两点间的距离PPT
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优秀老师课件-两点间距离公式
详细描述
已知三角形的三个顶点坐标，我们可以使用两点 间距离公式计算任意两个顶点之间的距离，从而 得到三角形的边长。
求解球面距离
总结词
在地理学中，两点间距离公式可以用于计算地球表面上两点之间的最短路径， 即球面距离。
详细描述
给定地球上两点的经纬度坐标（纬度θ1，经度λ1）和（纬度θ2，经度λ2），我 们可以使用两点间距离公式计算地球表面上这两点之间的最短路径，即球面距 离。
公式推导
利用勾股定理推导
设两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，连接AB，形成一个直角 三角形。根据勾股定理，直角三角形的斜边长（即AB 的距离）为$sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$。
利用向量的模长推导
设向量$overset{longrightarrow}{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)$，则向量$overset{longrightarrow}{AB}$ 的模长为$sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$，即 AB的距离。
证明方法二：利用向量点积
总结词：数学严谨
详细描述：利用向量的点积性质，我们可以推导出两点间距离公式。假设向量$overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)$，则向量的模长即为两点间距离，即$d = |overrightarrow{AB}| = sqrt{(x_2 x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$。
04
两点间距离公式的应用实例
求解线段中点坐标
总结词
利用两点间距离公式，我们可以快速准确地求解线段的中点坐标。
详细描述
已知三角形的三个顶点坐标，我们可以使用两点 间距离公式计算任意两个顶点之间的距离，从而 得到三角形的边长。
求解球面距离
总结词
在地理学中，两点间距离公式可以用于计算地球表面上两点之间的最短路径， 即球面距离。
详细描述
给定地球上两点的经纬度坐标（纬度θ1，经度λ1）和（纬度θ2，经度λ2），我 们可以使用两点间距离公式计算地球表面上这两点之间的最短路径，即球面距 离。
公式推导
利用勾股定理推导
设两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，连接AB，形成一个直角 三角形。根据勾股定理，直角三角形的斜边长（即AB 的距离）为$sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$。
利用向量的模长推导
设向量$overset{longrightarrow}{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)$，则向量$overset{longrightarrow}{AB}$ 的模长为$sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$，即 AB的距离。
证明方法二：利用向量点积
总结词：数学严谨
详细描述：利用向量的点积性质，我们可以推导出两点间距离公式。假设向量$overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)$，则向量的模长即为两点间距离，即$d = |overrightarrow{AB}| = sqrt{(x_2 x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$。
04
两点间距离公式的应用实例
求解线段中点坐标
总结词
利用两点间距离公式，我们可以快速准确地求解线段的中点坐标。
详细描述
2.3.2两点间的距离公式(教学课件)-高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册
为AC,另一条小路过点D,问：是否在BC上存在一点M,使得
两条小路AC与DM相互垂直?若存在，求出小路DM的长.
解：以B 为坐标原点，BC,BA 所在直线分别为 x 轴 、y 轴建立如图所示的 平面直角坐标系.
因为 |AD|=5 m,|AB|=3 m,所 以C(5,0),D(5,3),A(0,3). 设点M 的坐标为(x,0),
解得
5.光线从点A(-3,4)射到x轴上，经反射后经过点B(4,10),则反 射光线所在直线的方程为 2x-y+2=0 ,光线从A到B的路线长 度为7√5 解析：由题意知，反射光线过(-3,-4)和(4,10)两点，故斜率为
所以反射光线为 y+4=2(x+3),整理得2x-y+2=0,
光线从A到 B 的路线长度，即为(-3,-4)与(4,10)间的距离，所
[例2] 已知点A(3,6), 在x轴上的点P与点A的距离等于 10,则点P的坐标为(-5,0)或(11,0) 解析：设点P 的坐标为(x,0),
由 |PA|=10得
解得x=11 或x=-5. 所以点P 的坐标为(-5,0)或(11,0).
解 ：法一 因 为
所以|AB|=|AC|,且 |AB|²+|AC|²=|BC|²,所以△ABC是等腰直角三角形.
法二 因 为 所以kAc ·kAB=-1.所以AC⊥AB.
所以|AC|=|AB|.所以△ABC是等腰直角三角形.
方法 总 结
利用两点间距离公式判断三角形形状的方法 已知三个顶点的坐标判断三角形的形状时，利用两点间的距离公式 求三边长，从边长间的关系入手，如果边长相等，则可能是等腰或等 边三角形；如果满足勾股定理，则是直角三角形.
C.直角三角形 D.以上都不是
两条小路AC与DM相互垂直?若存在，求出小路DM的长.
解：以B 为坐标原点，BC,BA 所在直线分别为 x 轴 、y 轴建立如图所示的 平面直角坐标系.
因为 |AD|=5 m,|AB|=3 m,所 以C(5,0),D(5,3),A(0,3). 设点M 的坐标为(x,0),
解得
5.光线从点A(-3,4)射到x轴上，经反射后经过点B(4,10),则反 射光线所在直线的方程为 2x-y+2=0 ,光线从A到B的路线长 度为7√5 解析：由题意知，反射光线过(-3,-4)和(4,10)两点，故斜率为
所以反射光线为 y+4=2(x+3),整理得2x-y+2=0,
光线从A到 B 的路线长度，即为(-3,-4)与(4,10)间的距离，所
[例2] 已知点A(3,6), 在x轴上的点P与点A的距离等于 10,则点P的坐标为(-5,0)或(11,0) 解析：设点P 的坐标为(x,0),
由 |PA|=10得
解得x=11 或x=-5. 所以点P 的坐标为(-5,0)或(11,0).
