运筹学第9讲：灵敏度分析(续)和LP作业讲解 共37页
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运筹学图解法的灵敏度分析 PPT课件
交于该顶点的两条直线的斜率即cj变动范围，cj在两 条直线斜率之间变动时，原线性规划问题的最优解
不变，最优值变动（cj变动）。
11
四、约束条件中右边系数bi的 灵敏度分析
例：
max F 6 x 1 4 x 2 s .t . 2 x 1 3 x 2 10 4 x 1 2 x 2 12 x1, x2 0
18
图解法
400
2x1x2 400
可行解域为OABCD 最优解为B点（50，250）
300
A
B
x2 250
200
C
100
x1x2 300
最优生产方案为： 甲生产50，乙生产250；
此时， 总利润为27500元。
D
O
100
200
300
400
5x0110x200
19
现提高设备可利用台时数
（b1=300
12
讨论：当b1=10 b1=11时对 原问题的影响
x2
5
4x12x212
A 3
B
1
2x13x210
O
C
2
4
6
x1
6x14x20 6x14x220
13
讨论：b1变动对原问题的影响 （b1=10 b1=11）
x2
5
4x12x2 12
A’
A3
B’
B
2x13x2 11
1
2x13x210
O
C
2
4
6
x1
6x14x20
100
设备台时的约束条件
为0
D D’
O
100
200
300
400
不变，最优值变动（cj变动）。
11
四、约束条件中右边系数bi的 灵敏度分析
例：
max F 6 x 1 4 x 2 s .t . 2 x 1 3 x 2 10 4 x 1 2 x 2 12 x1, x2 0
18
图解法
400
2x1x2 400
可行解域为OABCD 最优解为B点（50，250）
300
A
B
x2 250
200
C
100
x1x2 300
最优生产方案为： 甲生产50，乙生产250；
此时， 总利润为27500元。
D
O
100
200
300
400
5x0110x200
19
现提高设备可利用台时数
（b1=300
12
讨论：当b1=10 b1=11时对 原问题的影响
x2
5
4x12x212
A 3
B
1
2x13x210
O
C
2
4
6
x1
6x14x20 6x14x220
13
讨论：b1变动对原问题的影响 （b1=10 b1=11）
x2
5
4x12x2 12
A’
A3
B’
B
2x13x2 11
1
2x13x210
O
C
2
4
6
x1
6x14x20
100
设备台时的约束条件
为0
D D’
O
100
200
300
400
运筹学灵敏度分析
只需由 j 0解得c j的范围。
(2) c j 是基变量x j的价格系数 这时要影响所有的检验 数
i ci (c1 ci ci cm ) B Pi , 应由所有的 i 0解得公共的c j。
1
p11-2
例1：在（煤电油例）中，其单纯形终表如下：
0 x 7 x 12 x
3 1
运筹学
2
84 20 24
0 1 0
0
0 0 1
0
1 0 0
0
- 0.32 0.4 - 0.12
- 1.36
1.16 - 0.2 0.16
- 0.52
z 428
（1）甲产品的价格在何范围内变化时，现最优解不变？
解：甲产品的价格c1是基变量的价格系数。 0.32 由 4 0 0 7 c1 12 0.4 2.8 0.4c1 1.44 0 0.12 得 c 3.4， 1.16 由 5 0 0 7 c1 12 - 0.2 1.4 0.2c1 1.92 0 0.16 得 c 2.6，
2
运筹学
例1：在（煤电油例）中，其单纯形终表如下：
0 x 7 x 12 x
3
1
2
84 20 24
0 1
0
0 0 1
1 0
0
- 3.12 1.16 0.4 - 0.2
- 0.12 0.16
z 428
0
0
0
- 1.36
- 0.52
（3）若有人愿以每度1元的价格向该厂供应25度电，是 否值得接受？
§3.4 灵敏度分析
灵敏度分析——研究系数变化对最优解的影响.
