第3章 仪器精度设计与分析

6Q 4Q 2Q
o
误差 Q
2Q
4Q
6Q
输入
o
输入
图3—7 量化误差
（三）机械结构
a)量化过程 b) 量化误差
•凸轮 为了减小磨损，常需将动杆的端头设计成半径为 r 的圆球头，将 引起误差： r rsin 2 h OA OB r cos cos cos
r t an sin r 2
矛盾，其是产生原理误差的根本原因。一旦设计完成，此误差也就确定。
输出
（二）近似数据处理方法
模/数转换过程中的量化误差
若模/数转换有效位为n，输入模拟量的变化范围为 V0 ，通常用二进制最小单位（量子 Q V0 / 2n ） 去度量一个实际的模拟量，当 NQ V ( N 1)Q 时， 模/数转换结果为 NQ 由此产生量化误差，不会超 过一个 Q 。
第三章 仪器精度设计与分析
意义：精度分析和精度设计是仪器设计的重要内涵
仪器误差来源与特性
误差计算与评定
•内容：
误差传递及相互作用的规律 误差合成与分配原则和方法
对仪器精度的测试过程
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节
仪器精度理论中的若干基本概念 仪器误差的来源与性质 仪器误差的分析 仪器误差的综合 仪器误差的分析合成举例 仪器精度设计
关，而与制造和使用无关。具体情况有：
（一）线性化：
将仪器的实际非线性特性近似地视为线性，采用线性的技术处理措施
来处理非线性的仪器特性，由此而引起原理误差。 •激光扫描测径仪
图3—6
1—激光器 2、3—反射镜 4—透镜 5—多面棱镜 6—透镜 7—被测工件 8—透镜 9—光电二极管
•激光扫描光束在距透镜光 轴为±y 的位置与多面棱
一致性或误差的分散性。
3）准确度 它是系统误差和
随机误差两者的综合的反
映。表征测量结果与真值
之间的一致程度。
图3—1 仪器精度
三、仪器的静态特性与动态特性
（一）仪器的静态特性与线性度
静态特性 :当输入量不随时间变化或变化 十分缓慢时，输出与输入量之间的关系
y
y f ( x)
线性静态特性：希望仪器的输入与输 出为一种规定的线性关系
1．仪器的动态特性 当输入信号是瞬态值或随时间的变化值时，
仪器的输出信号(响应)与输入信号(激励)之间的关系称为仪器动态特 性。
dny d n 1 y dy an a a a0 y n 1 1 n n 1 dt dt dt d mx d m 1 x dx bm b b b0 x m 1 1 dtm dtm 1 dt
激励下响应
y (t ) 。由于L (t ) 1 ，则
y (t ) L
1
H (s)
y (t ) ，与系统结构有关，
3) 频率特性：在频率域中描述动态仪器对变化激励信号的响应能力，
在正弦信号 x(t ) A sin(t ) 的作用下的响应 与输入信号随时间变化的规律无关。
Y ( j) bm ( j)m bm1 ( j)m1 b1 ( j) b0 H ( j) X ( j) an ( j)n an1 ( j)n1 a1 ( j) a0
H ()
H (0)
H ()
A0
o
( )

o


H (1 )
H ()
H (1 )
H (0)
0
图3—5
1
0

0
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二阶仪器幅频特性

一阶仪器幅频特性
第二节
仪器误差的来源与性质
原理误差
制造误差 运行误差
设计 生产 使用
一、原理误差
仪器设计中采用了近似的理论、近似的数学模型、近似的 机构和近似的测量控制电路所引起的误差。它只与仪器的设计有
（二）误差的分类
随机误差
按误差的 数学特征
系统误差 粗大误差 静态参数误差
按被测参数 的时间特性
按误差 间的关系
动态参数误差
独立误差：相关系数为“零” 非独立误差：相关系数非“零”
（三）误差的表示方法
1.绝对误差 ：被测量测得值
x 与其真值(或相对真值)
x0 之差
x x0
特点：有量纲、能反映出误差的大小和方向。
X ()
x (t )
a)
d)
g)
H
T ()
t
T (t )
b) e)
H