解 ：法一 因 为
所以|AB|=|AC|,且 |AB|²+|AC|²=|BC|²,所以△ABC是等腰直角三角形.
法二 因 为 所以kAc ·kAB=-1.所以AC⊥AB.
所以|AC|=|AB|.所以△ABC是等腰直角三角形.
方法 总 结
利用两点间距离公式判断三角形形状的方法 已知三个顶点的坐标判断三角形的形状时，利用两点间的距离公式 求三边长，从边长间的关系入手，如果边长相等，则可能是等腰或等 边三角形；如果满足勾股定理，则是直角三角形.
C.直角三角形 D.以上都不是
2.3.2 两点间的距离公式 (共25张PPT)
求证:|AB|2=|AD|2+|BD|·|DC|.
思路分析:建立适当的直角坐标系,设出各顶点的坐标,应用两点间的距离公式证明.
证明:如图,以BC的中点为原点O,BC所在的直线为x轴,建立直角坐标系.
设A(0,a),B(-b,0),C(b,0),D(m,0)(-b<m<b).
则|AB|2=(-b-0)2+(0-a)2=a2+b2,
)
解析：|AB|＝|AC|＝ 17，|BC|＝ 18，故△ABC 为等腰三角形．
答案：B
5.已知点A(3,6)，在x轴上的点P与点A的距离等于10，则点P的坐标为
________．
[解析] 设点 P 的坐标为(x,0)，由 d(P，A)＝10 得 (x－3)2＋(0－6)2＝10，
解得 x＝11 或 x＝－5.
人教2019 A版 选择性必修 一
第二章
直线和圆的方程
2.3.2 两点间的距离公式
学习目标
1.掌握平面上两点间的距离公式
2.会运用坐标法证明简单的平面几何问题
情境导学
在一条笔直的公路同侧有
两个大型小区,现在计划在公路
上某处建一个公交站点C,以方
便居住在两个小区住户的出行.
如何选址能使站点到两个,
∴B
-2,0
,C
,0
2
|PA|2+|PB|2+|PC|2
,A 0, 3a .设 P(x,y),由两点间的距离公式,得
2
2 2
2 2
=x +
x+2 +y + x-2 +y
52
2
2
=3x +3y - 3ay+ 4
思路分析:建立适当的直角坐标系,设出各顶点的坐标,应用两点间的距离公式证明.
证明:如图,以BC的中点为原点O,BC所在的直线为x轴,建立直角坐标系.
设A(0,a),B(-b,0),C(b,0),D(m,0)(-b<m<b).
则|AB|2=(-b-0)2+(0-a)2=a2+b2,
)
解析：|AB|＝|AC|＝ 17，|BC|＝ 18，故△ABC 为等腰三角形．
答案：B
5.已知点A(3,6)，在x轴上的点P与点A的距离等于10，则点P的坐标为
________．
[解析] 设点 P 的坐标为(x,0)，由 d(P，A)＝10 得 (x－3)2＋(0－6)2＝10，
解得 x＝11 或 x＝－5.
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第二章
直线和圆的方程
2.3.2 两点间的距离公式
学习目标
1.掌握平面上两点间的距离公式
2.会运用坐标法证明简单的平面几何问题
情境导学
在一条笔直的公路同侧有
两个大型小区,现在计划在公路
上某处建一个公交站点C,以方
便居住在两个小区住户的出行.
如何选址能使站点到两个,
∴B
-2,0
,C
,0
2
|PA|2+|PB|2+|PC|2
,A 0, 3a .设 P(x,y),由两点间的距离公式,得
2
2 2
2 2
=x +
x+2 +y + x-2 +y
52
2
2
=3x +3y - 3ay+ 4
两点间的距离公式》课件(北师大版必修
y1)^2+(z2z1)^2)
椭圆面上的两点 间的距离公式：
d=sqrt((x2x1)^2+(y2y1)^2+(z2-
z1)^2)
双曲面面上的两 点间的距离公式：
d=sqrt((x2x1)^2+(y2y1)^2+(z2-
z1)^2)
抛物面上的两点 间的距离公式：
d=sqrt((x2x1)^2+(y2y1)^2+(z2-
两点间的距离公 式
,
汇报人：
添加目录标题
两点间的距离 公式
两点间的距离 公式在几何中 的应用
两点间的距离 公式在解析几 何中的应用
两点间的距离 公式的扩展应 用
添加章节标题
两点间的距离公式
公式推导
● 两点间的距离公式：d=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)
● 推导过程： a. 假设有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2) b. 连接AB，并设AB的长度为d c. 根据勾股定理， AB的平方等于x2-x1的平方加上y2-y1的平方 d. 因此，两点间的距离公式为d=sqrt((x2x1)^2+(y2-y1)^2)
应用：在几何中，垂直平分线常用于证明线段相等、三角形全等等
公式：两点间的距离公式为d=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)，其中(x1,y1)和(x2,y2)为两点 的坐标。
两点间线段的斜率
斜率定义：斜率是描述直线或曲线在某一点的倾斜程度的量
斜率公式：斜率等于两点间的纵坐标差除以横坐标差
● a. 假设有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2) ● b. 连接AB，并设AB的长度为d ● c. 根据勾股定理，AB的平方等于x2-x1的平方加上y2-y1的平方 ● d. 因此，两点间的距离公式为d=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)
椭圆面上的两点 间的距离公式：
d=sqrt((x2x1)^2+(y2y1)^2+(z2-
z1)^2)
双曲面面上的两 点间的距离公式：
d=sqrt((x2x1)^2+(y2y1)^2+(z2-
z1)^2)
抛物面上的两点 间的距离公式：
d=sqrt((x2x1)^2+(y2y1)^2+(z2-
两点间的距离公 式
,
汇报人：
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两点间的距离 公式
两点间的距离 公式在几何中 的应用
两点间的距离 公式在解析几 何中的应用
两点间的距离 公式的扩展应 用
添加章节标题
两点间的距离公式
公式推导
● 两点间的距离公式：d=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)
● 推导过程： a. 假设有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2) b. 连接AB，并设AB的长度为d c. 根据勾股定理， AB的平方等于x2-x1的平方加上y2-y1的平方 d. 因此，两点间的距离公式为d=sqrt((x2x1)^2+(y2-y1)^2)
应用：在几何中，垂直平分线常用于证明线段相等、三角形全等等
公式：两点间的距离公式为d=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)，其中(x1,y1)和(x2,y2)为两点 的坐标。
两点间线段的斜率
斜率定义：斜率是描述直线或曲线在某一点的倾斜程度的量
斜率公式：斜率等于两点间的纵坐标差除以横坐标差
● a. 假设有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2) ● b. 连接AB，并设AB的长度为d ● c. 根据勾股定理，AB的平方等于x2-x1的平方加上y2-y1的平方 ● d. 因此，两点间的距离公式为d=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)
151平面上两点间的距离共17张PPT
第1讲 I 描述m 运动的N 第基1本章概a 念直o 线g 与方程 e
解析 (1)设点A关于直线l的对称点为A'(m,n),
则
n m m
0 2 2 2
2, 2 n
2
0
8
0,
解得 mn 8,2,故A'(-2,8).
