第七章无穷级数资料

第七章 无穷级数(无穷离散量之和的数学模型)

无穷级数的理论在高等数学中占有重要地位。它是与数列、极限密切相关的一个概念，它几乎与微积分同时诞生，牛顿就曾把二项式级数作为研究微积分的工具；为了解决微积分诞生时混乱的逻辑基础，拉格朗日也曾试图用无穷级数重建微积分理论，但由于当时对无穷级数认识的粗糙性，均未获成功。无穷级数之所以难以捉摸是由于它与无穷（或无限）纠缠在一起。随着运动和变量进入数学，无穷这个孪生鬼怪也同时降生，当时的数学家尽量避免无限，免得像阿基里斯追不上兔子一样困惑恼人。直到19世纪中叶，才由大数学家Cauchy 揭开了无限的面纱，建立起无穷级数的严格理论。

所谓无穷级数就是无穷多个数或函数之和，它是研究无限离散量之和的数学模型，是人们认识客观事物间数量关系的一个很重要的数学工具，是数学分析的重要内容之一，是现代数学的重要方法已被广泛应用到了数学自身，以及自然科学和社会科学的各个领域。它是高等数学中研究函数性质的一个重要工具，它可以表达一个函数（或数），也可以将一些复杂的量表示成简单量的无穷和，从而得到复杂量实用的近似计算公式。我们将利用无限与有限的辩证关系，以极限为工具建立级数理论。

我们将级数分为两大类来研究，常数项级数（也简称为数项级数）和函数项级数，我们先介绍数项级数。

§1 常数项级数的概念与性质

一、数项级数的概念

1、实例 已知线段AB ，设其长为S ，取A 1为AB 的中点，A 2为A 1B 的中点，…，依次取下去，A n 为A n-1B 的中点，则n 可无限增大，记各线段长度为

,,,,,122111 n n n a A A a A A a AA ===- 则得各部分线段的长度数列

,,,,21n a a a ，

其中S a n n 2

1=. 将这无穷多个数依次用加号连接，得到的应是线段的总长度表达式

++++=n a a a S 21.

这里出现了无穷多个数依次相加的式子，在物理、化学等许多学科中，常能遇到这种无穷多个数或函数相加的情形，在数学上给出其定义，即

2、定义1 设有数列}{n u ，则称式子

++++n u u u 21

为（常数项）无穷级数，简称为（数项）级数，其中依次叫做级数的第1项，第2项，…，u

n 又叫做级数的一般项或

通项，利用通项级数可简记为∑∞

=1

n n u ，即

++++=∑∞

=

n n n u u u u 211

. (1) 例如

+++++n 21814121——等比(或几何)级数， n n u 2

1=，即有 ∑=∞=121,21,,81,41,21n n n .

++++n 21 ， n u n =， 即有 ∑=++++=

n

n n n 1

21 .

+-+-1111———波尔察诺级数， 1)1(+

-=n n u ， 即有 ∑-=+-+-∞=+1

1)1(1111n n .

注 我们只有有限多个数相加的定义，并没有无穷多个数相加的定义，因而上述定义只是形式上的定义，例如波尔察诺级数：

设 +-+-+=11111x ， 则 0)11()11(=+-+-= x ；

1)11()11(1=-----= x ； 2

11)1111(1=⇒

-=+-+--=x x

x .

没有一个确定的数值与之对应，这是数学的精确度不可靠，还是解法有问题？是Cauchy 指出以上解法犯了“墨守成规”的错误，即把“有限运算的结合律以及有限项相加总存在和”等观念照搬到无限项的运算中去了，这一论断澄清了当时对无限运算的糊涂观念。那么如何定义无穷多个数的相加？如何求其和？我们再回过头看刚才的实例：

对任意的自然数n ，显然线段n AA 的长n AA 为级数}{n a 的前n 项的和，即

S S S S S a a a AA n n

n n n )211(2

11211212

1412121-=--=

+++=+++= ， 则应有式子 S S AA n n n n =-=∞

→∞→)2

11(lim lim ， 这表明，线段的总长可以用级数}{n a 的前n 项和的极限表示，即

S a a a AA a a a n n n n n =+++==++++∞→∞→)(lim lim 21

21 . 受此启发，我们给出无穷级数和的定义。

定义 记级数(1)前n 项的和为n S ，并称数列 ,,,,

2121211n n u u u S u u S u S +++=+==

为级数(1)的部分和数列。

定义2 若级数(1)的部分和数列}{n S 收敛，则称级数(1)是收敛的，且若S S n n =∞

→lim ，就称S 是级数(1)的和，即有 S S u n n n n ==∑∞

→∞

=lim 1

； 若级数(1)的部分和数列}{n S 发散，称级数(1)是发散的。

注 由定义可看出，级数是否有和的问题是转化为判定其部分和数列收敛性问题，即级数的敛散问题就是一种特殊数列的敛散问题。

例1 判定级数 ++++⋅+⋅)1(13

21211n n 的敛散性。 解 ∵ 111

)1(1+-=+=n n n n u n ，

∴ 111)111()3121()211()1(13

21211+-=+-++-+-=+++⋅+⋅=n n n n n S n ， 又∵ 1)111(lim lim =+-=∞→∞

→n S n n n

， ∴ 级数收敛且和为1. 例2 证明公比为q 的几何级数

)0(111≠++++=∑-∞

=-a aq aq a aq n n n

当1

证 当1=q 时， 若q = 1， 则 ∵ a n S n =， ∴ ∞=∞

→n n S lim ； 若q = -1， 则 ∵ ⎩⎨⎧=，

为偶数，为奇数；，n n a S n 0 ∴ n n

S ∞→lim 不存在。 当1≠q 时， ∵ q

q a q q a S n

n n --

=+++=-11)1(1 ，

∴ 若1

n -=∞→1lim ； 若1>q ，则.

∞=∞→n

n S lim

由以上讨论知：当1

q

a

-1为；当1≥q 时，几何级数发散。 例3 证明调和级数