《数学史》印度与阿拉伯的数学(上)

(四)婆什迦罗
婆什迦罗是印度古代和中世纪最伟大的数学家和天文学家， 长期在乌贾因负责天文台工作．他有两本代表印度古代数学最 高水平的著作《莉拉沃蒂》(Līlāvatī)和《算法本源》，天文著 作有《天球》和《天文系统之冠》．
婆什迦罗（1114－1188年）
印度古代和中世纪最伟大的数学家、天文学家 婆什迦罗，出生于印度南方的比德尔，成年后来 到乌贾因天文台工作，成为婆多摩笈多的继承者， 后来还做了这家天文台的台长。 古印度数学最高成就《天文系统之冠》（1150年， 中国的南宋时期）和《天球》，还有两部婆什迦 罗的重要数学著作《算法本源》、《莉拉沃蒂》。
4.1.3 “悉檀多时期的印度数学”
悉 檀 多 ( 梵 文 siddhanta ， 原 为 佛 教 因 明 术 语 ， 可 意 译 为 “宗”，或“体 系”)时代是印度数学的繁荣鼎盛时期，其数 学内容主要是算术与代数，出现了一些著名的数学家，如阿利 耶波多(AryabhataⅠ，476一约550)、婆罗摩笈多(Brahmagupta， 598—665) 、 马 哈 维 拉 (Mahavira ， 9 世 纪 ) 和 婆 什 迦 罗 (BhaskaraⅡ，1114一约1185)等．
关于印度的几何
• 婆罗摩笈多曾给出了一个求四边形面积的公式：
S s as bs cs d 其中s 1 a b c d
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
• 婆罗摩笈多定理：
设圆内接四边形的各边依次是 a,b, c, d ，其对角线为m, n
• 则 m2 ab cd ac bd
ad bc
n2 ac bd ad bc
《吠陀》手稿 （毛里求斯，1980）
印度雅利安人 的作品，《绳法 经》出现在吠陀 时代，包含毕达 哥拉斯定理等数 学知识
这些《吠陀》中关于庙宇、祭坛的设计与测量的部分《测绳 的法规》(Sulva sūtrus)，即《绳法经》，大约为公元前8世纪至公 元前2世纪的作品．其中有一些几何内容和建筑中的代数计算问 题．如勾股定理、矩形对角线的性质等。给出了圆周率、根号2 的近似值。
（一）阿耶波多
阿耶波多是现今所知有确切生年的最早的印度数学家，他 只有一本天文数学著作《阿耶波多历数书》(499)传世．该书最 突出的地方在于对希腊三角学的改进和一次不定方程的解法。
阿耶波多把半弦与全弦所对弧 的一半相对应(见图)，成为今天的 习惯，同时他以半径的 作为度 量弧的单位，实际是弧度1 制度量的
数学史讲义
印度与阿拉伯数学
印度与阿拉伯数学
4.1 印度数学
1921—1922年间．印度河流域莫亨佐·达罗、哈拉帕等古代城 市遗址的考古挖掘，揭示了一个悠久的文明，史称“哈拉帕文化” 或“印度河流域文化”．这一文明的创造者是印度土著居民达罗 毗荼人，其历史可以追溯到公元前3000年左右．
如果说希腊数学与其哲学密切相关，那么古代印度数学则更 多地受到其宗教的影响．雅利安人建立的婆罗门教(公元4世纪后 改革为印度教)，以及稍后(公元前6世纪)兴起的佛教、耆那教等， 形成了古代印度数学发展的浓厚的宗教氛围．
耆那教的经典由宗教原理、数学原理、算术和天文等几部分 构成。其中出现了许多计算公式，如圆的周长、弧长等。
4.1.2“巴克沙利手稿”
关于公元前2世纪至公元后3世纪的印度数学；可参考资料也 很少，所幸于1881年在今巴基斯坦西北地区一座叫巴克沙利 (Bakhashali)的村庄，发现了这一时期的书写在桦树皮上的所谓 “巴克沙利手稿”．
●给出椭圆周长近似公式：
C 24b2 16a2.
马哈维拉
• 马哈维拉是印度南部迈索尔人，耆那教教徒，曾在拉 喜特拉库塔王朝(R11strak&ta)的宫廷里生活过很长一 段时间．约公元850年，他撰写了《计算方法纲要》 (Ganitas1rasagraha)一书。该书在印度南部曾被广泛使 用， 11世纪被译成泰卢固语。20世纪初，它被重新发 现．1912年，在马德拉斯译为英文出版．《计算精华》 是印度第一本初具现代形式的数学教科书，现今数学 教材中的一些论题和结构在其中已可见到。
人起初也是用空位表示零，后记成点号，最后发展为圈号. • 后来，印度人又把零作为一个独立的数。 • 摩诃毗罗说：“一个数乘以零得零，加上零、减去零或除以零这个数都
不变.”
