大学物理2静电场中的导体电容静电能

q q
r RA
RBdWwdV1 E2dV201 (
20
q
4
r2
)2 4 r 2dr
q 2
8 r2
0
0
能量
W
V
dW
RB RA
q2
8 r2 0
dr
q2
8 0
(
1 R
A
1 R
B
)
还可以由电容器的能量公式计算
W q2 q2 ( 1 1 )
c
2C
8 R 0A
R B
4 R R
C
0 AB
R R
B
A
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R 0
1
2
0
E12dV
R
1
2
0
E22dV
3Q2
20 0 R
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【例】求无限长平行直导线单位长度导线间的线间电容C。
已知: a,d ,且d a
AB
【解】 设
场强分布
E
2 0 x 2 0( d x )
Ox PE
x
导线间电势差
d
B
d a
uA uB E dl E dx 电容
则两极板间的电势差为：uA
u B
U
(t)
q(t) C
考虑此时将 dq 的电荷从负极板移到
任 一 时 刻
uA
dq uB
U
正极板，电源所做的功为 dA Udq q dq C
充电完毕，电源所做的总功为： A Q q dq Q2 电容器的电能
0 C 2C
We
Q2 2C
1 QU 2
1 CU 2 2
【解】 由静电平衡条件，电荷分布如图，
由高斯定理知，电场分布为
E 0 (rR )
1
1
E 2
q
4π
r2
(R rR )
1
2
0
E 0 (R rR )
3
2
3
E 4
q
4π
Q r2
(R r) 3
0
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Qq q
qR
R
2
1
R 3
10
球和球壳之间区域的电势差
R2
uR1 uR2 E • dl R1
【解】 令两极板分别带电量±Q，则
❖极间场强分布 两极间电势差
电容器的电容
【讨论】
E σ Q
0 0S U Ed Qd
0S
C Q 0S U d
C 0S
d
1.C∝S； 2.C∝1／d； 3.C∝ε0 ，与极间介质有关。
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【例】 同心球形电容器的电容
q
静电场中的导体
1、会产生静电感应现象
2、静电平衡的条件
E
（1）导体内部的电场强
度处处为零；
（2）导体表面处电场强度的方向，处处与导体表面垂直。
推论：
静电平衡时，导体为等势体，导体表面为等势面。
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3、静电平衡时导体上电荷的分布
（1）实心导体： 导体内部无净电荷，电荷只分布在导体表面。
（2）空腔导体： 空腔内无电荷时，电荷分布在外表面，内表面无电荷。
空腔内有电荷+q时，空腔内表面有感应电荷-q，外表
面有感应电荷+q。
σ
（3） 导体表面附近场强与电荷面密度的关系
E ε0
（4） 孤立导体表面的电荷分布
电荷面密度 与表面曲率成正比。
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4. 静电屏蔽
【解】 设+q 、- q 。
场强分布
q
E 40r 2
RA
q RB
电势差
U AB
RB E dr
RA
RB q dr
RA 4π0 r 2
q
4π 0
1 RA
1 RB
电容
【讨论】 RB RA 或 RB
孤立导体球的电容
C 4 0RA
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【例】同轴柱形电容器的电容
11、 理解导体静电平衡条件及平衡状态 下的性质；
12、 会计算常见电容器的电容； 13、 掌握电容器串、并联公式及电场能量； 14、 ……
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10.7 静电场中的导体 电容
10.7.1 导体的静电平衡√ 10.7.2 孤立导体的电容√ 10.7.3 电容器的电容√ 10.7.4 电容器的串并联√
R2
q dr q ( 1 1 )
R1 4 0r 2
40 R1 R2
Qq q
qR
R
2
1
球心处的电势
R
3
uo E • dl
o
R1
q R2
R3
qQ
0 dr
dr 0 dr
dr
o
R1 4 0r 2
R2
R3 4 0r 2
q ( 1 1 ) qQ
40 R1 R2 40R3
或由叠加原理写出
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W dW 1E2dV
V
V2
例 已知均匀带电的球体，半径为R，带电量为Q
求 从球心到无穷远处的电场能量。
Q
R
解
球内
E1
Qr
4 0 R3
;
球外
E2
Q
40r 2
薄球壳 dV 4r2dr
球壳内能量密度
w
1 2
0
E
2
dr r
E1 E2
电场能量 W
wdV
0
1
2
0
E
2dV
U1
q C1
U2
q C2
C1
C2
U
Un
q Cn
11
1
U U1 U2 Un q( C1 C2 Cn )
Un
+q -q
Cn
U q C
1 1 1 1
C C1 C2
Cn
特点：等效电容降低，电容组的耐压提高。
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B 电容器的并联
q1 C1U
电容器电容的计算
计算电容器电容的一般方法：
令电容器的两极板带等值异号的电荷Q ；
求出两极板之间的电场强度;
计算两极板间的电势差UAB ;
由电容的定义 C = q / UAB 求得电容 。
Q
电荷分布
E