灵敏度分析(运筹学).ppt
0
0
1
0
0
0
x3
1 0
0 1 1
0 2 -1
-1
0
x4
0 1
0
0
-3/2 -1 1
-1
2.5.1 单纯形法的矩阵描述
1. 约束方程系数矩阵的变化
约束方程系数矩阵
，进行初等行
变换，相当于左乘一个相应的初等阵。
即
，在A中所包含的矩阵B，左
乘 后，则得到
。
2. 约束方程右端项的变化
3. 目标函数系数的变化
1. 灵敏度分析的概念：
当某一个参数发生变化后，引起最优解如何改变的 分析。 可以改变的参数有： bi——约束右端项的变化，通常称资源的改变； cj ——目标函数系数的变化，通常称市场条件的变 化； pj ——约束条件系数的变化，通常称工艺系数的变 化； 其他的变化有：增加一种新产品、增加一道新的工 序等。
2．分析原理及步骤：
（1）借助最终单纯形表将变化后的结果按下述基
本原则反映到最终表里去。
B①-1bi△变b化：=
（b+△b）´=B-1 b´+B-1 △b
（b+△b）=
B-1
b+
②pj变化：（pj+△ pj ）´= B-1 （pj+△ pj ）= B-1 pj+ B-1 △ pj = pj ´+ B-1 △ pj
围来确定最优解是否改变。 由于系数的改变，最优值z可能发生 变化而不再是原值了。
2、约束条件右端值的变化
约束条件右端值每增加一个单位 引起的最优值的改进量称为对偶 价格。
对偶价格只适用于在右端值仅发 生了很小变动的情况
2.5.3 单纯形法灵敏度分析
运筹学 线性规划灵敏度分析
可变单元格 单元格 名字 $B$4 可变单元格→ Max Z=∑cjxj $C$4 可变单元格→ 约束 单元格 名字 $D$7 a1j→ ∑aijxj $D$8 a2j→ ∑aijxj $D$9 a3j→ ∑aijxj 终 阴影 约束 允许的 允许的 值 价格 限制值 增量 减量 2 0 4 1E+30 2 12 150 12 6 6 18 100 18 6 6 终 递减 目标式 允许的 允许的 值 成本 系数 增量 减量 2 0 300 450 300 6 0 500 1E+30 300
线性规划
不是最优表， 继续迭代， 得， 最优解 X*=（5/3，13/2， 7/3，0，0）生产品种保持 不变。最优值变为
7/3 0 500 300 13 / 2 3750 5/3
300
xB
x3
500
0
0
0
b’ 2 6 2
x1
0 0 1
x2
0 1 0 0
x3
1 0 0 0
x4
1/3 1/2 -1/3 -150
x5
-1/3 0 1/3 -100
x2 x1
-3600 200
总利润增加了 150 元。
运筹学
设 b1 , b2 , b3 的增量为 b1 , b2 , b3
2 1 1 / 3 1 / 3 b1 b * b B 1b 6 0 1 / 2 0 b2 2 0 1 / 3 1 / 3 b 3 2 b1 b2 / 3 b3 / 3 2 b1 b2 / 3 b3 / 3 6 b2 / 2 6 b2 / 2 2 b / 3 b / 3 2 b / 3 b / 3 2 3 2 3 若要解仍可行，则 b * 0 ，即
运筹学课件灵敏度分析
运筹学教程
Cj
210
CB 基 b X1 x2 x3
0 x3 15 0
51
2 x1 5 1
10
0 x4 2 0
-4 0
Cj-Zj
0
-1 0
00 x4 x5 00 01 1 -6 0 -2
工厂的最优生产计划改为只生产产品1，每天 的生产数量5件。
解：（2）
设每天的调试可用能力为5
运筹学教程
1 b' B1b 0
x5
x4
5
24
x1, x2 , x3, x4 , x5 0
用单纯形法求解如下：
运筹学教程
Cj
210 0 0
CB 基 b X1 x2 x3 x4
x5
0 x3 15/2 0 2 x1 7/2 1 1 x2 3/2 0
01 00 10
5/4 -15/2 ¼ -1/2 -1/4 3/2
Cj-Zj
0
8
2
3 / 2 0 2
运筹学教程
将其反映到最终的单纯形表，原问题非可行解， 采用dual单纯形法
Cj
2
CB 基 b X1
0 x3 35/2 0
2 x1 11/2 1
1 x2 -1/2 0
Cj-Zj
0
10 x2 x3 01 00 10 00
00 x4 x5 5/4 -15/2 ¼ -1/2 [-1/4] 3/2 -1/4 -1/2