因为P为直线l上一点,所以PA+PB=PA'+PB≥A'B,当且仅当B,P,A'三点共线时,PA+
第1讲 I 描述m 运动的N 第基1本章概a 念直o 线g 与方程 e
直线关于点的对称 直线关于点的对称实际上可以转化为点关于点的对称.
直线关于直线的对称 已知直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,求直线l1关于直线l2的对称直线的方程. 如果l1∥l2,则设所求直线的方程为A1x+B1y+m=0(m≠C1),然后在l1上找一点P,求出 点P关于直线l2的对称点P'(x',y'),再代入A1x+B1y+m=0,即可解出m. 如果l1与l2相交,则先找出l1与l2的交点P,然后在l1上确定一点M(不同于交点),找出 这一点关于l2的对称点M',由两点即可确定所求直线的方程.
将(x2,y2)代入直线l的方程得x'2+2y'2-4=0,所以直线l'的方程为x+2y-4=0. 方法技巧 关于对称问题,要充分利用“垂直平分”这个基本条件,“垂直”是 指两个对称点的连线与已知直线垂直,“平分”是指两个对称点连成的线段的中 点在已知直线上,可通过这两个条件列方程组求解.
第1讲 I 描述m 运动的N 第基1本章概a 念直o 线g 与方程 e
两点间的距离公式(上课课件)
人A数学选择性必修第一册
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2．已知点A(－3,4)和B(0，b)，且|AB|＝5，则b＝( A )
A．0或8
B．0或－8
C．0或6
D．0或－6
3 ． 已 知 点 A(1 ， － 5) ， B( － 3 ， － 1) ， 线 段 AB 的 中 点 M ， 则 |OM| ＝ _____1_0____.
D(－b，h)．由两点间的距离公式，得 |AC|＝ －a－b2＋0－h2＝ a＋b2＋h2， |BD|＝ [a－－b]2＋0－h2＝ a＋b2＋h2， 所以|AC|＝|BD|.
人A数学选择性必修第一册
对称问题(2) 1．直线关于点的对称问题 直线l关于点P对称的直线l′满足：
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(1)直线l′与直线l平行；
由距离公式，得
|AE|＝
2c＋a2＋ 23c－02＝ a2＋ac＋c2，
|CD|＝
c＋2a2＋0－ 23a2＝ a2＋ac＋c2，
所以|AE|＝|CD|.
人A数学选择性必修第一册
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2.已知等腰梯形ABCD，建立适当的坐标系，证明：对角线|AC|＝|BD|. 证明：如图，以等腰梯形ABCD的下底AB所在直线为x轴，以AB的中点 O为坐标原点建立平面直角坐标系，设梯形下底|AB|＝2a，上底|CD|＝ 2b，高为h，则A(－a,0)，B(a,0)，C(b，h)，
人A数学选择性必修第一册
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[例3] 已知点A(2，－3)，直线l：x－y＋1＝0.求： (1)直线l关于点A的对称直线l1的方程； (2)直线2x－y－3＝0关于直线l的对称直线l2的方程．
人A数学选择性必修第一册
人教版数学 空间两点间的距离公式 (共16张PPT)教育课件
学习目标
1.了解空间两点间的距离公式的推导过程，初步建 立将空间问题向平面问题转化的意识。 2.掌握空间两点间距离公式及其简单的应用.
