数形结合思想的内涵及其在小学数学教学中的渗透

“数形结合”思想的内涵、发展及其在小学数学教学中的渗透

刘加霞

（北京教育学院，100011）

在深入教学现场听评课的过程中，在阅读各类期刊杂志的过程中，经常听到或看到“数形结合”这一词汇，老师们都试图在教学中渗透这一思想。确实，“数形结合”是重要的数学思想，也是解决数学问题的有效方法，但审慎观之，却发现有很多老师对“数形结合”的认识有误区：有的“数形结合”至多只是利用形象的直观模型来理解抽象的数学概念与数学概念之间的关系，有的则根本不是渗透“数形结合”思想。

那么，小学数学教师对“数形结合”思想的理解与运用有哪些误区？“数形结合”思想的内涵是什么？其发展脉络与价值是什么？在小学数学教学中有哪些知识点可以渗透“数形结合”思想？

一、借助“直观模型”理解抽象数学内容是渗透“数形结合”思想吗？

借助于直观形象模型理解抽象的数学概念以及抽象的数量关系是小学生学习数学的重要方法，但这一方法与数学意义上的“数形结合”方法的内涵不一致，它至多只能是“数形结合”方法的雏形。例如：

1．“有余数除法的认识”中渗透的是“数形结合”思想吗？

有很多教师在有余数除法的教学中经常设计这样的教学活动：有13个奖片（或者其他物品），每个小朋友分4个，能分给多少个小朋友？

先是学生动手操作，分“模拟”奖片来理解算理，然后利用“圈一圈”活动进一步理解算理，借助于“形”来理解抽象的算式中每个数与运算符号的意义，建立“形”与有余数除法算式之间的联系，渗透“数形结合”思想，如下图：

13÷4=3 (1)

在教学四则运算意义时，教师都会创设与此类似的教学活动，而且明确指出该活动的另一个目的就是渗透“数形结合”思想。可以说，上述教学活动对于学生理解除法，尤其是余数的意义非常重要，动手操作与“圈一圈”是非常有价值的数学活动，但在上述活动中并没有渗透数学意义上的“数形结合”思想。

2．利用“集合图”理解概念之间的关系是渗透数学的思想方法吗？

数学概念是数学大厦的基石，数学概念之间有着千丝万缕的联系，建构数学概念之间的联系即画“概念图”是学习数学的重要方法。例如，有的老师在整理“因数与倍数”这个单元时，画了如下的“集合图”来帮助区分、理解概念之间的关系，同时老师也强调说这是

渗透“数形结合”思想。

同样地，这仍不是数学意义上的“数形结合”思想。与此类似的案例还有很多，既然这些不应该看作数形结合思想，那什么是数形结合思想？小学数学教学中能渗透数学结合思想吗？

二、“数形结合”思想的内涵与发展脉络

“数”与“形”是数学研究的两个基本对象，利用“数形结合”方法能使“数”和“形”统一起来，借助于“形”的直观来理解抽象的“数”、运用“数”与“式”来细致、入微地刻画“形”的特征，直观与抽象相互配合，取长补短，从而顺利、有效地解决问题。

1．“数形结合”思想的内涵

“数形结合”一词正式出现在华罗庚先生于1964年1月撰写的《谈谈与蜂房结构有关数学问题》的科普小册子中，书中有一首小词：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数无形时少直觉，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事非；切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！”

“数无形时少直觉，形少数时难入微”形象生动、深刻地指明了“数形结合”思想的价值，也揭示了数形结合思想的本质。在这里，“数”主要指数、数量关系式、运算式、函数关系式、方程等，其核心是抽象的代数式、函数解析式、方程；“形”则主要指几何图形与直角坐标系下的函数图象，对于“几何图形”，我们考虑的是几何图形的形状与大小，例如有几条边、几个角、各边之间的位置关系、边的长度与所围图形的面积等度量特征。对于函数图象，我们考虑的是图象的发展趋势、增长（下跌）的快慢、弯曲程度等。

