数字信号处理 习题+答案

数字信号处理习题+

答案

第一章数字信号处理概述

简答题：

1．在A/D变换之前和D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，它们分别起什么作用？

答：在A/D变化之前让信号通过一个低通滤波器，是为了限制信号的最高频率，使其满足当采样频率一定时，采样频率应大于等于信号最高频率2倍的条件。此滤波器亦称位“抗折叠”滤波器。在D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，是为了滤除高频延拓谱，以便把抽样保持的阶梯形输出波平滑化，故友称之为“平滑”滤波器。

判断说明题：

2．模拟信号也可以与数字信号一样在计算机上进行数字信号处理，自己要增加一道采样的工序就可以了。（）答：错。需要增加采样和量化两道工序。

3．一个模拟信号处理系统总可以转换成功能相同的数字系统，然后基于数字信号处理

理论，对信号进行等效的数字处理。（）

答：受采样频率、有限字长效应的约束，与模拟信号处理系统完全等效的数字系统未必一定能找到。因此数字信号处理系统的分析方法是先对抽样信号及系统进行分析，再考虑幅度量化及实现过程中有限字长所造成的影响。故离散时间信号和系统理论是数字信号处理的理论基础。

第二章离散时间信号与系统分析基础

一、连续时间信号取样与取样定理

计算题：

1．过滤限带的模拟数据时，常采用数字滤波器，如图所示，图中T表示采样周期（假设T足够小，足以防止混迭效应），把从

)(

)(t y

t x到

的整个系统等效为一个模拟滤波器。

（a）如果

kHz

T

rad

n

h10

1,

)

(=

π

截止于

，

求整个系统的截止频率。

（b）对于

kHz

20

1=

，重复（a）的计算。

解（a）因为当0

)

(

8=

≥ω

π

ωj e

H

rad时，在数—模变换中

)

(

1

)

(

1

)

(

T

j

X

T

j

X

T

e

Y

a

a

j

ω

ω=

Ω

=

所以)

(n

h得截止频率π

ω=

c对应于模拟信号的角频率c

Ω为

8

π

=

ΩT

c

因此Hz

T

f c

c

625

16

1

2

=

=

Ω

=

π

由于最后一级的低通滤波器的截止频率为

T

π

，因此对

T8

π

没有影响，故整个系统的截止频率由)

(ωj e

H决定，是625Hz。（b）采用同样的方法求得kHz

20

1=，整个系统的截止频率为

Hz

T

f

c

1250

16

1

=

=

二、离散时间信号与系统频域分析

计算题：

1．设序列

)

(n

x

的傅氏变换为

)

(ωj e

X

，试求下列序列的傅里叶变换。

（1）

)

2(n

x

（2）

)

(*n

x

（共轭）

解：（1）)

2(n

x

由序列傅氏变换公式

DTFT∑

∞

-∞

=

-

=

=

n

n

j

j e

n

x

e

X

n

xω

ω)

(

(

)]

(

[)

可以得到

DTFT

2

)

(

)

2(

)]

2(

[n j

n n

jn e

n

x

e

n

x

n

x

'

-

∞

-∞

='

-

∑∑'

=

=

ω

ω

为偶数

)()(2

1

)(2

1

)(21)(21)(21)]()1()([2

122)2(2)2

(2

2

ωωπω

ωπω

ωωj j j j n j n n jn n j n n e X e X e X e X e n x e n x e n x n x -+=+=+=-+=++-∞

-∞

=∞-∞=--∞

-∞=∑∑∑ （2）)(*n x （共轭）

解：DTFT

)

(**])([)(*)(*ωωω

j n n jn jn e X e n x e

n x n x -∞

-∞

=∞

-∞

=-===

∑∑

2．计算下列各信号的傅里叶变换。

（a ）][2n u n

- （b ）]

2[)41

(+n u n

（c ）

]24[n -δ （d ）n

n )

21(

解：（a ）

∑∑-∞

=--∞

-∞

==

-=

2

][2)(n n j n

n

j n n

e e

n u X ωωω

ωω

j n

n j e e 2

111)21(0

-==∑∞

=

（b ）

∑∑∞

-=--∞

-∞==+=2)4

1(]2[41)(n n j n n

j n n e e n u X ωωω）（

ω

ω

ωj j m m j m e e e -∞

=---==∑4

1116)41(20)2(2

（c ）ω

ωωδω2]24[][)(j n n

j n

j n e e

n e

n x X -∞

-∞

=--∞

-∞

==-=

=

∑∑

（d ）

]12

111

2111[21)(ˆ--+-==--∞

-∞=∑ω

ωωωj j n j n n e e e X

）（

利用频率微分特性，可得

22)2

11(121)211(121)

()(ωω

ωωω

ωωj j j j e e e e d X d j

X ---+--=-=

3．序列)(n x 的傅里叶变换为

)(jw

e X ，求下列各序列的傅里叶变换。 （1）

)(*

n x - （2）)](Re[n x (3) )(n nx

解： （1）)(*])([)(*)

(*

jw n n jw n jwn

e X e

n x e

n x =-=

-∑∑∞

-∞

=--∞

-∞

=-

（2）

∑∑∞

-∞=-*-*∞

-∞

=-+=+=

n jw jw jwn

n jwn

e X e X e n x n x e

n x )]()([21)]()([2

1)](Re[ （3）

dw e dX j

e n x dw d j dw e n dx j e

n nx jw n jwn

n jwn n jwn

)()()(1)(==-=∑∑∑∞-∞=-∞

-∞

=-∞

-∞

=-

4．序列)(n x 的傅里叶变换为

)(jw

e X ，求下列各序列的傅里叶变换。

（1）)(n x * （2）)](Im[n x j (3)

)(2

n x 解：（1）

)

(])([])([)()())((jw n n w j n n w j n jwn

e X e n x e

n x e

n x -**∞

-∞

=--∞

-∞

=*

---∞

-∞

=-*

===

∑∑∑

（2）