aij
y i
i 1
运筹学教程
（2）、检查原问题是否仍为可行解。 （3）、检查对偶问题是否仍为可行解。
原问题
可行解 可行解 非可行解 非可行解
对偶问题
可行解 非可行解 可行解 非可行解
运筹学课件灵敏度分析PPT学习教案
00 x4 x5 5/4 -15/2 ¼ -1/2 [-1/4] 3/2 -1/4 -1/2
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Cj
210
CB 基 b X1 x2 x3
0 x3 15 0
51
2 x1 5 1
10
0 x4 2 0
-4 0
Cj-Zj
0
-1 0
工厂的最优生产计划改为只生产产品1，每天 的生产 数量5件。
00 x4 x5 00 01 1 -6 0 -2
15 / 20 10
1/ 2
8
2
3 / 2 0 2
第14页/共35页
将其反映 到最终 的单纯 形表， 原问题 非可行 解，采 用dual 单纯形 法
Cj
2
CB 基 b X1
0 x3 35/2 0
2 x1 11/2 1
1 x2 -1/2 0
Cj-Zj
0
10 x2 x3 01 00 10 00
Cj CB 基 b 0 x3 15/2 2 x1 7/2
1+ x2 3/2
Cj-Zj
2 1 + 0 0
0
X1 x2 x3 0 01
x4 5/4
x5 -15/2
1 00 ¼
-1/2
0 1 0 -1/4 3/2
0
0 0 -1/4+ /4 -1/2-3 /2
第11页/共35页
1 0, 1 3 0
第13页/共35页
仍然来看例1-1：
（1）如果设备A和调试工序的每天的能力不变，设备B 每天的能力增加到32h，分析公司最优的生产计划的变 化；
（2）如果设备A和设备B每天的能力不变，则调试工序 在什么范围内变化，问题的最优基不变。
运筹学讲义-灵敏度分析
(I A)1Δ Y Δ X
ΔY 0
5
2.4.2 价值系数 cj 的灵敏度分析 • cj 变动可能由于市场价格的波动，或生产成本的变动
• cj 的灵敏度分析是在保证最优解的基变量不变的情况 下，分析cj 允许的变动范围cj
• cj 的变化会引起检验数的变化，有两种情况
– 非基变量对应的价值系数变化，不影响其它检验数 – 基变量对应的价值系数变化，影响所有非基变量检验数
bi
bk ak ,ni
bi
bk ak ,ni
要求对所有 k 都成立 , 从而有
max k
ak
bk
,n
i
ak ,ni
0
bi
min k
bk ak ,ni
ak ,n i
0
此时 , 基变量的解值和目标函 数会发生变化
2.4.6 新增约束条件的分析
16
2.4.7 灵敏度分析举例
例2.4.3 某工厂生产三种产品 A, B, C，有五种生产组合方案。
下两表给出有关数据。规定每天供应 A产品至少110 个，求收 益最大的生产方案。
产量 组别
品种
I II III IV V
单位售价 (元 )
A 产品数量
32440
10
B 产品数量
x5 x6 x7 00 0 1 1/4 -1 0 1 -1 0 -3/4 1 0 0.25 1
cj-zj -3.25 0 -2.75 0 0 -0.25 -1
以b2为例, x6是对应的初始基变量，所以有
max01 .205,02100b2min 01.7050 200b213.33, 1000b2133.33
运筹学第二章 线性规划灵敏度分析课件
第2章 线性规划 灵敏度分析
关于运筹学第二章 线性规划灵敏度分析
东北财经大学工商管理学院
第1页，此课件共33页哦
2.1 线性规划灵敏度分析
第2章 线性规划 灵敏度分析
▪ 在第1章的讨论中，假定以下的线性规划
模型中的各个系数cj、bi、aij是确定的常
数，并根据这些数据，求得最优解。
n
Max(Min) z c j x j j 1
▪ 使用电子表格进行分析(重新运行规划求解)
东北财经大学工商管理学院
规划求解后，最优 解发生了改变，变 成了（2/3，8）， 总利润也由3600元 增加到了4200元。 可见，车间2更新生 产工艺后，为工厂 增加了利润。
第23页，此课件共33页哦
2.7 增加一个新变量
第2章 线性规划 灵敏度分析
▪ 例2.1 如果工厂考虑增加一种新产品：防盗门，其单位利润为400元。 生产一个防盗门会占用车间1、车间2、车间3各2、1、1工时,总利
