27. 求函数的值域。

解：令，则
（ 1 ）当时，，当且仅当 t=1 ，即时取等号，所以（ 2 ）当 t=0 时， y=0 。

综上所述，函数的值域为：
注：先换元，后用不等式法
例 28. 求函数的值域。

解：
令，则
∴当时，
当时，
此时都存在，故函数的值域为
注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用的有界性。

总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。