场强分布
U AB
电势差
C
电容
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【例】计算平板电容器的电容。 已知：两极板面积S，两极间距d。
a
A
ln d a 0 a
a
ln d 0 a
C
u u
A
B
0
ln d
a
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【例1】：求孤立导体球的电容，设半径为 R。
Q
【解】：令导体球带电Q，则其电势
R
U Q
4π 0R
CQ U
C 4π 0R
例：半径为1m的金属球其电容约为：10-10F
理论与实验均已证明：导体的电容由导体本身的性质（大小与 形状）及其周围的介质环境决定, 与导体是否带电无关！
【解】 设带电量为q
RA
RB
场强分布 E , q
L
2 0 r
L
电势差
U AB
B
E dl
A
RB RA
1
2 0
r
dr
2 0
ln
RB RA
q ln RB
20 L RA
电容
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10.7.4 电容器的串并联
A 电容器的串联
U1
U2
+q -q +q -q
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10.7.3 电容器的电容
Q
两个彼此绝缘且相距较近的导体所组成的系统，称为电容器
q
q
q
RA
RB
E
A
d
B
平行板电容器
q RA
A RB
B
球形电容器
L
圆柱形电容器
【定义】：电容器的电容 C Q Q
u1 u2 u12
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空腔导体屏蔽外电场
接地空腔导体屏蔽内电场
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【例】如图所示,导体球附近有一点电荷q 。
l
【求】接地后导体上感应电荷的电量。
【解】 设感应电量为Q O点的电势为0 ， 等于Q 和 q
R
-
o
-
q
在该点的电势之和。
Q
q 在O点的电势
u1
q
4 0l
Q 在O点的电势
u2
i
0
L E dl 0
静电场有源，无旋。静电场是保守场，静电力是保守力。
3.两种计算思路
E dE
场源电荷
E ds 1 q
S
i 0i
E ( u i u j u k ) x y z
u du 场源电荷
零电势点
uP P
Edl
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第10章 教学要求
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非均匀电场的能量计算要用积分的办法 dV
dW w dV 1 E2dV
e
20
W w dV 1 E2dV
e V
V2 0
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10.8 静电能
【例】计算球形电容器的能量。已知
R ,R ,q AB
【解】
场强分布
E
q
4r
2
取体积元 dV 4 r2dr
q2 C2U
q1
q2
qn
U
C1 C2
Cn
qn CnU
q q1 q2 qn (C1 C2 Cn )U
C
q U
C1 C2
Cn
n i 1
Ci
特点：耐压值为各电容的最小耐压值
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10.8 静电能
q q
10.8.1、带电电容器的能量
设任意时刻极板上的电荷为q（t） ,
Assignments
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教材第3037页
作业
P43: P44: P46:
10.1—(4) 、 (5) ； 10.2—(6) 、 (7) ； 10.41 ; 10.43; 10.46
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真空中静电场小结
1.两个物理量 E, u
qi内
2.两个基本方程
S E ds
C Q /U
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20
10.8.2 电场的能量和能量密度
q
q
W 1 CU 2 2
0
S
对平行板电容器
S
C 0 ,
U Ed
d
d
W
1
S
(0
)(Ed
)2
2d
1 E2 (Sd ) 1 E2V
20
20
电场能量密度
w W 1 E2
e V 20
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E1
q1
40r 2
E2
q2
40r 2
u1
E dr
q1
R1
4 0 R1
u2
E dr
q2
R2
4 0 R2
u1=u2
q1 R1 q2 R2
思考 如果两球相距较近，结果怎样？（不能看成是点电荷了）
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【例】计算导体球（半径R1）和导体球壳（半径R2和R3） （导体球电量q、球壳电量Q）的电势差及球心处的电势。
Q
dq
4 0 R
Q
4 0 R
O点的电势为0
u1 u2 0
QRq l
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【例】两球半径分别为R1、R2，带电量q1、q2，设两球相距很远， 当用导线将彼此连接时，电荷将如何分布？
R1
R2
q1 q2
q1
q2
【解】设用导线连接后，两球带电量之和守恒 q1 q2 q1 q2