晶格振动与声子

2.4 晶格振动与声子

绝热近似下，固体的运动近似地简化为两个相对较小的子系统：电子和核（或原子实）的运动问题。前面对电子体系的运动状态作了讨论，现在对第二个问题，即核（或原子实）子系统的运动作一简要回顾。如2.1中所述，对给定的电子系 状态n ，原子实系统 感受到的 有效势场

()()()

N LL n V V E =+R R R

，

原子实间的库伦相互作用()

LL V R + 依赖于核构型的电子能()

n E R 描述原子实系统运动的哈密顿方程为：

()()()()()

2

2

12I n LL S I I

X E V X E X M ⎡⎤-∇++=⎣⎦∑R R R R R

（2.4-1）

2.4.1 简谐近似和正则振动模

上述方程涉及大量粒子的运动，数学上很难求解。需要一个好的近似作为讨论的出发点。我们感兴趣的是：有效势有极小值（即具有稳定平衡构形），原子偏离平衡位置不太远的情形。

设晶体包含N 个原胞，每个原胞有υ个原子，采用周期性边界条件。

第n 个原胞中，第α个原子的平衡位置为 n n R R R αα=+，

n R 和R α分别为原胞（代表点）位置和原子α在原胞中相对代表点的位置。

原子相对平衡位置的瞬时位移的直角坐标分量为()n i

s t α （1,2,3i =）。

将有效势场()

N V R 在平衡核构形{}0n R α=R 处作泰勒展开：

()()

201......2N

N N n i n i n in i n i n i V V V s s S S αααααα'''''''''

∂=++∂∂∑R R

（2.4-2）

取常数项为零，一次项在平衡构型下恒等于零，展开式中第一个不为零的项就是二次项。考虑原子实围绕平衡位置作小振动的情形，高次项可忽略，这就是所谓的

简谐近似。可以证明，由这样的简谐势联系在一起的N υ个粒子构成

的体系的运动，可通过适当的坐标变换，变为3Nυ个正则坐标的独立的一维简谐运动。每个正则坐标的简谐运动描述的是体系所有粒子的集体运动，正则运动模式，其中，各粒子的运动彼此间有确定的关系。

对周期排布的原子体系(晶体)，固体物理中给出，这种正则运动模式为如下形式的格波：

{}

(,)()

1

s()()exp() q j j

n i i n j

t e q i q R q t αα

ω

⎡⎤

=⋅-

⎣⎦，（2.4-3）[*（2.4-3）是复数位移。它的实部或虚部，给出原子的实数位移]

其中

()()

j

i

e q

α为极化或偏振基矢（polarization basis vector）。满足正交归一关系：

*()()

()()

j j

i i jj

i

e q e q

αα

α

δ

'

'

=

∑。（2.4-4）

这相当于正则运动模式（基）的标准化条件：

1()*12()

[(,)][(,)]

j j

n i n i jj

n i

M s q t M s q t

αααα

α

δ

'

'

=

∑。（2.4-5）

式（2.4.3）描述的是晶格原子振动的一种基本模式，

是以波矢为q，频率为()

j

q

ω的波的形式传播的格波。格波的频率与波矢有一定的关系()

j

q

ω（或表示为,j q

ω），称为色散关系。每个格波模式可由,j q标记。这种由,j q确定的格波分为3υ支（由j标记），每支都有N个不同波矢q的格波，共有3Nυ种格波。这3Nυ种格波就是晶体中原子振动的正则运动模式。

这些正则模还可以分为不同类型。按照长波极限的振动特征，

3υ支格波分成 3支声学波（acoustic）和

33

υ-支光学波（optical）。

前者是晶格振动中整个原胞的所有核或原子实同位相一起振动，后者是原胞内原子实的相对振动。按照振动方向是与波矢方向平行还是垂直，格波又分为横波（transverse）和纵波（longitudinal）。上述不同类型的正则模（格波），常用TA,TO,LA,LO来标记，其中的字母是相关英文单词的第一个字母。

一般的晶格振动可以表示为这些正则运动模式（或格波）的线性叠加：

(,)

,

()

,

,

()

,

()Re[()s()]

1

Re()exp()()exp()

1

Re(,)()exp()

q j

n i j n i

q j

j

j j q i n

q j

j

j i n

q j

s t Q q t

Q q i t e q iq R

Q q t e q iq R

αα

α

α

ω

=

⎡⎤=-⋅⎥

⎥⎦

⎡⎤

=⋅⎥

⎥⎦

∑

∑

∑

局域振动模

当杂质原子替代了基质原子，上述理想晶体的振动模式受到了扰动而有所变化。不过可以想到，杂质浓度很低时，对大多数振动模式的扰动是很小的。不过这时会出现个别的局域模，在这样的模式中，离杂质原子的距离越大，那里的原子振动越弱。这种模式的振动频率也不在原先的连续谱带内。由于这种模式的局域特性，它往往与杂质的局域电子态有较强的相互作用。