T
H ()
t
s

h)
X ()
T
x (t )
t
X ()

c)
f)
i)
t
s

s

•当脉冲采样频率 s 2H 并且采样脉冲为理想脉冲时，采样信号 x* (t ) 能够正确反映连续信号 x(t ) ，因为采样信号频谱 X * () 的主瓣与连续信 号频谱 X () 一致。 •采样脉冲有一定宽度时，采样信号 x* (t ) 不能够正确反映连续信号，因为 采样信号频谱 X* () 的主瓣与连续信号频谱 X () 不一致，有失真，进而 引起误差。
2. 动态偏移误差和动态重复性误差 1)动态偏移误差 输出信号
反映仪器的瞬态响应品质。
如果已知仪器的数学模型，可以由传递函数与输入信号拉氏变换 的乘积的拉氏反变换获得对特定激励 x(t ) 的响应 y (t ) 。 也可用实验测试的方法得到输出信号 y (t ) 的样本集合 Y (t ) ，将均 值与被测量信号之差作为测量仪器的动态偏移误差，即
A
y f ( x)
y0 k0 x
o
y0 k0 x
非线性误差 ：仪器实际特性与规定特 性不符
x
( x) f ( x) k0 x
线性度 ：最大偏差 ( x)max 与标准输出 范围A的百分比
线性度
( x)max
示值范围
( x ) max 100 % A
图3—2
（二）仪器的动态特性与精度指标
an , an1,, a0和bm , bm1,, b0 为与仪器结构和特性参数，与时间无关。
在动态仪器中，必须考虑弹性、惯性和阻尼对仪器特性的影响，仪 器输出信号不仅与输入信号有关，而且还与输入信号变化的速度、加速 度等有关。由于仪器的基本功能在于输出不失真地再现输入，因此用线 性定常系数微分方程来描述仪器的动态特性 。 根据分析方法的不同，有不同描述方式：
1 n 2 y ( t ) y ( t ) i k k n 1 i 1
i 1, 2,n 是多次重复测量所得各次输出样本的序号；
k 1, 2,m 是在一次输出样本上作多次采样的采样点序号。
•动态偏移误差和动态重复性误差在时域表征动态测量仪器的瞬态和 稳态响应精度，分别代表了动态仪器响应的准确程度和精密程度 。
d 1 d 2f d 2 f 0 ( 0 )3 d 0 ( 0 )3 3 2f 3 2f 2 f
•引起的原理误差
d d d d 0 2 f arct an( 0 ) 2f
可见：将测量空间中非线性的扫描速度视为线性，采用均匀的（线性的、 固定的）填充脉冲频率，造成线性信号处理方式与非线性扫描特性之间
a) 幅频特性
b)频域特性
Y ( j ) j ( ) H ( j ) H ( j ) e 实际仪器频率特性 X ( j ) 在频率范围之内与理想仪器相比所产生
的最大幅值误差与相位误差，就代表了仪器
的频率响应精度。 当频率响应范围为 0 时，最大幅值误差 为 H (0 )。当输入信号的频率为 1 时，由 下图可知仪器对该频率信号的测量结果幅值 误差为 H (1 )
在规定的使用条件下，用同一动态输入信号进
行多次重复激励，所测得的各个输出信号在任意时刻 tk 量值的变化范 围 y(tk ) ，通常用三倍的动态输出标准差 s(tk ) 来表示
y(tk ) 3s(tk )
当输出信号是确定性信号与随机的组合时，动态输出的标准差可用下
式估计，即
s(tk )
(t ) M [ y (t )] x(t )
y (t ) 与输入信号 x(t ) 之差 (t )
(t ) y ( t ) x (t )
图3—3a、b分别表示一阶和二阶动态仪器的单位阶跃响应的动态 偏移误差。
图3—3 a) 一阶系统
仪器动态偏移误差 b) 二阶系统
2)动态重复性误差
图3—8 凸轮机构原理误差
•正弦机构 测杆位移与摆杆转角的关
摆杆
1 3 s a a sin a 6 （四）测量与控制电路
系是非线性的，但将其视为线性关系 时就引起了原理误差 ：
Φ
s a
测杆
•采样 用一系列时间离散序列 x* (t ) 来描述连续的模拟信号 x(t ) 。
x (t )
体旋转角度之间的关系：
•在与光轴垂直方向上的 扫描线速度为 •设计中近似地认为在 与光轴垂直方向上激光
y f tan(2 t ) f tan(4 nt )
v0 dy 4 nf sec2 ( 4 nt) dt y 2 ) ] f
4 nf [1 t an2 ( 4 nt)] 4 nf [1 (
2.相对误差 ：绝对误差与被测量真值的比值