第2章 线性规划 灵敏度分析
▪ 方法1：使用电子表格进行分析（重新运 行规划求解）
总利润为3750元，
增加了：3750-
3600=150元。由于
总利润增加了，而目标 函数系数不变，所以最 优解一定会发生改变， 从图中可以看出，最优 解由原来的（2，6）
变为（1.667，6.5）
东北财经大学工商管理学院
电最多为90kw),最优解是否会发生变化? ▪ 使用电子表格进行分析(重新运行规划求解)
东北财经大学工商管理学院
可见电力约束 的确限制了新 产品门和窗的 产量，最优解 变成(1.5,6),总 利润也相应的 下降为3450元 。
第25页，此课件共33页哦
2.9 影子价格
关于运筹学第二章 线性规划灵敏度分析
东北财经大学工商管理学院
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2.1 线性规划灵敏度分析
第2章 线性规划 灵敏度分析
▪ 在第1章的讨论中，假定以下的线性规划
模型中的各个系数cj、bi、aij是确定的常
数，并根据这些数据，求得最优解。
n
Max(Min) z c j x j j 1
▪ 使用电子表格进行分析(重新运行规划求解)
东北财经大学工商管理学院
规划求解后，最优 解发生了改变，变 成了（2/3，8）， 总利润也由3600元 增加到了4200元。 可见，车间2更新生 产工艺后，为工厂 增加了利润。
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2.7 增加一个新变量
第2章 线性规划 灵敏度分析
▪ 例2.1 如果工厂考虑增加一种新产品：防盗门，其单位利润为400元。 生产一个防盗门会占用车间1、车间2、车间3各2、1、1工时,总利
第2章 线性规划 灵敏度分析
▪ 方法1：使用电子表格进行分析（重新运 行规划求解）
总利润为3750元，
增加了：3750-
3600=150元。由于
总利润增加了，而目标 函数系数不变，所以最 优解一定会发生改变， 从图中可以看出，最优 解由原来的（2，6）
变为（1.667，6.5）
东北财经大学工商管理学院
电最多为90kw),最优解是否会发生变化? ▪ 使用电子表格进行分析(重新运行规划求解)
东北财经大学工商管理学院
可见电力约束 的确限制了新 产品门和窗的 产量，最优解 变成(1.5,6),总 利润也相应的 下降为3450元 。
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2.9 影子价格
灵敏度分析PPT课件
2 已知线性规划问题
２、基变量的目标系数 的灵敏度分析
约束方程右端系数变化对最优解的影响；
第二个约束条件不满足，最优解发生变化。
问当新增约束
，最优解是否发生变化？如果有求出新的最优解。
课堂练习
P153(4)
1 已知线性规划问题：
max Z = 3x1 + 2x 2
x1 + 2x2 ≤ 40 s.t. 2x1 + x 2 ≤ 50
（２）求出使得最优解不发生变化的劳动力资源 变动范围。
灵敏度分析研究了个别数据变动之后，原来的最优解条件是否受到影响，研究这些数据的变化对最优解的变化是否“敏感”。
一、目标系数 的灵敏度分析
约束方程右端系数变化对最优解的影响；
其问中当新增变 是，产且品A,B,C的产量。 最优基是否发生变化？
（ 或２者）说检 ，验 要数 使最优解保持不，变即，各个数据可以有多发大生幅变度化的，变即动对。解的正则性有影响，而对解的可行性没有影响。
（若２在） 检若验数中首变先为出１现２某，正求值新时的，最则优以解它。对应的变量为换入变量，用单纯形法迭代下一步。
一、目标系数 c j 的灵敏度分析
为使最优基不发生变化，
（2）每个约束条件的影子价格
是最优解的条件是：
１、非基变量的目标系数 的灵敏度分析 c （２）求出使得最优解不发生变化的劳动力资源 变动范围。
最优单纯形中变量x5所对应的列P5`
j
第二个约束条件不满足，最优解发生变化。
问当新增约束
最优解是否会发生变化
问这时生产计划是否要进行修改？为什么？
（2）如第二个约束条件右端常数变为60，确定新的最优目标函数值。
为使最优基不发生变化，
运筹学第9讲：灵敏度分析(续)和LP作业讲解 共37页
0 -3/5 -3/5 -6/5 -1/5
