2018年四川省广安市、眉山市高考数学一诊试卷理科数学试题

2018年四川省广安市、眉山市高考数学一诊试卷(理科)
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(5分)已知集合A＝{x|x＞1},函数y＝lg(2﹣x)的定义域为B,则()
A.A∪B＝{x|1＜x＜2}
B.A∪B＝R
C.A∩B＝{x|x＞1}
D.A∩B＝{x|x＜2}
2.(5分)若z＝1＋i,则＝()
A.﹣i
B.,
C.﹣1
D.1
3.(5分)执行如图所示的程序框图,若输出的y＝2,则输入的x＝()
A.1
B.2
C.4
D.1或4
4.(5分)(x﹣y)(x＋y)5的展开式中,x2y4的系数为()
A.﹣10
B.﹣5
C.5
D.10
5.(5分)为了解某高校学生使用手机支付和现金支付的情况,抽取了部分学生作为样本,统计其喜欢的支付方式,并制作出如下等高条形图：
根据图中的信息,下列结论中不正确的是()
A.样本中的男生数量多于女生数量
B.样本中喜欢手机支付的数量多于现金支付的数量
C.样本中多数男生喜欢手机支付
D.样本中多数女生喜欢现金支付
6.(5分)已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D在边BC上,且BD＝2DC,则
的值为()
A. B. C. D.
7.(5分)若将函数的图象向左平移个单位长度,则平移后图象的对称轴方程为()
A. B. C.
D.
8.(5分)从0,1,2,3这4个数字中选3个数字组成没有重复数字的三位数,则该三位数能被3整除的概率为()
A. B. C. D.
9.(5分)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(﹣x),当0≤x≤3时,f(x)＝|x﹣2|；当x≥3时,f(x)＝f(x﹣2),则函数y＝f(x)﹣|ln|x||的零点个数是()
A.1
B.2
C.4
D.6
10.(5分)已知椭圆的左焦点为F1,y轴上的点P在椭圆外,且线段PF1与椭圆E交于点M,若,则E椭圆的离心率为()
A. B. C. D.
11.(5分)已知SC是球O的直径,A,B是球O球面上的两点,且,若三棱锥S﹣ABC的体积为1,则球O的表面积为()
A.4π
B.13π
C.16π
D.52π
12.(5分)已知函数f(x)＝(x2﹣x﹣1)e x,设关于x的方程有n 个不同的实数解,则n的所有可能的值为()
A.3
B.1或3
C.4或6
D.3或4或6
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.(5分)已知,则＝.
14.(5分)已知直线l：y＝kx＋2与圆C：x2＋y2﹣2x﹣2y＝0相交于A,B两点,若
,则实数k的值为.
15.(5分)如图,已知A,B是函数f(x)＝log2(16x)图象上的两点,C是函数g(x)＝log2x 图象上的一点,且直线BC垂直于x轴,若△ABC是等腰直角三角形(其中A为直角顶点),则点A的横坐标为.
16.(5分)如图,表示正方体表面的一种展开图,则其中的四条线段AB,CD,EF,GH在原正方体中为异面直线且所成角为60°的有对.
三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(12分)已知数列{a n}的前n项和为S n,a1＝1,且.
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)设数列的前n项和为T n,求满足不等式的最小正整数n.
18.(12分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为
.
(1)求a；
(2)求sinB＋sinC的值.
19.(12分)全民健身倡导全民做到每天参加一次以上的体育健身活动,旨在全面提
高国民体质和健康水平.某部门在该市2011﹣2016年发布的全民健身指数中,其中的“运动参与”的评分值进行了统计,制成如图所示的散点图：
(1)根据散点图,建立y关于t的回归方程＝t；
(2)从该市的市民中随机抽取了容量为120的样本,其中经常参加体育锻炼的人数为40,以频率为概率,若从这120名市民中随机抽取4人,记其中“经常参加体育锻炼”的人数为X,求X的分布列和数学期望.
附：对于一组数据(t1,y1),(t2,y2),…,(t n,y n),其回归直线＝t的斜率和截距的最小
二乘估计公式分别为：＝,＝.