特点：无量纲
x0
表示方法
•引用误差 绝对误差的最大值与仪器示值范围的比值。 •额定相对误差 示值绝对误差与示值的比值。
二、精度
1）正确度 它是系统误差大小的反映，表征测量结果稳定地接近真值
的程度。
2）精密度 它是随机误差大
小的反映，表征测量结果的
3. 理想仪器与频率响应精度 理想仪器在稳态条件下，输出信号 y (t )能够不失真地再现输入信号 x(t ) y(t ) A0 x(t 0 )
拉普拉斯变换后，理想仪器频率特性 H ( j ) Y ( j ) A0e j 0 X ( j )
图3—4
理想动态仪器的幅频与频域特性
•仪器指示的被测直经
T 2
d0 / 2
0
d0 / 2 1 1 dy 2 dy 0 v0 4nf 1 ( y / f )2


1 d arctan( 0 ) 2n 2f
N T M T 2.5 106
d N q T M q T 4nf d0 2 f arct an( ) 2f
1) 传递函数：是动态仪器的数学模型，在复域中描述，与系统
结构有关，与输入信号随时间变化的规律无关
Y ( s) bm s m bm1s m1 b1s b0 H ( s) X ( s) an s n an1s n1 a1s a0
2) 脉冲响应函数：描述动态仪器的瞬态特性。在单位脉冲信号 (t )
f 150.2 m m
光束的扫描线速度是均
匀的 •填充脉冲频率为M＝ 2.5MHz，则脉冲当量：
v 2 f 4 n f
n 50转 / 秒 v 94.373 m/秒
v 94.373 103 q 0.03775m m/ 脉冲 6 M 2.5 10
•设实际测量钢丝直 经为 d0，所用时间 •在 T 时间段内所计脉 冲数
二、制造误差
产生于制造、支配以及调整中的不完善所引起的误差。 主要由仪器 的零件、元件、部件和其他各个环节在尺寸、形状、相互位置以及其他 参量等方面的制造及装调的不完善所引起的误差。
x
y y
x
铁芯
线圈
测杆
衔铁
导套

测杆 工件
•差动电感测微仪中差动线圈 •由于滚动体的形状误差使 •测杆与导套的配合间 隙使测杆倾斜，引起测 滚动轴系在回转过程中产生 绕制松紧程度不同，引起零位 径向和轴向的回转运动误差。漂移和正、反向特性不一致。 杆顶部的位置误差。
第一节 仪器精度理论中的若干基本概念
一、误差
（一）误差定义：所测得的数值 xi与其真值 x0之间的差
i xi x0 i 1,2 n
客观存在性 理论真值
误差 不确定性 特性
未知性
精度 表达
约定真值
相对真值
CODATA推荐的阿 伏加德罗常数值为
6.0221367 1023 mol1
（五）总结
（1）采用近似的理论和原理进行设计是为了简化设计、简化制造工 艺、简化算法和降低成本 。 （2）原理误差属于系统误差，使仪器的准确度下降，应该设法减小 或消除。 （3）方法： • 采用更为精确的、符合实际的理论和公式进行设计和参数计算 。 • 研究原理误差的规律，采取技术措施避免原理误差。 • 采用误差补偿措施 。