B 1(P 1,P 2) 1(P 5',P 6') 3 2 5 5 3 25 5
最优基B的逆矩阵：B-1为最终单纯形表中的最右边的一个方阵
运筹学
第9讲：灵敏度分析(续)和LP作业讲解
Pj ' B1Pj XB*B1XB
解：新增的测试工序约束条件为：2x1+2x2+x3+x4≤14， 将原问题的最优解x1*=4，x2*=4代入该约束：
2×4＋2×4＝16>14
约束条件不成立，则原问题的最优解不是新问题的最优解。
将该约束化为标准形式：2x1+2x2+x3+x4+x7＝14，反映到最终单纯
形表中:
cj →
4312000 b
2.2 (2) X* 0,2 7 7,2 7 4,0,9 7 3,0 T,
z*180 7
2.2 (3)：多重最优解 X1* 2,125,0,0,42,0T , X2* 121,94,7,0,0,0T
X * X 1 * 1 X 2 * , 0 ,1 z* 47
2
1
设备B（h） 2
3
2
单件利润(元) 4 →3 3 →5 1
丁 每天可用能力
2
20
1
20
2
解：将c1、c2的收益变化情况直接反映到原问题的最终单纯形表上，得到
cj
CB
XB
3
x1
5
x2
j
2
x4
5
x2
j
3
5
1
2
0
0
b
x1
第3章线性规划的灵敏度分析
第11页/共93页
（3-2） 为了计算标准袋利润最优的范围，我们 假设高级袋的利润CD＝9，代入式（3-2）， 我们得到：
从左边的不等式，我们得到
因此
第12页/共93页
从右边的不等式，我们得到
因此， 综合标准袋利润CS的极限，标准袋利润最优 范围为：
6.3≤CS≤13.5
第13页/共93页
在最初Par公司的问题中，标准袋的利润 是10美元。最优解是540个标准袋和252个高级 袋。标准袋利润CS的最优范围告诉Par公司的 管理者：在其他系数不变的情况下，只要标准 袋的利润在6.3美元与13.5美元之间，540个标 准袋和252个高级袋总是最优产量。然而值得 注意的是，即使产量不变，总的利润也可能由 于每一个标准袋利润的变化而变化。
（3-1）
第10页/共93页
现在让我们考虑目标函数直线斜率的一 般形式。用CS表示标准袋的利润，CD表示 高级袋的利润，P表示目标函数值。使用这 些标识，目标函数直线可以写成：
P＝CSS＋CDD 把上面方程写成斜截式，得到：
CDD＝﹣CSS＋P 以及
因此，我们得到目标函数的斜率为－CS／CD。 把－CS／CD代入式（3-1），我们看到只要满 足下列条件，极点③就仍然是最优解点：
第8页/共93页
D
直线B
S+ (2/3)D=708
600
10S+ 9D=7668
400
③
200
可行域
直线A (7/10)S+D=630
图3-1
o
200
400
600
800
S
第9页/共93页
在图3-1中，我们可以看到只要 直线B的斜率≤目标函数直线的斜率≤直线
（3-2） 为了计算标准袋利润最优的范围，我们 假设高级袋的利润CD＝9，代入式（3-2）， 我们得到：
从左边的不等式，我们得到
因此
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从右边的不等式，我们得到
因此， 综合标准袋利润CS的极限，标准袋利润最优 范围为：
6.3≤CS≤13.5
第13页/共93页
在最初Par公司的问题中，标准袋的利润 是10美元。最优解是540个标准袋和252个高级 袋。标准袋利润CS的最优范围告诉Par公司的 管理者：在其他系数不变的情况下，只要标准 袋的利润在6.3美元与13.5美元之间，540个标 准袋和252个高级袋总是最优产量。然而值得 注意的是，即使产量不变，总的利润也可能由 于每一个标准袋利润的变化而变化。
（3-1）
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现在让我们考虑目标函数直线斜率的一 般形式。用CS表示标准袋的利润，CD表示 高级袋的利润，P表示目标函数值。使用这 些标识，目标函数直线可以写成：
P＝CSS＋CDD 把上面方程写成斜截式，得到：
CDD＝﹣CSS＋P 以及
因此，我们得到目标函数的斜率为－CS／CD。 把－CS／CD代入式（3-1），我们看到只要满 足下列条件，极点③就仍然是最优解点：
第8页/共93页
D
直线B
S+ (2/3)D=708
600
10S+ 9D=7668