20.(12分)如图,ABCD是菱形,∠ABC＝60°,AC与BD相交于点O,平面AEFC⊥平面ABCD,且AEFC是直角梯形,∠EAC＝90°,CF∥AE,AE＝AB＝2,CF＝4.
(1)求证：BD⊥EF；
(2)求二面角B﹣DE﹣F的余弦值.
21.(12分)已知函数.
(1)当a≥0时,求函数f(x)的极值；
(2)若函数f(x)有两个零点x1,x2,求a的取值范围,并证明x1＋x2＞2.
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22.(10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数),其中
.以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣6cosθ＋4＝0.
(1)写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；
(2)已知曲线C2与C1交于两点,记点A,B相应的参数分别为t1,t2,当t1＋t2＝0时,求|AB|的值.
[选修4-5：不等式选讲]
23.已知不等式|2x＋1|＋|x﹣1|＜3的解集M.
(1)求M；
(2)若m,n∈M,求证：.
2018年四川省广安市、眉山市高考数学一诊试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(5分)已知集合A＝{x|x＞1},函数y＝lg(2﹣x)的定义域为B,则()
A.A∪B＝{x|1＜x＜2}
B.A∪B＝R
C.A∩B＝{x|x＞1}
D.A∩B＝{x|x＜2}
【解答】解：由A＝{x||x|＞1}＝[1,＋∞),由2﹣x＞0解得x＜2,即B＝(﹣∞,2).所以A∪B＝R,A∩B＝{x|1＜x＜2}.
观察选项,只有选项B符合题意.
故选：B.
2.(5分)若z＝1＋i,则＝()
A.﹣i
B.,
C.﹣1
D.1
【解答】解：∵z＝1＋i,
∴＝＝,
故选：B.
3.(5分)执行如图所示的程序框图,若输出的y＝2,则输入的x＝()
A.1
B.2
C.4
D.1或4
【解答】解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是计算并输出分段函数y
＝的值,
若y＝2,则x＝4,或x＝1,
故选：D
4.(5分)(x﹣y)(x＋y)5的展开式中,x2y4的系数为()
A.﹣10
B.﹣5
C.5
D.10
【解答】解：(x＋y)5的通项公式为：
T r＋1＝•x5﹣r•y r,
令5﹣r＝1,得r＝4；
令5﹣r＝2,得r＝3；
∴(x﹣y)(x＋y)5的展开式中x2y4的系数为：
×1＋(﹣1)×＝﹣5.
故选：B.
5.(5分)为了解某高校学生使用手机支付和现金支付的情况,抽取了部分学生作为样本,统计其喜欢的支付方式,并制作出如下等高条形图：
根据图中的信息,下列结论中不正确的是()
A.样本中的男生数量多于女生数量
B.样本中喜欢手机支付的数量多于现金支付的数量
C.样本中多数男生喜欢手机支付
D.样本中多数女生喜欢现金支付
【解答】解：由左图知,样本中的男生数量多于女生数量,A正确；
由右图知样本中喜欢手机支付的数量多于现金支付的数量,B正确；
由右图知,样本中多数男生喜欢手机支付,C正确；
由右图知样本中女生喜欢现金支付与手机支付的一样多,D错误.
故选：D.
6.(5分)已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D在边BC上,且BD＝2DC,则
的值为()
A. B. C. D.
【解答】解：＝•(＋)
＝2＋•
＝2＋•
＝1﹣×1×1×cos60°
＝1﹣×＝.
故选B.
7.(5分)若将函数的图象向左平移个单位长度,则平移后图象的对称轴方程为()
A. B. C.
D.
【解答】解：将函数＝2sin(2x＋)的图象向左平移个单位长度,可得y＝2sin(2x＋＋)＝2sin(2x＋)的图象,
令2x＋＝kπ＋,可得x＝﹣,k∈Z,
则平移后图象的对称轴方程为x＝﹣,k∈Z,
故选：A.
