运筹学第9讲：灵敏度分析(续)和LP作业讲解 共37页

为使最优生产计划不变，则δ3, δ4 ,δ5, δ6 ≤0，得到
乙的收益c2变化范围应满足：
8 3

c2

6
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第9讲：灵敏度分析(续)和LP作业讲解
3.5.2 资源约束系数 bi 变化的灵敏度分析
∆b 的变化将引起 ∆b’的变化，最终出现①、③两种情况
P45:例3.12
(1) 若设备B每天可用能力不变，设备A每天可用能力增加到25小 时，最优解如何变化？
项目
甲 乙 丙 丁 每天可用能力
设备A（h） 3
2
1
2
20
设备B（h） 2
3
2
1
20
单件利润(元) 4
3
1
2
最终单纯形表为：
cj →
4
cB
XB
x1
4
x1
1
3
x2
0
δj (3)
0
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第9讲：灵敏度分析(续)和LP作业讲解
31200
b
x2
x3
x4
x5
x6
0 -1/5 4/5 3/5 -2/5 4
1 4/5 -1/5 -2/5 3/5 4
(2) 若设备A每天可用能力不变，设备B每天可用能力增加到40小 时，最优解如何变化？
(3) 若设备A每天可用能力不变，设备B每天可用能力在什么范围 内变化时，最优基保持不变？
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第9讲：灵敏度分析(续)和LP作业讲解
3.5.3 增加新变量 xj 的灵敏度分析
产品
增加新变量反映为增加一种新产品，分析步骤为： 收益
理论地讲：
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第9讲：灵敏度分析(续)和LP作业讲解
1、将参数的变化反映到最终单纯形表上来：
b'B1b Pj ' B1Pj
2、检查变化后的原问题及对偶问题是否仍为可行解
① 原问题有可行解（b≥0）, 对偶问题有可行解（δ≤0），最优基不变 ② 原问题有可行解（b≥0）, 对偶问题无可行解（存在δj>0），采用单
P46-例3.13：若该公司又计划推出新产品戊，生产一件戊所需
设备A、B分别为2h和2h，该产品的预期盈利为6元/件，试分 析该产品是否值得投产；如投产，对该公司的最优生产计划有 何变化。
项目
甲 乙 丙 丁 戊 每天可用能力
设备A（h） 3 2 1 2 2
20
设备B（h） 2 3 2 1 2
20
单件利润(元) 4 3 1 2 6
cj 的变化仅仅影响到检验数δj ＝cj －zj 的变化，所以只需将cj
的变化反映到最终单纯形表中，其结果是出现①、②两种情况
P44：例3.11 (1) 若家电甲、乙的收益分别改为3和5元/件，
最优生产计划有何变化；(2) 乙的收益c2在什么范围内变化时，
原先的最优生产计划不变。
项目
甲乙丙
设备A（h） 3
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第9讲：灵敏度分析(续)和LP作业讲解
检查变化后的原问题及对偶问题是否仍为可行解
cj →
… b
cB
XB
…
……
A
bi
δj
① b≥0， δ≤0，最优基不变， XB即为最优解
② b≥0， 存在δj>0，采用单纯形法继续求解 ③ 存在bi<0，而 δ≤0，采用对偶单纯形法继续求解 ④ 存在bi<0，同时δj>0，需要进行调整，采用大M法
0
0 -12/5 3/5 1/5 -9/5
5 5/4 0 -1/4 1 3/4 -1/2
5
1/4
1
3/4
0 -1/4 1/2
-3/4 0 -9/4 0 -1/4 -3/2
若δ≤0，说明最优生产计划不变，但总利润可能发生变化 两种资源的影子价格也发生变化，y1*=1/4，y2*=3/2
(2) 解：设乙的收益c2直接反映到原问题的最终单纯形表中，得到
0 -3/5 -3/5 -6/5 -1/5
B 1(P 1,P 2) 1(P 5',P 6') 3 2 5 5 3 25 5
最优基B的逆矩阵：B-1为最终单纯形表中的最右边的一个方阵
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Pj ' B1Pj XB*B1XB
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假设生产戊x7件，P7’为x7在原最终单纯形表上的对应列向量。
P7'B1P732//55
2/5 2 25 3/5225
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3.5.4 增加一个约束条件的灵敏度分析
纯形法继续求解
③ 原问题无可行解（存在bi<0）, 对偶问题有可行解（ δ≤0 ），采用对
偶单纯形法继续求解
④ 原问题无可行解（存在bi<0）, 对偶问题无可行解（存在δj>0），设 法使bi>0，并引入人工变量，采用大M 法继续求解
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3.5.1 利益系数cj 变化的灵敏度分析
2
1
设备B（h） 2
3
2
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单件利润(元) 4 →3 3 →5 1
丁 每天可用能力
2
20
1
20
2
解：将c1、c2的收益变化情况直接反映到原问题的最终单纯形表上，得到
cj
CB
XB
3
x1
5
x2
j
2
x4
5
x2
j
3
5
1
2
0
0
b
x1
x2
x3
x4
x5
x6
4
1
0 -1/5 [4/5] 3/5 -2/5
4
0
1 4/5 -1/5 -2/5 3/5
B1P 1 3255
253 1 3520P 1'
XB*B 1b 3 255
2520 4 35 20 4
所以，可以将参数的变化反映到原问题的最终单纯形表上：
b'B1b
Pj ' B1Pj
m
① 计算 j 'cj zj cj aijyi* i1
② 若 δj’≤0，不投产，最优解不变
产品成本=(所需资源数量 ×资源影子价格)的累加
③ 若 δj’> 0，计算Pj’=B -1Pj ，并反映到原问题的最终单
纯形表中，结果出现①、②两种情况
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第9讲：灵敏度分析(续)和LP作业讲解
增加约束条件相当于添加一道工序。 将原问题最优解代入该约束条件，若成立，则最优解不变；否则，
第9讲：灵敏度分析(续)和LP 作业讲解
浙江工业大学经贸管理学院 曹柬
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第9讲：灵敏度分析(续)和LP作业讲解
一、灵敏度分析基本原理描述
P38：例3.6
某公司生产甲、乙、丙、丁四种产品，已知制造单件产品时分
别占用的设备A、B的台时，设备A、B每天可用于生产的能力 以及单件产品的收益情况如下表所示。问该公司应该如何制定 最优生产计划？