天津大学工程数学基础新版习题答案.pdf

4.
证
设 Y D
是线性空间
X的一族子空间ຫໍສະໝຸດ 要证DY也是X的线性子空间
.显然
D
Y
，z
只需证明
D
Y
对X的线性运算是封闭的.
事实上，x,
y
D
Y
及
, ,从而对每一个 D ,
有
x,
y
Y
,故
x
y
Y
,
x
Y
.于是,
x
y
D
Y
,
x
D
Y
.因此,
D
Y
是
X
的线性子空间.
5. 证 显然W包含零多项式,故非空；又f , g W,及 ，有
(2)y1, y2 Y及1, 2 , x1, x2 X ,s.t.y1 Tx1, y2 Tx2 ,即x1 T 1( y1), x2 T 1( y2 ).于是有
T 1(1 y1 +2 y2 ) T 1[1T (x1) 2T (x2 )] T 1[T (1x1 2 x2 )] 1x1 2 x2 1T 1( y1) 2T 1( y2 ),
故T 1 : Y X是线性的. 7. 解 首先验证: 22 22是线性的,然后求其在即B下的矩阵A.
X1, X2 22 ,k1, k2 ,由的定义，有
( B
1 0
0 0 1 0 0 0 , 0 0 , 1 0 , 0
(k1 X1 +k2 X2 ) A0 (k1 X1 +k2 X2 ) k1 A0 X1 +k2 A0 X2 k1 (X1)+k2 (X2 ),
故: 22 22是线性的.
)0 0
1
关键是求基元E1
1
1 0
0 0,
E 1 2
0 0
1 0
,
E
2 1
0 1
00, E
2 2
0 0
的10像 在基
下B的坐标：
3
E11
a c
b 1 d 0
0 0
a c
0
0
aE11
0E12
cE21
0E22 ,即
E11
a
0
c
0T ,
E12
a c
b 0 d 0
1 0
n1
2
1 n
,
2
1 n
(2, 2) .
[ ] [ ] 另一方面, x (2, 2) , k
,使 x
2
1 k
,
2
1 k
,故 x
n1
2
1 n
,
2
1 n
,于是
(2,
2)
[2
1 n
,
2
1 n
]
.
n1
[ ]
因此, (2, 2)
2 1 , 2 1 .
n1
nn
（2） n
,有 [2,
2] (2
f : x x2 ,取A [2, 0], B [1, 3],则A B [1, 0]. 于是f (A B) f ([1,0]) [0, 1], 而
f (A) f (B) 0, 4[0, 9] 0, 4. 从而有
.
[ ] [ ] 2. 证（1）n
,有
2
1 n
,
2
1 n
(2, 2) ,故
所以,W是Pn[0, 1]的线性子空间.
f
W
Pn [0,
1],设f
(x)
an xn
a xn1 n1
a1x a0 ,则f (x) nan xn1
2a2 x a1.由
f
(0)
f
(0)
0, 得a1
a0
0,即a0
a1 , 故f
(x)
an xn
a xn1 n1
a2 x2 a1(x 1).
工程数学基础
习题解答
1
习题一 A
一、判断题 1.√；，2.√；3.×；4.×；5.×；6.×；7.×；8.√；9.√；10.×.
二、填空题
1. AC BC ; 2. D( f ) {1, 2,3, 4},R ( f ) {a,b, e}, f (A1) {a,b, e}, f 1(B) {1, 4}, f 1(b) {2,3};
由上可知,(x 1, x2 , x3, , xn )是W的一个基,故dimW n.
6. (1“) ”:因为T是线性的,故有T(0) 0.于是,若T(x) 0,则由T 1存在知T是单射,从而有x 0. “”:要证T 1存在,只需证明T是单射：
x1, x2 X ,当T (x1) T (x2 ),即T (x1 x2 ) T (x1) T (x2 ) 0时,由条件得x1 x2 0,即x1 x2 ,故T是单射.
当 f 是单射时,只需证明 f (A) f (B) f (A B) 即可：
y f( A) f( B) R ( f由) f, 是单射知 1x X ,使得 y f( x) . y f( 且A) , y f( B) ,
x A且x B,即x A B,从而y f (x) f (A B), 故 f (A) f (B) f (A B) . 是可能的，例如,
3.满; 4. sup E 2 , inf E 3; 5. 0 ; 6.0; 7. n ; 8.Y .
B
1. 证 y f (A B) , x A B 使 得 y f (x) . 由 x A B , 得 x A , 且 x B 故 y f (x) f (A) 且 y f (B) ,即 y f (A) f (B) ,因此 f (A B) f (A) f (B) .
( f g)(0) ( f g)(0) f (0) g(0) f (0) g(0) [ f (0) f (0)] [g(0) g(0)] 0 0 0,即 f g W;( f )(0) ( f )(0) f (0) f (0) [ f (0) f (0)] 0 0,即 f W.
0 0
a
c
0E11
aE12
0E21
cE22
,即
E12
0
a
0
cT ,
E21
a c
b 0 d 1
0 0
b d
0
0
bE11
0E12
dE21
0E22 ,即
E21
b
0
d
0T ,
E22
a c
b 0 d 0
0 1
0 0
b
d
0E11
bE12
0E21
kk
n1
n
n
n1
nn
因此,[2,2] (2 1 ,2 1 ) . nn n1
3. 证 设sup A ,且sup A ,要证sup A唯一,只需证明 即可.
因为 sup A是最小上界,而是A的上界,故 ,又因为 sup A是最小上界,而是 A的上界,故 ;因此 .
类似地可以证明inf A是唯一的.
1 n
,
2
1 n
)
,故
[2,
2]
(2
n1
1 n
,
2
1 n
)
.
另 一 方 面 , 对 任 意 x [2, 2] , 即 x 2 , k
,使得
x
2
1 k
2
,即
2
x (2 1 , 2 1 ) ,从而 x (2 1 , 2 1 ) ，故 (2 1 , 2 1 ) [2,2].