关于0的发明
• 婆什迦罗在《算法本源》指出：“被除数为3、除数为0，得 商 ，这个分母为0的分数，称为无限大量。”
• 婆罗摩笈多在《婆罗摩笈多修正体系》中比较完整地叙述了零 的运算法则：“负数减去零是负数；正数减去零是正数；零减 去零什么也没有；零乘负数、正数或零都是零.”
用圆圈符号“0”表示零，可以说是印度数学的一大发 明．在数学上，“0”的意义是多方面的，它既表示“无”的概 念，又表示位值记数中的空位，而且是数域中的一个基本元素， 可以与其他数一起运算．
印度数码在公元8世纪传入阿拉伯国家，后又通过阿拉伯人 传至 欧洲．零号的传播则要晚，不过至迟在13世纪初，斐波那契 《算经》中已有包括零号在内的完整印度数码的介绍．印度数码 和十进位值制记数法被欧洲人普遍接受之后，在欧洲近代科学的 进步中扮演了重要的角色．
“阿耶波多号”人 造卫星
（印度，1975）
最早的印度数学 家：阿耶波多（476 －约550年）
499年《阿耶波多 历书》(圣使天文书)
π的近似值3.1416
(二)婆罗摩笈多
婆罗摩笈多的两部天文著作《婆罗摩修正体系》 (628)和《肯德卡迪亚格》(约665)，都含有大量的数 学内容，其代数成就十分可贵．
婆罗摩笈多（598－约665年）
在这段时间（中国的隋唐时期），整个世界（无论 东方还是西方）都没有产生一个大数学家。婆罗摩笈多 出生在印度的7大宗教圣城之一的乌贾因，并在这里长大。 婆多摩笈多成年以后，一直在故乡乌贾因天文台工作， 在望远镜出现之前，它可谓是东方最古老的天文台之一。 628年发表天文学著作《婆罗摩修正体系》（宇宙的开 端），这是一部有21章的天文学著作，其中第12、18章 讲的是数学，分数成就十分可贵，比较完整地叙述了零 的运算法则，丢番图方程求解的“瓦格布拉蒂”法，即 现在所谓的佩尔（英，1611－1685年）方程的一种解法。 他还著有《肯德卡迪亚格》（约665年）
ab cd
mn ac bd
关于印度的三角
• 把圆分成360度或21600分，改进托勒密把直径分
为120等分，而且把半径120等分。用单位弧长度
量半径，即2r 21600 ，得
r 21600 21600 3438
2 2 3.1416
• 把半弦与全弦所对弧的一半相对应。
3438
开始．他还给出了第一象限内间隔 为3º45’的正弦差值表．
阿耶波多最大贡献是建立了丢番图方程求解的所谓 “库塔卡”(kuttaka，原意“粉碎”)方法，采用辗转相除 法的演算程序，接近于连分数算法．
阿耶波多（公元476－约550年）
印度科学史上有重要影响的人物，是最早的印度 数学家，499年天文学著作《阿耶波多历数书》（圣 使天文书）传世（相当于祖冲之《缀术》的年代）， 最突出之处在于对希腊三角学的改进,制作正弦表 （sine一词由阿耶波多称为半弦的jiva演化而来）， 和一次不定方程的解法。阿耶波多获得了π的近似值 3.1416（与刘徽所得的近似值相当），建立了丢番图 方程求解的“库塔卡”（原意为“粉碎”）法。
4.1.1古代《绳法经》
印度数学最早有可考文字记录的是吠陀时代，其数学材料混 杂在婆罗门教的经典《吠陀》当中，年代很不确定．吠陀即梵文 veda，原意为知识、光明。《吠陀》内容包括对诸神的颂歌、巫 术的咒语和祭祀的法规等，这些材料最初由祭司们口头传诵，后 来记录在棕榈叶或树皮上．
吠陀时期（公元前10－前3世纪）
实际上这一公式只 适用于圆内接四边形，婆罗摩笈多未意 识到这一点，后来马哈维拉，由这一公式出发将三角形视为有 一边为零的四边形，得到了海伦公式。
(三)马哈维拉
7世纪以后，印度数学出现了沉寂，到9世纪才又呈现出繁 荣．如果说7世纪以前印度的数学成就总是与天文学交织在一起， 那么9世纪以后发生了改变．
《吠陀》（梵文，意为知识、光明）是印度雅利 安人的作品，成书于公元前15－前5世纪，历时1000年左
右，婆罗门教的经典，其中的《绳法经》（前8－前2世 纪）是《吠陀》中关于庙宇、祭坛的设计与测量的部分。
释迦牟尼（公元前565－公元前486年）传扬佛教时期， 佛教是古印度的迦毗罗卫国（今尼泊尔境内）王子乔达 摩·悉达多所创，因父为释迦族，得道后被尊称为释迦 牟尼也就是“释迦族的圣人”的意思，门徒称他为佛）， 包含几何、代数知识，如毕达哥拉斯定理、圆周率的近 似值等。
有一块公元76年的石碑，因存于印度中央邦西北地区的瓜 廖尔(GwMior)城而以瓜廖尔石碑著称，上面已记有明白无疑的 数“0”．瓜廖尔数系为：
古代印度数学
• 印度－数码阿拉伯数码 • 阿拉伯数字0，1，2，3，4，5，6，7，8，9由印度人
创造的.