400
③
200
可行域
直线A (7/10)S+D=630
图3-1
o
200
400
600
800
S
第9页/共93页
在图3-1中，我们可以看到只要 直线B的斜率≤目标函数直线的斜率≤直线
运筹学单纯形法的灵敏度分析课件
• 基变量的cj发生变化，由于影响到cB，从而所有非基变 量的检验数均受到影响（基变量的检验数仍保持为0）。
• 如上例中x1、x2为基变量，则甲、乙产品单位利润变化，将影 响除甲、乙外其他变量的检验数。
运筹学单纯形法的灵敏度分析
6
（一）非基变量目标函数系数的改变
• 上例中，x1、x2为基变量，x3为非基变量，它的最优解为x3=0， 既不安排生产。为什么不生产丙产品呢？因为x3所对应的检 验数Cj-Zj不是绝对值最大者，无法调入成为基变量。
最优 ZC B 值 b运筹2 学单纯3 形法 的1 2 灵敏 度 分析8 最优 Z8值 20
分析
• 从以上计算结果表明，增加一个单位b1（劳动力数量）会使总利 润增加，但在实际经济工作中，b1增加不可能是无限的，因为劳 动力增加太多，而其他条件不变时，势必造成劳动力过剩，影响 生产率，进而影响利润率，即Cj会变化，因此，b1的变化也是有 范围的。
运筹学单纯形法的灵敏度分析
8
• 所以，丙产品单位利润的变动范围是c3<4；
• 讨论： • 假设此时c3增加到6元，产量应为多少？
运筹学单纯形法的灵敏度分析
9
C3已超出变动范围
• 代入单纯形表 最后一段 继续计算。
段
Cj ↓
→ 基
0 b
23 x1 x2
6 x3
0 0 Qi x4 x5
2
x1
1
1
0 （-1） 4 -1
但变量值发生变动（产量变化），最优值也会变动
（总利润变化），即运筹学单纯形法的灵敏度分析
23
x1 4 b1 3 x 2 b1 3 x3 0
Z 2 x1 3 x2
2 4 b1 3 3 b1 3
• 如上例中x1、x2为基变量，则甲、乙产品单位利润变化，将影 响除甲、乙外其他变量的检验数。
运筹学单纯形法的灵敏度分析
6
（一）非基变量目标函数系数的改变
• 上例中，x1、x2为基变量，x3为非基变量，它的最优解为x3=0， 既不安排生产。为什么不生产丙产品呢？因为x3所对应的检 验数Cj-Zj不是绝对值最大者，无法调入成为基变量。
最优 ZC B 值 b运筹2 学单纯3 形法 的1 2 灵敏 度 分析8 最优 Z8值 20
分析
• 从以上计算结果表明，增加一个单位b1（劳动力数量）会使总利 润增加，但在实际经济工作中，b1增加不可能是无限的，因为劳 动力增加太多，而其他条件不变时，势必造成劳动力过剩，影响 生产率，进而影响利润率，即Cj会变化，因此，b1的变化也是有 范围的。
运筹学单纯形法的灵敏度分析
8
• 所以，丙产品单位利润的变动范围是c3<4；
• 讨论： • 假设此时c3增加到6元，产量应为多少？
运筹学单纯形法的灵敏度分析
9
C3已超出变动范围
• 代入单纯形表 最后一段 继续计算。
段
Cj ↓
→ 基
0 b
23 x1 x2
6 x3
0 0 Qi x4 x5
2
x1
1
1
0 （-1） 4 -1
但变量值发生变动（产量变化），最优值也会变动
（总利润变化），即运筹学单纯形法的灵敏度分析
23
x1 4 b1 3 x 2 b1 3 x3 0
Z 2 x1 3 x2
2 4 b1 3 3 b1 3
敏感性分析(运筹学) ppt课件
ppt课件 12:44 36
百分之百法则的作用
可用于确定在保持最优解不变的条件下，目标 函 数系数的变动范围 百分百法则通过将允许的增加或减少值在各个 系数之间分摊，从而可以直接显示出每个系数 的允许变动值 线性规划研究结束以后，如果将来条件变 化 ，致使目标函数中一部分或所有系数都发生变 动，百分百法则可以直接表明最初最优解是否 保持不变
ppt课件
10
资源定价的决策方案
例：某厂生产甲乙产品，（1）如何安排每周的利润为最大? 甲 乙 资源成本 资源拥有量
原材料 (kg) 设备 (工时) 电力 (度)
销售价格(元)
9 4 3
390
4 5 10
352
20 50 1
360 200 300
（2）如果企业可以不生产，那资源出让如何定价？
1、最优生产决策
12:44
椅
Profit = $15/Chair
ppt课件 23
自己动手
拼装玩具生产