新知自学：公式形成与推导：
借助课本P137图4.3-6
探究（一） 空间中的点与坐标原点的距离公式 问题 1:在空间直角坐标系中，坐标轴上的点 A（x，0，0），B（0，y，0）， C（0，0，z），与坐标原点 O 的距离分别是什么？ 问题 2: 在空间直角坐标系中，坐标平面上的点 A（x，y，0），B（0，y，z）， C（x，0，z），与坐标原点 O 的距离分别是什么？ 问题 3:在空间直角坐标系中，设点 P（x，y，z）在 xOy 平面上的射影为 B， 则点 B 的坐标是什么？|PB|,|OB|的值分别是什么？ 问题 4:基于上述分析，你能得到空间任意点 P（x，y，z）与坐标原点 O 的 距离公式吗？
之前有个网友说自己现在紧张得不得了 ，获得 了一个 大公司 的面试 机会， 很不想 失去这 个机会 ，一天 只吃一 顿饭在 恶补基 础知识 。不禁 要问， 之前做 什么去 了？机 会当真 就那么 少？在 我看来 到处都 是机会 ，关键 看你是 否能抓 住。运 气并非 偶然， 运气都 是留给 那些时 刻准备 着的人 的。只 有不断 的积累 知识， 不断的 进步。 当机会 真的到 来的时 候，一 把抓住 。相信 学习真 的可以 改变一 个人的 运气。 在当今社会，大家都生活得匆匆忙忙， 比房子 、比车 子、比 票子、 比小孩 的教育 、比工 作，往 往被压 得喘不 过气来 。而另 外总有 一些人 会运用 自己的 心智去 分辨哪 些快乐 或者幸 福是必 须建立 在比较 的基础 上的， 而哪些 快乐和 幸福是 无需比 较同样 可以获 得的， 然后把 时间花 在寻找 甚至制 造那些 无需比 较就可 以获得 的幸福 和快乐 ，然后 无怨无 悔地生 活，尽 情欢乐 。一位 清洁阿 姨感觉 到快乐 和幸福 ，因为 她刚刚 通过自 己的双 手还给 路人一 条清洁 的街道 ；一位 幼儿园 老师感 觉到快 乐和幸 福，因 为他刚 给一群 孩子讲 清楚了 吃饭前 要洗手 的道理 ；一位 外科医 生感觉 到幸福 和快乐 ，因为 他刚刚 从死神 手里抢 回了一 条人命 ；一位 母亲感 觉到幸 福和快 乐，因 为他正 坐在孩 子的床 边，孩 子睡梦 中的脸 庞是那 么的安 静美丽 ，那么 令人爱 怜。。 。。。 。
数学人教A版选择性必修第一册2.3.2两点间的距离公式课件
直线与圆的方程
2.3.2两点间的距离公式
课程标准
掌握两点间的距离公式，求两点间的距离
复习回顾
问题1 如何求两条直线的交点坐标？
解二元一次方程组，方程组的解就是两条直线的交点坐标
问题2 如何判断两条直线的位置关系？
判断两条直线的位置关系：
（1）求二元一次方程组的解
（2）斜率
（3）图像
新课导入
导
我们上节课学习了如何求两条直线的交点坐标。那两个交点的
垂足分别为M1，M2，则点M1，M2的坐标分别为( ，0)，( ，0).
由(1)得 = − ．所以 = = −
类似地,如果直线 与y轴平行,可以证明 = − .
新知讲解
(3)直线 与轴、y轴都不平行时：
如图，过点 作轴的平行线，过点 作y轴的平行线，两条直线
相交于点Q，则∠=90°，点Q的坐标是( , ).
y
P
= − ，
= − ．
由勾股定理，
2
得 =
=
−
+
O
+ − .
x
坐标距离如何推导与运用坐标距离公式？
教学目标
难点
一
教学
目标
重点
探索并掌握两点距离公式
二
易错点
理解两点间距离公式的推导过程
三
两点距离的求解与应用：利用坐标法求解
几何问题.
新知探究
探究一：两点距离公式的探索与证明
新知讲解
问题1 如图，已知平面内两点 , ， , ，如何求 ，
(2)直线 与坐标轴平行时， = − 或 =
2.3.2两点间的距离公式
课程标准
掌握两点间的距离公式，求两点间的距离
复习回顾
问题1 如何求两条直线的交点坐标？
解二元一次方程组，方程组的解就是两条直线的交点坐标
问题2 如何判断两条直线的位置关系？
判断两条直线的位置关系：
（1）求二元一次方程组的解
（2）斜率
（3）图像
新课导入
导
我们上节课学习了如何求两条直线的交点坐标。那两个交点的
垂足分别为M1，M2，则点M1，M2的坐标分别为( ，0)，( ，0).
由(1)得 = − ．所以 = = −
类似地,如果直线 与y轴平行,可以证明 = − .
新知讲解
(3)直线 与轴、y轴都不平行时：
如图，过点 作轴的平行线，过点 作y轴的平行线，两条直线
相交于点Q，则∠=90°，点Q的坐标是( , ).
y
P
= − ，
= − ．
由勾股定理，
2
得 =
=
−
+
O
+ − .
x
坐标距离如何推导与运用坐标距离公式？
教学目标
难点
一
教学
目标
重点
探索并掌握两点距离公式
二
易错点
理解两点间距离公式的推导过程
三
两点距离的求解与应用：利用坐标法求解
几何问题.
新知探究
探究一：两点距离公式的探索与证明
新知讲解
问题1 如图，已知平面内两点 , ， , ，如何求 ，
(2)直线 与坐标轴平行时， = − 或 =
点到直线的距离公式 PPT教学课件(高二数学人教A版 选必修一)
n
Q
l M(x, y)
由 PM (x x0, y y0) ，n
| PQ || (x x0, y y0) ( A, B) | A2 B2
( A, B) 知， A2 B2
| A(x x0) B( y y0) | A2 B2
| Ax Ax0 By By0 | A2 B2
AC
x0 )2
( ABx0 A2
A2 y0 B2
BC
y0 )2
(
A2
x0 A2
ABy0 B2
AC
)2
高中数学
高中数学
已知
P(x0 , y0 )
和 Q( B2 x0 ABy0 AC , ABx0 A2 y0 BC )，
A2 B2
A2 B2
则 | PQ |
(
B2 x0
ABy0 A2 B2
直线 l : Ax By C 0 的一个方向向量为 a (1, A) ,
B
与直线 l 垂直的一个方向向量可表示为
b (1, B ), 则 n b , 其中，| b |
A
|b|
1 B2 , A2
(1, B )
n A ,
1
B2 A2
( A, B)
所以，n
.