关于0的发明
• 印度,0较早出现在巴克沙利手稿中，这是印度数学的一大发明. • 最早的零用来表示记数法中的空位，而没有看作是一个独立的数.印度
婆罗摩笈多（598－约 665年） 628年《婆罗摩修正 体系》(宇宙的开端)
乌贾因天文台
●比较完整地叙述了零的运算法则 ●利用二次插值法构造了间隔为15°的正弦函数表
●获得了边长为 a,b,的c, d四边形的面积公式（有误）：
S ( p a)(p b)(p c)(p d) [ p (a b c d ] / 2]
印 度 地 图
印 度 地 图
古代印度数学
• 印度数学繁荣于公元6世纪到12世纪之间，主要历史 成就：
• （1）包括“零”在内的数码和十进位制记数法。 • （2）运用正弦的三角计算。 • （3）算术与代数
印度数学的发展可以划分为3个重要时期，首先是雅利安人 入侵以前的达罗毗荼人时期(约公元前3000一前1400)，史称河谷 文化；随后是吠陀时期(约公元前10世纪一前3世纪)；其次是悉 檀多时期(5世纪一12世纪)．
《莉拉沃蒂》
第11章为测量问题； 第12章是代数问题，包括不定方程； 第13章是一些组合问题．
●能够熟地使用诸如和差与半角等三角公式 ●能够认识并广泛使用无理数
婆什迦罗《天文系统之冠》
• 著于1150年，分 “应用问题”、“代数”、 “天球”和“行星数学”四篇。书中，他全 面系统地介绍了算术、代数和几何知识，反 映了印度12世纪的记数法，记载了有关自然 数、分数和负数的8种基本运算，收集了有关 利息、商品交换、合金成分、土方、仓库容 积、水利建设等各种与社会、经济活动有关 的数学问题，给出了有关代数、几何、三角 方面的一些成果。
耆那教徒马哈维拉的《计算方法纲要》(The Ganita-SāraSangraha)可以说是一部系统的数学专著，全书有9个部分：(1) 算术术语，(2)算术运算，(3)分数运算，(4)各种计算问题，(5) 三率法(即比例)问题，(6)混合运算，(7)面积计算，(8)土方工程 计算，(9)测影计算．
●给出了一般性的组合数 C公nk 式
婆什迦罗（1114－1188年）
印度数学最高成就 《天文系统极致》
《莉拉沃蒂》
“婆什迦罗号”人 造卫星（印度第二
颗卫星） （1979）
《莉拉沃蒂》
《莉拉沃蒂》共有13章： 第1章给出算学中的名词术语； 第2章是关于整数、分数的运算，包括加、减、乘、除、平方、 开平方、立方、开立方等； 第3章论各种计算法则和技巧； 第4章关于利率等方面的应用题； 第5 章数列计算问题，主要是等差数列和等比数列； 第6章关于平面图形的度量计算； 第7至10章关于立体几何的度量计算；
其数学内容十分丰富，涉及到分数、平方根、数列、收支与 利润计算、比例算法、级数求和、代数方程等，其代数方程包括 一次方程、联立方程组、二次方程．特别值得注意的是手稿中使 用了一些数学符号 :
（1）减号：“12-7”记成“12 7+”．
（2）零号：用点表示0 ，后来逐渐演变为圆圈 。
巴克沙利手稿中出现了完整的十进制数码 ：