如果桌子的利润是$35，最优解会怎样变化呢？ 如果又有一个额外的大块，会增加总利润吗？ 如果桌子和椅子构成改变，最优解会变化吗？ 如果还有一些原材料，你愿意以多大的代价购买呢？ 你怎么来分析这些问题？
ppt课件 12:44
原问题（求极小） 右边 －3 －6 －2 0 0 2 －1 0
y1
y2 y3
7
－1 0
－ 3
6
maxT 7 y1 y2 s.t. 2 y1 16 y2 7 y3 1 3 y1 7 y y 2 y3 0 ppt课件 y1 , y2 , y3 0
如果决策者考虑自己不生产甲乙两种产品，而把原拟用于生产 这两种产品的原材料、设备工时、电量资源全部出售给外单位， 或者做代加工，则应如何确定这三种资源的价格。 设原材料的单位出让获利为y1，设备工时的单位出让获利为y2， 电量的单位出让获利为y3 。 出让决策的线性规划模型：
百分之百法则的作用
可用于确定在保持最优解不变的条件下，目标 函 数系数的变动范围 百分百法则通过将允许的增加或减少值在各个 系数之间分摊，从而可以直接显示出每个系数 的允许变动值 线性规划研究结束以后，如果将来条件变 化 ，致使目标函数中一部分或所有系数都发生变 动，百分百法则可以直接表明最初最优解是否 保持不变
ppt课件
10
资源定价的决策方案
例：某厂生产甲乙产品，（1）如何安排每周的利润为最大? 甲 乙 资源成本 资源拥有量
原材料 (kg) 设备 (工时) 电力 (度)
销售价格(元)
9 4 3
390
4 5 10
352
20 50 1
360 200 300
（2）如果企业可以不生产，那资源出让如何定价？
1、最优生产决策
12:44
椅
Profit = $15/Chair
ppt课件 23
自己动手
拼装玩具生产
如果桌子的利润是$35，最优解会怎样变化呢？ 如果又有一个额外的大块，会增加总利润吗？ 如果桌子和椅子构成改变，最优解会变化吗？ 如果还有一些原材料，你愿意以多大的代价购买呢？ 你怎么来分析这些问题？
ppt课件 12:44
原问题（求极小） 右边 －3 －6 －2 0 0 2 －1 0
y1
y2 y3
7
－1 0
－ 3
6
maxT 7 y1 y2 s.t. 2 y1 16 y2 7 y3 1 3 y1 7 y y 2 y3 0 ppt课件 y1 , y2 , y3 0
如果决策者考虑自己不生产甲乙两种产品，而把原拟用于生产 这两种产品的原材料、设备工时、电量资源全部出售给外单位， 或者做代加工，则应如何确定这三种资源的价格。 设原材料的单位出让获利为y1，设备工时的单位出让获利为y2， 电量的单位出让获利为y3 。 出让决策的线性规划模型：
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运筹学
第9讲：灵敏度分析(续)和LP作业讲解
检查变化后的原问题及对偶问题是否仍为可行解
cj →
… b
cB
XB
…
……
A
bi
δj
① b≥0， δ≤0，最优基不变， XB即为最优解
② b≥0， 存在δj>0，采用单纯形法继续求解 ③ 存在bi<0，而 δ≤0，采用对偶单纯形法继续求解 ④ 存在bi<0，同时δj>0，需要进行调整，采用大M法
第9讲：灵敏度分析(续)和LP 作业讲解
浙江工业大学经贸管理学院 曹柬
运筹学
第9讲：灵敏度分析(续)和LP作业讲解
一、灵敏度分析基本原理描述
P38：例3.6
某公司生产甲、乙、丙、丁四种产品，已知制造单件产品时分
别占用的设备A、B的台时，设备A、B每天可用于生产的能力 以及单件产品的收益情况如下表所示。问该公司应该如何制定 最优生产计划？
理论地讲：
运筹学
第9讲：灵敏度分析(续)和LP作业讲解
1、将参数的变化反映到最终单纯形表上来：
b'B1b Pj ' B1Pj
2、检查变化后的原问题及对偶问题是否仍为可行解
① 原问题有可行解（b≥0）, 对偶问题有可行解（δ≤0），最优基不变 ② 原问题有可行解（b≥0）, 对偶问题无可行解（存在δj>0），采用单
增加约束条件相当于添加一道工序。 将原问题最优解代入该约束条件，若成立，则最优解不变；否则，
B1P 1 3255
253 1 3520P 1'
XB*B 1b 3 255
2520 4 35 20 4
所以，可以将参数的变化反映到原问题的最终单纯形表上：
b'B1b
Pj ' B1Pj
为使最优生产计划不变，则δ3, δ4 ,δ5, δ6 ≤0，得到