A2 B2
P ( x0, y0 )
高中数学
高中数学
问题2 上述推导过程思路自然，但运算较繁，反思 求解过程，你能发现引起复杂运算的原因吗?
Ax By C 0,
(1)
Bx Ay Bx0 Ay0, (2)
A(x B( x
x0 ) x0 )
B( y A( y
y0 ) y0 )
C 0,
Ax0
Q
l M(x, y)
由 PM (x x0, y y0) ，n
| PQ || (x x0, y y0) ( A, B) | A2 B2
( A, B) 知， A2 B2
| A(x x0) B( y y0) | A2 B2
| Ax Ax0 By By0 | A2 B2
AC
x0 )2
( ABx0 A2
A2 y0 B2
BC
y0 )2
(
A2
x0 A2
ABy0 B2
AC
)2
高中数学
高中数学
已知
P(x0 , y0 )
和 Q( B2 x0 ABy0 AC , ABx0 A2 y0 BC )，
A2 B2
A2 B2
则 | PQ |
(
B2 x0
ABy0 A2 B2
直线 l : Ax By C 0 的一个方向向量为 a (1, A) ,
B
与直线 l 垂直的一个方向向量可表示为
b (1, B ), 则 n b , 其中，| b |
A
|b|
1 B2 , A2
(1, B )
n A ,
1
B2 A2
( A, B)
所以，n
.
A2 B2
P ( x0, y0 )
高中数学
高中数学
问题2 上述推导过程思路自然，但运算较繁，反思 求解过程，你能发现引起复杂运算的原因吗?
Ax By C 0,
(1)
Bx Ay Bx0 Ay0, (2)
A(x B( x
x0 ) x0 )
B( y A( y
y0 ) y0 )
C 0,
Ax0
2025版新教材高中数学第2章两点间的距离公式pptx课件新人教A版选择性必修第一册
2．通过学习两点间的距离，培养逻辑推理和直观想象的数学素养.
必备知识•探新知
知识点 1 两条直线的交点
1．两直线的交点 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.点A(a，b)． (1)若点A在直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0上，则有_A__1a_＋__B_1_b_＋__C_1_＝__0____.
对点训练❷ (1)若不论m取何实数，直线l：mx＋y－1＋2m＝ 0恒过一定点，则该定点的坐标是_____(－__2_,_1_)_____.
(2)直线l过直线x＋y－2＝0和直线x－y＋4＝0的交点，且与直线3x－ 2y＋4＝0平行，求直线l的方程．
[解析] (1)直线 l：mx＋y－1＋2m＝0 可化为 m(x＋2)＋(y－1)＝0，
一组
无数组
直线 l1 与 l2 的公共点的个数 直线 l1 与 l2 的位置关系
一个 __相__交___
__无__数__个___ 重合
__无__解___
零个 __平__行___
做一做：直线x＋y＝5与直线x－y＝3交点坐标是( B )
A．(1,2)
B．(4,1)
C．(3,2)
D．(2,1)
[解析] 解方程组xx－＋yy＝＝35，， 得xy＝ ＝41， ， 因此交点坐标为(4,1)，故
两点间距离公式的应用
3．已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(－3,1)，B(3，－3)， C(1,7)，试判断△ABC的形状．
[分析] 可求出三条边的长，根据所求长度判断三角形的形状．
[解析] 方法一：∵|AB|＝ 3＋32＋－3－12＝ 52， |AC|＝ 1＋32＋7－12＝ 52， |BC|＝ 1－32＋7＋32＝ 104， ∴|AB|＝|AC|，且|AB|2＋|AC|2＝|BC|2. ∴△ABC 是等腰直角三角形． 方法二：∵kAC＝1－7－－13＝32，kAB＝3－－3－ －13＝－23，∴kAC·kAB＝－1. ∴AC⊥AB. 又|AC|＝ 1＋32＋7－12＝ 52， |AB|＝ 3＋32＋－3－12＝ 52， ∴|AC|＝|AB|.∴△ABC 是等腰直角三角形．
必备知识•探新知
知识点 1 两条直线的交点
1．两直线的交点 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.点A(a，b)． (1)若点A在直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0上，则有_A__1a_＋__B_1_b_＋__C_1_＝__0____.
对点训练❷ (1)若不论m取何实数，直线l：mx＋y－1＋2m＝ 0恒过一定点，则该定点的坐标是_____(－__2_,_1_)_____.