8.(5分)从0,1,2,3这4个数字中选3个数字组成没有重复数字的三位数,则该三位数能被3整除的概率为()
A. B. C. D.
【解答】解：从0,1,2,3这4个数字中选3个数字组成没有重复数字的三位数,基本事件总数n＝＝18,
该三位数能被3整除包含的基本事件个数：
m＝＝10,
∴该三位数能被3整除的概率为p＝.
故选：D.
9.(5分)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(﹣x),当0≤x≤3时,f(x)＝|x﹣2|；当x≥3时,f(x)＝f(x﹣2),则函数y＝f(x)﹣|ln|x||的零点个数是()
A.1
B.2
C.4
D.6
【解答】解：定义在R上的函数f(x)
满足f(x)＝f(﹣x),
可得f(x)为偶函数,
图象关于y轴对称,
又当0≤x≤3时,f(x)＝|x﹣2|；
当x≥3时,f(x)＝f(x﹣2),
可得x≥3时的图象,可将f(x)在[1,3]的图象向右平移2k(k为正整数)个单位；
在y轴左边的图象与右边的图象关于y轴对称,
作出f(x)的图象和函数y＝|ln|x||的图象,
可得它们有4个交点,
则函数y＝f(x)﹣|ln|x||的零点个数是4.
故选：C.
10.(5分)已知椭圆的左焦点为F1,y轴上的点P在椭圆外,且线段PF1与椭圆E交于点M,若,则E椭圆的离心率为()
A. B. C. D.
【解答】解：如图所示|OM|＝|MF1|＝|OP|,
不妨设|OP|＝,则|OM|＝|MF1|＝1,
设∠MF1O＝θ,
在△MOF1中由余弦定理可得cosθ＝＝＝,
∴sinθ＝＝,
∴tanθ＝＝＝,
∵tanθ＝＝,
∴＝,
解得c＝1,
∴△MOF1为等边三角形,
∴M(﹣,),
∴＋＝1,①
∵a2﹣b2＝c2＝1,②,
由①②可得4a4﹣8a2＋1＝0,
解得a2＝＜1(舍去),a2＝,
∴a2＝＝＝()2,
∴a＝＝,
∴e＝＝＝﹣1,
故选：C.
11.(5分)已知SC是球O的直径,A,B是球O球面上的两点,且,若三棱锥S﹣ABC的体积为1,则球O的表面积为()
A.4π
B.13π
C.16π
D.52π
【解答】解：∵SC是球O的直径,A,B是球O球面上的两点,且,∴∠SAC＝∠SBC＝90°,
cos∠ACB＝＝﹣,
∴∠ACB＝120°,∴∠CAB＝∠CBA＝30°,
∴∠ASB＝60°,∴SA＝SB＝AB＝,
∴SC＝＝2,
∴球半径R＝1,
∴球O的表面积S＝4πR2＝4π.
故选：A.
12.(5分)已知函数f(x)＝(x2﹣x﹣1)e x,设关于x的方程有n 个不同的实数解,则n的所有可能的值为()
A.3
B.1或3
C.4或6
D.3或4或6
【解答】解：f′(x)＝e x(2x﹣1)＋)＋(x2﹣x﹣1)e x＝e x(x2＋x﹣2),
∴当x＜﹣2或x＞1时,f′(x)＞0,当﹣2＜x＜1时,f′(x)＜0,
∴f(x)在(﹣∞,﹣2)上单调递增,在(﹣2,1)上单调递减,在(1,＋∞)上单调递增,
f(x)的极大值为f(﹣2)＝,f(x)的极小值为f(1)＝﹣e.
作出f(x)的函数图象如图所示：
∵,∴f2(x)﹣mf(x)﹣＝0,
△＝m2＋＞0,
令f(x)＝t则,则t1t2＝﹣.不妨设t1＜0＜t2,
(1)若t1＜﹣e,则0＜t2＜,此时f(x)＝t1无解,f(x)＝t2有三解；
(2)若t1＝﹣e,则t2＝,此时f(x)＝t1有一解,f(x)＝t2有两解；
(3)若﹣e＜t1＜0,则t2＞,此时f(x)＝t1有两解,f(x)＝t2有一解；
综上,f2(x)﹣mf(x)＝有三个不同的实数解.
