求值域的十种方法

求函数值域的十种方法

一．直接法（观察法）：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例 1 ．求函数的值域。

【解析】∵ ，∴ ，∴函数的值域为。

【练习】

1 ．求下列函数的值域：

① ；② ；

③ ；，。

【参考答案】① ；② ；③ ；。二．配方法：适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。形如

的函数的值域问题，均可使用配方法。

例 2 ．求函数（）的值域。

【解析】。

∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ 。

∴函数（）的值域为。

例 3 ．求函数的值域。

【解析】本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不妨设：

配方得：利用二次函数的相关知识得，从而得出：。

说明：在求解值域 ( 最值 ) 时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为：。

例 4 ．若，试求的最大值。

【分析与解】本题可看成第一象限内动点在直线上滑动时函数的最大值。利用两点，确定一条直线，作出图象易得：

， y=1 时，取最大值。

【练习】

2 ．求下列函数的最大值、最小值与值域：

① ；② ；③ ；

④ ；，；。【参考答案】① ；② ；③ ；④ ；；

三．反函数法：反函数的定义域就是原函数的值域，利用反函数与原函数的关系，求原函数的值域。

适用类型：分子、分母只含有一次项的函数 ( 即有理分式一次型 ) ，也可用于其它

易反解出自变量的函数类型。

例 5 ．求函数的值域。

分析与解：由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型，易反解出，从而

便于求出反函数。

反解得，故函数的值域为。

【练习】

1 ．求函数的值域。

2 ．求函数，的值域。

【参考答案】 1 ．；。

四．分离变量法：

适用类型 1 ：分子、分母是一次函数的有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。

例 6 ：求函数的值域。

解：∵ ，

∵ ，∴ ，∴函数的值域为。

适用类型 2 ：分式且分子、分母中有相似的项，通过该方法可将原函数转化为为( 常数 ) 的形式。

例 7 ：求函数的值域。

分析与解：观察分子、分母中均含有项，可利用分离变量法；则有

。

不妨令：从而。

注意：在本题中若出现应排除，因为作为分母 . 所以故。

另解：观察知道本题中分子较为简单，可令，求出的值域，进而可得到的值域。

【练习】

1 ．求函数的值域。

【参考答案】 1 ．

五、换元法：对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数，可以考虑通过换元的方法将原函数转化为简单的熟悉的基本函数。其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，当根式里是一次式时，用代数换元；当根式里是二次式时，用三角换元。

例 8 ：求函数的值域。

解：令（），则，∴ 。

∵当，即时，，无最小值。∴函数的值域为。

例 9 ：求函数的值域。

解：因，即。

故可令，∴

。

∵ ，，

故所求函数的值域为。

例 10 . 求函数的值域。

解：原函数可变形为：

可令 X= ，则有

当时，

当时，

而此时有意义。

故所求函数的值域为

例 11. 求函数，的值域。解：

令，则

由

且

可得：

∴当时，，当时，

故所求函数的值域为。

例 12. 求函数的值域。

解：由，可得

故可令

∵

当时，

当时，

故所求函数的值域为：

六、判别式法：把函数转化成关于的二次方程；通过方程有实数根，

判别式，从而求得原函数的值域，形如（、不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解。

例 13 ：求函数的值域。

解：由变形得，

当时，此方程无解；

当时，∵ ，∴ ，

解得，又，∴

∴函数的值域为

七、函数的单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，

求出函数的值域。

例 14 ：求函数的值域。

解：∵当增大时，随的增大而减少，随的增大而增大，

∴函数在定义域上是增函数。

∴ ，

∴函数的值域为。

例 15. 求函数的值域。

解：原函数可化为：

令，显然在上为无上界的增函数

所以在上也为无上界的增函数

所以当 x=1 时，有最小值，原函数有最大值

显然，故原函数的值域为

适用类型 2 ：用于求复合函数的值域或最值。（原理：同增异减）

例 16 ：求函数的值域。

分析与解：由于函数本身是由一个对数函数（外层函数）和二次函数（内层函数）复合而成，故可令：配方得：

由复合函数的单调性（同增异减）知：

。

八、利用有界性：一般用于三角函数型，即利用等。

例 17 ：求函数的值域。

解：由原函数式可得：，可化为：

即

∵

∴

即

解得：

故函数的值域为

注：该题还可以使用数形结合法。，利用直线的斜率解题。例 18 ：求函数的值域。

解：由解得，

∵ ，∴ ，∴

∴函数的值域为。