乙的收益c2变化范围应满足：
8 3
c2
6
运筹学
第9讲：灵敏度分析(续)和LP作业讲解
3.5.2 资源约束系数 bi 变化的灵敏度分析
∆b 的变化将引起 ∆b’的变化，最终出现①、③两种情况
P45:例3.12
(1) 若设备B每天可用能力不变，设备A每天可用能力增加到25小 时，最优解如何变化？
2
1
设备B（h） 2
3
2
单件利润(元) 4 →3 3 →5 1
丁 每天可用能力
2
20
1
20
2
解：将c1、c2的收益变化情况直接反映到原问题的最终单纯形表上，得到
cj
CB
XB
3
x1
5
x2
j
2
x4
5
x2
j
3
5
1
2
0
0
b
x1
x2
x3
x4
x5
x6
4
1
0 -1/5 [4/5] 3/5 -2/5
4
0
1 4/5 -1/5 -2/5 3/5
运筹学
第9讲：灵敏度分析(续)和LP作业讲解
假设生产戊x7件，P7’为x7在原最终单纯形表上的对应列向量。
P7'B1P732//55
2/5 2 25 3/5225
运筹学
第9讲：灵敏度分析(续)和LP作业讲解
3.5.4 增加一个约束条件的灵敏度分析
(2) 若设备A每天可用能力不变，设备B每天可用能力增加到40小 时，最优解如何变化？
(3) 若设备A每天可用能力不变，设备B每天可用能力在什么范围 内变化时，最优基保持不变？
运筹学
第9讲：灵敏度分析(续)和LP作业讲解
3.5.3 增加新变量 xj 的灵敏度分析
产品
增加新变量反映为增加一种新产品，分析步骤为： 收益
项目
甲 乙 丙 丁 每天可用能力
设备A（h） 3
2
1
2
20
设备B（h） 2
3
2
1
20
单件利润(元) 4
3
1
2
最终单纯形表为：
cj →
4
cB
XB
Байду номын сангаас
x1
4
x1
1
3
x2
0
δj (3)
0
运筹学
第9讲：灵敏度分析(续)和LP作业讲解
31200
b
x2
x3
x4
x5
x6
0 -1/5 4/5 3/5 -2/5 4
1 4/5 -1/5 -2/5 3/5 4
纯形法继续求解
③ 原问题无可行解（存在bi<0）, 对偶问题有可行解（ δ≤0 ），采用对
偶单纯形法继续求解
④ 原问题无可行解（存在bi<0）, 对偶问题无可行解（存在δj>0），设 法使bi>0，并引入人工变量，采用大M 法继续求解
运筹学
第9讲：灵敏度分析(续)和LP作业讲解
3.5.1 利益系数cj 变化的灵敏度分析
0
0 -12/5 3/5 1/5 -9/5
5 5/4 0 -1/4 1 3/4 -1/2
5
1/4
1
3/4
0 -1/4 1/2
-3/4 0 -9/4 0 -1/4 -3/2
若δ≤0，说明最优生产计划不变，但总利润可能发生变化 两种资源的影子价格也发生变化，y1*=1/4，y2*=3/2
(2) 解：设乙的收益c2直接反映到原问题的最终单纯形表中，得到
P46-例3.13：若该公司又计划推出新产品戊，生产一件戊所需
设备A、B分别为2h和2h，该产品的预期盈利为6元/件，试分 析该产品是否值得投产；如投产，对该公司的最优生产计划有 何变化。
项目
甲 乙 丙 丁 戊 每天可用能力
设备A（h） 3 2 1 2 2
20
设备B（h） 2 3 2 1 2
20
单件利润(元) 4 3 1 2 6
cj 的变化仅仅影响到检验数δj ＝cj －zj 的变化，所以只需将cj
的变化反映到最终单纯形表中，其结果是出现①、②两种情况
P44：例3.11 (1) 若家电甲、乙的收益分别改为3和5元/件，
最优生产计划有何变化；(2) 乙的收益c2在什么范围内变化时，
原先的最优生产计划不变。
项目
甲乙丙
设备A（h） 3
0 -3/5 -3/5 -6/5 -1/5
B 1(P 1,P 2) 1(P 5',P 6') 3 2 5 5 3 25 5
最优基B的逆矩阵：B-1为最终单纯形表中的最右边的一个方阵
运筹学
第9讲：灵敏度分析(续)和LP作业讲解
Pj ' B1Pj XB*B1XB
m
① 计算 j 'cj zj cj aijyi* i1
② 若 δj’≤0，不投产，最优解不变
产品成本=(所需资源数量 ×资源影子价格)的累加
③ 若 δj’> 0，计算Pj’=B -1Pj ，并反映到原问题的最终单
纯形表中，结果出现①、②两种情况
运筹学
第9讲：灵敏度分析(续)和LP作业讲解