(2)直线l过直线x＋y－2＝0和直线x－y＋4＝0的交点，且与直线3x－ 2y＋4＝0平行，求直线l的方程．
[解析] (1)直线 l：mx＋y－1＋2m＝0 可化为 m(x＋2)＋(y－1)＝0，
一组
无数组
直线 l1 与 l2 的公共点的个数 直线 l1 与 l2 的位置关系
一个 __相__交___
__无__数__个___ 重合
__无__解___
零个 __平__行___
做一做：直线x＋y＝5与直线x－y＝3交点坐标是( B )
A．(1,2)
B．(4,1)
C．(3,2)
D．(2,1)
[解析] 解方程组xx－＋yy＝＝35，， 得xy＝ ＝41， ， 因此交点坐标为(4,1)，故
两点间距离公式的应用
3．已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(－3,1)，B(3，－3)， C(1,7)，试判断△ABC的形状．
[分析] 可求出三条边的长，根据所求长度判断三角形的形状．
[解析] 方法一：∵|AB|＝ 3＋32＋－3－12＝ 52， |AC|＝ 1＋32＋7－12＝ 52， |BC|＝ 1－32＋7＋32＝ 104， ∴|AB|＝|AC|，且|AB|2＋|AC|2＝|BC|2. ∴△ABC 是等腰直角三角形． 方法二：∵kAC＝1－7－－13＝32，kAB＝3－－3－ －13＝－23，∴kAC·kAB＝－1. ∴AC⊥AB. 又|AC|＝ 1＋32＋7－12＝ 52， |AB|＝ 3＋32＋－3－12＝ 52， ∴|AC|＝|AB|.∴△ABC 是等腰直角三角形．
两点间的距离公式-PPT课件
A 为原点，以 AB 所在直线为 x 轴建立直角坐 标系．
设|AB|＝m，|AD|＝n， 则 A(0,0)，B(m,0)，C(m，n)，D(0，n)． ∴|AC|＝ m2＋n2， |BD|＝ 0－m2＋n－02＝ m2＋n2. ∴|AC|＝|BD|，即矩形的对角线相等．
高效课堂
•●互动探究
•求平面上两点间距离
∴kAEkBF＝12×(－2)＝－1，即 BF⊥AE.
•●探索延拓
•两点间距离公式的应用
•
已知△ABC的三个顶点坐标是A(1，
－1)，B(－1,3)，C(3,0)．
• (1)判定△ABC的形状；
• (2)求△ABC的面积．
• [探究] 可按照以下流程进行思考：
• [解析] (1)如图，△ABC可能为直角三角形， 下面进行验证
• A．等边三角形 B．直角三角形 • C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 • [答[解案析]] ∵C|AB|＝ 4－22＋3－12＝2 2，
|AC|＝ 0－22＋5－12＝2 5，
|BC|＝ 5－32＋0－42＝2 5，
∴|AC|＝|BC|.
又∵A、B、C 三点不共线，∴△ABC 为等腰三角形．
当堂检测
• A．重合 B．平行 • C．垂直 D．相交但不垂直 • [答案] A
5．直线 y＝2x＋10，y＝x＋1，y＝ax－2 交于一点，则 a
的值是( )
A．1
B．－23
C．23
D．－1
• [答案] C
• 6．过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点， 且平行于直线x－2x－y＝2y＋0的11＝直0 线方程是 ______________.
解得 x＝11 或 x＝－5. ∴点 P 的坐标为(－5,0)或(11,0)．
设|AB|＝m，|AD|＝n， 则 A(0,0)，B(m,0)，C(m，n)，D(0，n)． ∴|AC|＝ m2＋n2， |BD|＝ 0－m2＋n－02＝ m2＋n2. ∴|AC|＝|BD|，即矩形的对角线相等．
高效课堂
•●互动探究
•求平面上两点间距离
∴kAEkBF＝12×(－2)＝－1，即 BF⊥AE.
•●探索延拓
•两点间距离公式的应用
•
已知△ABC的三个顶点坐标是A(1，
－1)，B(－1,3)，C(3,0)．
• (1)判定△ABC的形状；
• (2)求△ABC的面积．
• [探究] 可按照以下流程进行思考：
• [解析] (1)如图，△ABC可能为直角三角形， 下面进行验证
• A．等边三角形 B．直角三角形 • C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 • [答[解案析]] ∵C|AB|＝ 4－22＋3－12＝2 2，
|AC|＝ 0－22＋5－12＝2 5，
|BC|＝ 5－32＋0－42＝2 5，
∴|AC|＝|BC|.
又∵A、B、C 三点不共线，∴△ABC 为等腰三角形．
当堂检测
• A．重合 B．平行 • C．垂直 D．相交但不垂直 • [答案] A
5．直线 y＝2x＋10，y＝x＋1，y＝ax－2 交于一点，则 a
的值是( )
A．1
B．－23
C．23
D．－1
• [答案] C
• 6．过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点， 且平行于直线x－2x－y＝2y＋0的11＝直0 线方程是 ______________.
解得 x＝11 或 x＝－5. ∴点 P 的坐标为(－5,0)或(11,0)．
432空间两点间的距离公式共26张PPT
故 HK＝12、CK＝18.
