数学归纳法经典例题详解

例1．用数学归纳法证明：

()()12121217

51531311+=

+-++⨯+⨯+⨯n n

n n ． 证明：①n =1时，左边31311=⨯=

，右边3

1

121=+=，左边=右边，等式成立．

②假设n =k 时，等式成立，即：

()()12121217

51531311+=+-++⨯+⨯+⨯k k

k k ．

当n =k +1时．

()()()()32121

12121751531311++++-++⨯+⨯+⨯k k k k

()()

32121

12++++=

k k k k ()()()()()()

321211232121

322++++=

++++=k k k k k k k k ()1

121

321+++=++=

k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立， 综合上述，等式成立.

例2．是否存在一个等差数列{a n }，使得对任何自然数n ，等式：a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立，并证明你的结论．

解：将n =1，2，3分别代入等式得方程组．

⎪⎩⎪

⎨⎧=++=+=60

3224

26321

211a a a a a a ， 解得a 1=6，a 2=9，a 3=12，则d =3．

故存在一个等差数列a n =3n +3，当n =1，2，3时，已知等式成立． 下面用数学归纳法证明存在一个等差数列a n =3n +3，对大于3的自然数，等式a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立． 因为起始值已证，可证第二步骤．

假设n =k 时，等式成立，即a 1+2a 2+3a 3+…+ka k =k (k +1)(k +2) 那么当n =k +1时， a 1+2a 2+3a 3+…+ka k +(k +1)a k +1

= k (k +1)(k +2)+ (k +1)[3(k +1)+3] =(k +1)(k 2+2k +3k +6) =(k +1)(k +2)(k +3) =(k +1)[(k +1)+1][(k +1)+2]

这就是说，当n =k +1时，也存在．

综合上述，可知存在一个等差数列a n =3n +3，对任何自然数n ，等式a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立．

例3．证明不等式n n

2131211<+

+++

(n ∈N)．

证明：①当n =1时，左边=1，右边=2．左边<右边，不等式成立．

②假设n =k 时，不等式成立，即k k

2131211<+

+++ ．

那么当n =k +1时，11131211+++

+++

k k 1

1

121

12+++=

++

()()121

121

1

1+=++=

++++<

k k k k k k

这就是说，当n =k +1时，不等式成立．

由①、②可知，原不等式对任意自然数n都成立．

例4. 。

解析：（1）当时，左边，右边，命题成立。

（2）假设当时命题成立，即

，那么当时，

左边

。

上式表明当时命题也成立。

由（1）（2）知，命题对一切正整数均成立。

例5. 用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n，不等式

成立。

解析：①当时，左=，右，左>右，∴不等式成立。

②假设时，不等式成立，即

，

那么当时，

，

∴时，不等式也成立。

由①，②知，对一切大于1的自然数n，不等式都成立。

例6. 若不等式对一切正整数n 都成立，求正整数a的最大值，并证明你的结论。

解析：取，。

令，得，而，

所以取，下面用数学归纳法证明，

，

（1）时，已证结论正确

（2）假设时，

则当时，有

，

因为，

所以，

所以，

即时，结论也成立，

由（1）（2）可知，对一切，

都有，

故a的最大值为25。

*例7．已知数列{a n}满足a1=0，a2=1，当n∈N时，a n+2=a n+1+a n．求证：数列{a n}的第4m+1项(m∈N)能被3整除．

证明：①当m=1时，

a4m+1=a5=a4+a3=(a3+a2)+(a2+a1)=a2+a1+a2+a2+a1=3，能被3整除．

②当m=k时，a4k+1能被3整除，那么当n=k+1时，

a4(k+1)+1=a4k+5=a4k+4+a4k+3

=a4k+3+a4k+2+a4k+2+a4k+1

=a4k+2+a4k+1+a4k+2+a4k+2+a4k+1

=3a4k+2+2a4k+1

由假设a4k+1能被3整除，又3a4k+2能被3整除，故3a4k+2+2a4k+1能被3整除．

因此，当m=k+1时，a4(k+1)+1也能被3整除．

由①、②可知，对一切自然数m∈N，数列{a n}中的第4m+1项都能被3整除．