理解抽象的数、数量关系与函数关系式不能脱离直观的图形与图象，同时对几何图形的认识与理解也不能离开从数量上刻画图形的大小、形状，例如边长是4厘米、面积是14平方厘米、两条边成45度角等都是运用“数”来刻画图形的度量特征。对函数图象也需要做“细致入微”的分析，例如，每一点处的坐标是多少、斜率是多少，两点之间的长度是多少等都能通过抽象的公式计算出来。通过“数”与“形”的结合，我们对事物、对规律的把握就能既容易又把握得细微、深刻。

“数形结合”的方法就是把数学问题中的运算、数量关系等与几何图形与图象结合起来进行思考，从而使“数”与“形”各展其长，优势互补，相辅相成，使逻辑思维与形象思维完美的统一起来。

2．“数形结合”思想的历史演进

数的产生源于计数，是对具体物体个数的计数，从而产生数的概念。产生数的概念之后，

在古代各种各样的计数法中，都是以具体的“图形”来表示抽象的“数”，直到出现表示“数”的各种抽象符号，“数”才脱去了“形”的束缚，使得数的表示更便捷、简约，从而极大地拓展了人们对数的认识和应用。（见本刊2007年11、12期《自然数概念的形成与发展及其对教学的启示》）中国的算筹和算盘可算是历史最长的计数工具，可以看作是“数形结合”的雏形。

真正将“数”与“形”结合起来的当属古希腊的毕达哥拉斯学派，毕达哥拉斯学派在研究“数”时，就常常把“数”同沙砾或画在平面上的“点”联系起来，按照沙砾或点子的形状将数进行分类，进而结合图形性质推出数的性质。如下面几副图分别是三角形数，正方形数，五边形数和数与数之间的相互表达：任何一个正方形数都是两个相继的三角形数之和。第n 个五边形数等于第（n －1）个三角形的3倍加上n 。像这类研究使他们获得了关于整数的许多简明的结果。“形”推动了“数”的发展，这是早期“数”与“形”相结合的体现。

图2 正方形数n S n 2

=

图3 五边形数

2

)13(-=n n P n

图4=S n T n + T n-1 1+3+5+…（2n-1）=n 2 n 2=(n-1)2+2n-1

或(n+1)2= n 2+2n+1

图5 n T P n n +=-31

（上述这些图是否采用，请编辑定夺）

古希腊亚历山大时期的欧几里得就是以“几何”的方法来研究代数问题，任何代数问题都要转化为几何问题来解决是古希腊数学的一个特色，他们坚信所有的数都能用几何方法处理。例如，用一段线段的长度代表数1，其他数都依据这段长度来表示，为了表示2，他们就使用两直角边是一个单位长度的直角三角形的斜边的长度。两个数的乘积，例如3和5的乘积，表示成几何形式就是具有长、宽为3和5的矩形的面积。而4个数的乘积是不可思议的，因为没有相应的集合图形表示4个数的乘积。两数相加看成是一线段的延长，相减说成是从一线段割去另一线段之长1。

在“形”的相互关系的比较、度量中，促进了数的概念的发展，其典型例子是无理数的发现，但是古希腊数学的以“几何”为工具来解决代数问题，阻碍了古希腊数学的发展，正如弗赖登塔尔所说“‘几何代数’，这是一种方法论上的教条主义与对严密性作狂热追求相结合的不切实际的产物，它是一种瘟疫，一种终于扼杀了希腊数学的瘟疫2”。当然出现这一现状是历史的必然，因为这一切受制于当时人类的认知发展特点（相当于儿童的认知特点），以具体形象思维为主。

当摆脱了“几何”的直观，数学终于又在阿拉伯、印度等地获得了大发展，代数发展达到新的辉煌程度。到十七世纪笛卡尔创立了解析几何学，即用代数的方法来研究几何问题，代数与几何或者说“数”与“形”又再一次结合起来，而且达到了至善至美的地步，数学又获得了空前的发展。

数轴的建立使人类对“形”与“数”的统一有了初步的认识，把实数与数轴上的点一一

1

M.克莱因，《西方文化中的数学》复旦大学出版社，2005年，第37页。 2 弗赖登塔尔，《作为教育任务的数学》上海教育出版社，1994年，第5页。