∴DK＝78.故 H 点坐标为(0，78，12)．
栏目 导引
第四章 圆与方程
知能演练轻松闯关
栏目 导引
第四章 圆与方程
本部分内容讲解结束
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栏目 导引
学习目标
学习导航
第四章 圆与方程
重点难点 重点：在空间坐标系中求出点的坐标，利用空间距离解 决问题． 难点：空间直角坐标系的建立，空间两点间距离公式的 推导．
栏目 导引
第四章 圆与方程
新知初探思维启动
1．空间直角坐标系
空间 直角 坐标 系
以空间一点O为原点，建立三条两两垂直的数 轴__x_轴___，__y_轴___，__z_轴___，这时我们说建立 了一个空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做坐 标原点，x轴、y轴、z轴叫做__坐__标__轴__．通过每 两个坐标轴的平面叫做__坐__标__平__面___，分别称为 __x_O_y_平__面___、__y_O_z_平__面___、___z_O_x_平__面____．
栏目 导引
第四章 圆与方程
典题例证技法归纳
【题型探究】 题型一 求空间点的坐标
例1 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1， D1B1的中点，棱长为1，建立适当的空间直角坐标系， 求E，F的坐标．
栏目 导引
第四章 圆与方程
【解】 法一：建立如图所示的空间直角坐标系，E 点
在
xDy
2 2 2 22 【名师点评】 几何体中有两两垂直且相交的三条直线 时，就有“天然”空间直角坐标系的特征．
栏目 导引
第四章 圆与方程
跟踪训练
1.如图所示，V－ABCD是正棱锥，O为底面中心，E，F 分别为BC，CD的中点．已知|AB|＝2，|VO|＝3，建立如 图所示空间直角坐标系，试分别写出各个顶点的坐标． 解：∵底面是边长为2的正方形， ∴|CE|＝|CF|＝1. ∵O点是坐标原点， ∴C(1,1,0)，同样的方法可以确定 B(1，－1,0)，A(－1，－1,0)，D(－1,1,0)． ∵V在z轴上，∴V(0,0,3)．
2.3.2两点间的距离公式ppt课件新教材人教A版选择性必修第一册
知识点
任务型课堂
课后素养评价
两点间的距离
1 ． 平 面 内 的 两 点 P1(x1 ， y1) ， P2(x2 ， y2) 间 的 距 离 公 式 ， |P1P2| ＝
2 − 1 2 + 2 − 1 2
______________________．
2．两点间距离的特殊情况
2 + 2
(1)原点O(0，0)与任一点P(x，y)间的距离|OP|＝ __________．
|x2－x1|
(2)当P1P2∥x轴(y1＝y2)时，|P1P2|＝_______．
|y2－y1|
(3)当P P ∥y轴(x ＝x )时，|P P |＝_______．
1 2
1
2
1 2
问题式预习
2.3.2 两点间的距离公式
任务型课堂
课后素养评价
[微训练]
1．已知M(2，1)，N(－1，5)，则|MN|＝(
的中线AM的长为(
)
A．8
B．13
C．2 15
D． 65
D
解析：由B(10，4)，C(2，－4)可得M(6，0)，又A(7，8)，所以
|AM|＝
6−7
2
+ 0 − 8 2 ＝ 65.
问题式预习
2.3.2 两点间的距离公式
任务型课堂
课后素养评价
2．已知线段AB的两个端点分别在x轴和y轴上，且线段AB的中点为
第二章 直线和圆的方程
2.3
直线的交点坐标与距离公式
2.3.2 两点间的距离公式
问题式预习
2.3.2 两点间的距离公式
学习任务目标
掌握两点间的距离公式并会简单应用．(逻辑推理)
2.3.2两点间的距离公式 课件(共15张PPT)
.
解：设点的坐标为（，0）,
PA
( x 1)2 (0 2)2 x2 2x 5
PB ( x 2)2 (0 7)2 x2 4x 11
由||＝||，得 2 + 2 + 5＝ 2 − 4 + 11. 解得＝1.
∴所求点为(1,0), 且||＝ (1 1)2 (0 2)2 2 2
(1) x1≠x2, y1=y2
P1(x1,y1) P2(x2,y2)
| P1 P2 || x 2 x1 |
(2) x1 = x2, y1 ≠ y2
| P1 P2 || y 2 y1 |
P2(x2,y2)
x
思考：你能利用1(1, 1)， 2(2, 2)构造直角三角形，再用勾股定理推导两点间的距离公式吗？
与向量法比较，你有什么体会？
y P (x1,y1)
1
(3) x1 ≠ x2, y1 ≠ y2
Q (x2,y1)
| 1 |＝ |2 − 1 |
| 2 |＝ | 2 − 1 |
| 1 2 |＝
2 − 1
2
+ 2 − 1
2
P2 (x2,y2)
x
即时巩固
求下列两点间的距离：
(1) (6,0), (−2,0);
例2 证明：平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.
由两点间的距离公式，得
y
D (b,c)
C(a+b,c)
||² = ||² = ²，
||² = ||² = ² + ²，
||² = ( + )² + ²
o A(0,0)
两点间距离公式课件
两点间距离公式课件
xx年xx月xx日
• 两点间距离公式的基本概念 • 两点间距离公式的应用 • 两点间距离公式的扩展 • 两点间距离公式的实际例子 • 两点间距离公式的数学性质 • 两点间距离公式的历史与发展
目录
01
两点间距离公式的基本概 念
定义
两点间距离公式是用 于计算平面上任意两 点之间的直线距离的 数学公式。
在机器人路径规划中，两点间距离公式可以用来计算两点 间的直线距离，为路径规划提供基础数据。同时，结合其 他算法和约束条件，可以进一步优化路径，提高机器人的 运动效率。
05
两点间距离公式的数学性 质
距离的度量性 质
唯一性
两点之间的距离是唯一的，不会 因测量方法和工具的不同而改变。
