考研数学导数的应用(卓越资料)

卓越考研内部资料

（绝密）

卓而优越则成

卓越考研教研组汇编

§3.2 导数的应用

A 基本内容

一、洛必达法则：

若 1）)(;0)(lim )(lim 0

∞==→→x g x f x x x x

2）)(x f 、)(x g 在0x 点的某去心邻域内可导，且;0)(≠'x g 3) );()

()

(lim

∞=''→A x g x f x x 则 .)

()

(lim )()(lim

00

x g x f x g x f x x x x ''=→→ 注：如果()()x g x f ''lim

不存在且不是无穷大量情形，则不能得出()()

x g x f lim 不存在且不是无穷大

量情形）

二、判断函数的单调性

定理：设函数()x f 在()b a ,内可导，如果恒有()0>'x f ()0<则()x f 在()b a ,内单调增加（单调减少）；如果恒有()0≥'x f ()0≤，则()x f 在()b a ,内单调不减（单调不增）。 基本应用模型：设()x f 在[)+∞,a 内连续，在()+∞,a 内可导，且()0>'x f ()0<，又

()0=a f ，则当a x >时，恒有()0>x f ()0<。

三、函数的极值

1、定义：设函数()x f 在()b a ,内有定义，0x 是()b a ,内的某一点，则

如果点0x 存在一个邻域，使得对此邻域内的任一点()0x x x ≠，总有()()0x f x f <，则称()0x f 为函数()x f 的一个极大值，称0x 为函数()x f 的一个极大值点；

如果点0x 存在一个邻域，使得对此邻域内的任一点()0x x x ≠，总有()()0x f x f >，则称()0x f 为函数()x f 的一个极小值，称0x 为函数()x f 的一个极小值点。 2、必要条件

设函数()x f 在0x 处可导，且0x 为()x f 的一个极值点，则()00='x f 。

我们称x 满足()00='x f 的0x 为()x f 的驻点可导函数的极值点一定是驻点，反之不然。 极值点只能是驻点或不可导点，所以只要从这两种点中进一步去判断。 3、第一充分条件

设()x f 在0x 处连续，在δ<-<00x x 内可导，()0x f '不存在，或()00='x f 。 ︒1 如果在()00,x x δ-内的任一点x 处，有()0>'x f ，而在()δ+00,x x 内的任一点x 处，有()0<'x f ，则()0x f 为极大值，0x 为极大值点；

︒2 如果在()00,x x δ-内的任一点x 处，有()0<'x f ，而在()δ+00,x x 内的任一点x 处，有()0>'x f ，则()0x f 为极小值，0x 为极小值点；

︒3 如果在()00,x x δ-内与()δ+00,x x 内的任一点x 处，()x f '的符号相同，那么

()0x f 不是极值，0x 不是极值点。

4、第二充分条件

设函数()x f 在0x 处有二阶导数，且()00='x f ，()00≠''x f ，则 当()00<''x f 时，()0x f 为极大值，0x 为极大值点。 当()00>''x f 时，()0x f 为极小值，0x 为极小值点。 四、函数的最大值和最小值

1、求函数()x f 在[]b a ,上的最大值和最小值的方法

首先，求出()x f 在()b a ,内所有驻点和不可导点k x x ,,1 ，其次计算

()()()()b f a f x f x f k ,,,,1 。

最后，比较()()()()b f a f x f x f k ,,,,1 ，

其中最大者就是()x f 在[]b a ,上的最大值M ；其中最小者就是()x f 在[]b a ,上的最小值m 。

2、最大（小）值的应用问题

首先要列出应用问题中的目标函数及其考虑的区间，然后再求出目标函数在区间内的最大（小）值。

结论：函数在某一区间存在唯一极值点，则该极值点是函数在该区间的最值点。 五、凹凸性与拐点 1、凹凸性的定义

设()x f 在区间I 上连续，若对任意不同的两点21,x x ，恒有

()()[]()()[]⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛+<⎪⎭⎫ ⎝⎛++>⎪⎭⎫

⎝⎛+2121212121221

2x f x f x x f x f x f x x f 则称()x f 在I 上是凸（凹）的。

在几何上，曲线()x f y =上任意两点的割线在曲线下（上）面，则()x f y =是凸（凹）的；如果曲线()x f y =有切线的话，每一点的切线都在曲线之上（下）则()x f y =是凸（凹）的

2、拐点的定义

曲线上凹与凸的分界点，称为曲线的拐点。 3、凹凸性的判别和拐点的求法

设函数()x f 在()b a ,内具有二阶导数()x f ''，

如果在()b a ,内的每一点x ，恒有()0>''x f ，则曲线()x f y =在()b a ,内是凹的； 如果在()b a ,内的每一点x ，恒有()0<''x f ，则曲线()x f y =在()b a ,内是凸的。 求曲线()x f y =的拐点的方法步骤是： 第一步：求出二阶导数()x f ''；

第二步：求出使二阶导数等于零或二阶导数不存在的点1x 、2x 、…、k x ；

第三步：对于以上的连续点，检验各点两边二阶导数的符号，如果符号不同，该点就是拐点的横坐标；

第四步：求出拐点的纵坐标。 六、渐近线的求法 1、垂直渐近线

若()∞=+→x f a

x lim 或()∞=-→x f a

x lim

则a x =为曲线()x f y =的一条垂直渐近线。 2、水平渐近线

若()b x f x =+∞

→lim ，或()b x f x =-∞

→lim

则b y =是曲线()x f y =的一条水平渐近线。 3、斜渐近线 若()0lim

≠=+∞→a x

x f x ，()[]b ax x f x =-+∞→lim 或()0lim ≠=-∞→a x

x f x ，()[]b ax x f x =--∞→lim