传递性
如果点A到点B的距离等于点B到 点C的距离，且点B到点C的距离 等于点C到点D的距离，那么点A 到点D的距离也等于点A到点B的
VS
双曲几何和椭圆几何
在双曲几何中，两点之间的距离公式与欧 几里得几何不同，而在椭圆几何中，距离 公式取决于该几何的具体定义和性质。
THANKS
雷达测距
雷达是一种利用电磁波探测目标的设备，常用于测量目标距 离和速度。雷达测距的基本原理是通过发送电磁波并测量反 射回来的时间来计算目标距离。
雷达测距的精度和准确性对于军事、气象、交通等领域至关 重要。两点间距离公式在雷达测距中也有应用，例如在计算 发射机和接收机之间的距离时。
机器人路径规划
机器人路径规划是指在给定起点和终点的情况下，规划出 一条从起点到终点的最优路径。机器人路径规划的目标是 使机器人能够安全、高效地移动到目的地。
间的距离。
重力场中两点距离
在重力场中，利用已知的两点间距 离和重力加速度，可以计算两点间 的万有引力。
xx年xx月xx日
• 两点间距离公式的基本概念 • 两点间距离公式的应用 • 两点间距离公式的扩展 • 两点间距离公式的实际例子 • 两点间距离公式的数学性质 • 两点间距离公式的历史与发展
目录
01
两点间距离公式的基本概 念
定义
两点间距离公式是用 于计算平面上任意两 点之间的直线距离的 数学公式。
在机器人路径规划中，两点间距离公式可以用来计算两点 间的直线距离，为路径规划提供基础数据。同时，结合其 他算法和约束条件，可以进一步优化路径，提高机器人的 运动效率。
05
两点间距离公式的数学性 质
距离的度量性 质
唯一性
两点之间的距离是唯一的，不会 因测量方法和工具的不同而改变。
传递性
如果点A到点B的距离等于点B到 点C的距离，且点B到点C的距离 等于点C到点D的距离，那么点A 到点D的距离也等于点A到点B的
VS
双曲几何和椭圆几何
在双曲几何中，两点之间的距离公式与欧 几里得几何不同，而在椭圆几何中，距离 公式取决于该几何的具体定义和性质。
THANKS
雷达测距
雷达是一种利用电磁波探测目标的设备，常用于测量目标距 离和速度。雷达测距的基本原理是通过发送电磁波并测量反 射回来的时间来计算目标距离。
雷达测距的精度和准确性对于军事、气象、交通等领域至关 重要。两点间距离公式在雷达测距中也有应用，例如在计算 发射机和接收机之间的距离时。
机器人路径规划
机器人路径规划是指在给定起点和终点的情况下，规划出 一条从起点到终点的最优路径。机器人路径规划的目标是 使机器人能够安全、高效地移动到目的地。
间的距离。
重力场中两点距离
在重力场中，利用已知的两点间距 离和重力加速度，可以计算两点间 的万有引力。
两点间的距离公式课件
工具。
精度要求
对于需要高精度计算的应用场景，如地理信息系统（GIS），需要使用更 高精度的计算方法。
在某些特定领域，如物理学或工程学，对距离计算的精度有更高的要求 。
在日常应用中，一般使用默认的浮点数精度即可满足需求。
THANKS
感谢观看
实例计算
使用两点间的距离公式：d = sqrt[(x2-x1)^2 + (y2-y1)^2]。
计算过程中需要注意运算顺序和精度 ，确保结果准确。
将点A和点B的坐标值代入公式中进行 计算。
实例结果分析
根据计算结果，分析两点间的距离。 比较不同点对之间的距离，了解距离与坐标值之间的关系。
通过实例分析，加深对两点间距离公式的理解和应用。
公式推导
该公式是通过勾股定理推导出来 的，即直角三角形的斜边平方等
于两直角边平方之和。
在平面直角坐标系中，设两点 A(x1, y1)和B(x2, y2)，则线段
AB的中点M的坐标为 ((x1+x2)/2, (y1+y2)/2)。
线段AB的长度即为AM的长度， 根据勾股定理，有d² = [(x2-
x1)² + (y2-y1)²]，开方得到d = √[(x2-x1)² + (y2-y1)²]。
公式应用场景
两点间的距离公式在几何学、 物理学、工程学等领域都有广 泛应用。
在计算两点之间的直线距离、 确定物体运动轨迹、解决实际 问题等方面都需要用到该公式 。
在地理信息系统、地图绘制、 导航等领域，该公式也是不可 或缺的工具。
02
公式中的符号解释
符号含义
d：表示两点间的距 离。
√：表示开平方运算 。
06
公式注意事项
两点间的距离公式》课件2
公式应用：测 量、导航、定
位等领域
公式推导：基 于欧几里得几 何学和向量运
算
两点间的距离公
式：d
=
sqrt((x2-x1)^2
+ (y2-y1)^2)
公式中的参数： x1, y1, x2, y2 分别表示两个点 的横坐标和纵坐 标
公式的用途：计 算两点间的直线 距离
公式的推导：利 用勾股定理推导 得出
a. 假设有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2) b. 连接AB，得到线段AB c. 利用勾股定理，得到AB的长度 d. 得到两点间的距离公式
应用：计算两点间的距离
单击此处输入你的项正文，文字是您思想的提炼，言简意赅的阐述观点。
注意事项： a. 公式中的x1、y1、x2、y2是已知量 b. 公式中的sqrt表示平方根 c. 公式中的^2表示平方
x1
斜率与两点间距 离的关系：斜率 越大，两点间距
离越远
斜率与两点间距离 的应用：在几何中， 斜率可以用来计算 两点间的距离，也 可以用来判断直线 的倾斜方向和倾斜
角度。
两点间的距离公式：d=sqrt((x2x1)^2+(y2-y1)^2)
应用：确定线段的对称点，可以方 便地计算两点间的距离
添加标题
a. 公式中的x1、y1、x2、y2是已知量 b. 公式中的sqrt表示平方根 c. 公式中的^2表示平方
计算两点间的直线距离 计算两点间的曲线距离 计算两点间的最短路径 计算两点间的最长路径
两点间的距离 公式：
d=sqrt((x2x1)^2+(y2-
y1)^2)
公式含义：计 算两点之间的
直线距离
截距的定义：直线与坐标 轴的交点