故选：A.
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.(5分)已知,则＝.
【解答】解：∵,
∴＝＝.
故答案为：.
14.(5分)已知直线l：y＝kx＋2与圆C：x2＋y2﹣2x﹣2y＝0相交于A,B两点,若
,则实数k的值为﹣1.
【解答】1解：圆C：x2＋y2﹣2x﹣2y＝0,
转化为：(x﹣1)2＋(y﹣1)2＝2,
所以圆的直径为2.
由于|AB|＝2,
则：直线l：y＝kx＋2,经过圆心(1,1).
所以：1＝k＋2,
解得：k＝﹣1.
故答案为：﹣1.
15.(5分)如图,已知A,B是函数f(x)＝log2(16x)图象上的两点,C是函数g(x)＝log2x 图象上的一点,且直线BC垂直于x轴,若△ABC是等腰直角三角形(其中A为直角
顶点),则点A的横坐标为.
【解答】解：设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),
则y1＝log2(16x1),y2＝log2(16x2),
y3＝log2x3,x2＝x3,
△ABC是等腰直角三角形(其中A为直角顶点),
可得y2﹣y3＝2(x2﹣x1),
y2＋y3＝2y1,
即有log2(16x2)﹣log2x3＝2(x2﹣x1),
log2(16x2)＋log2x3＝2log2(16x1),
化简可得x2﹣x1＝2,
log2x2＝2＋log2x1,
即为2＋x1＝4x1,
解得x1＝,
故答案为：.
16.(5分)如图,表示正方体表面的一种展开图,则其中的四条线段AB,CD,EF,GH在原正方体中为异面直线且所成角为60°的有3对.
【解答】解：把正方体的展开图还原成正方体,如下图：
则四条线段AB,CD,EF,GH在原正方体中为异面直线且所成角为60°的有：
AB与CD,AB与GH、EF与GH,共3组.
故答案为：3.
三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(12分)已知数列{a n}的前n项和为S n,a1＝1,且.
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)设数列的前n项和为T n,求满足不等式的最小正整数n.
【解答】解：(1)由,
则：a n
﹣a n＝n＋1,又a1＝1,
＋1
)＋(a n﹣1﹣a n﹣2)＋…＋(a2﹣a1)＋a1＝所以n≥2时,a n＝(a n﹣a n
﹣1
.
当n＝1时,也满足,
所以数列{a n}的通项公式为.
(2)由(1)知,
所以
令,解得n≥19,
所以满足不等式的最小正整数n为19.
18.(12分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为
.
(1)求a；
(2)求sinB＋sinC的值.
【解答】解：(1)由△ABC的面积为,
得.
因,
所以,
所以,
得bc＝35,
又b﹣c＝2,
由余弦定理得：,
＝,
所以a＝8.
(2)法一：由(1)中b﹣c＝2,bc＝35.
解得b＝7,c＝5,
由正弦定理得：,
所以,
法二：由(1)有(b＋c)2＝(b﹣c)2＋4bc＝22＋4×35＝144,
所以b＋c＝12.
由正弦定理得,
所以.
19.(12分)全民健身倡导全民做到每天参加一次以上的体育健身活动,旨在全面提高国民体质和健康水平.某部门在该市2011﹣2016年发布的全民健身指数中,其中的“运动参与”的评分值进行了统计,制成如图所示的散点图：
(1)根据散点图,建立y关于t的回归方程＝t；
(2)从该市的市民中随机抽取了容量为120的样本,其中经常参加体育锻炼的人数为40,以频率为概率,若从这120名市民中随机抽取4人,记其中“经常参加体育锻炼”的人数为X,求X的分布列和数学期望.
附：对于一组数据(t1,y1),(t2,y2),…,(t n,y n),其回归直线＝t的斜率和截距的最小
二乘估计公式分别为：＝,＝.
【解答】解：(1)由题,＝＝3.5,＝＝75,
则(t i﹣)(y i﹣)＝(1﹣3.5)(65﹣75)＋(2﹣3.5)(71﹣75)
＋(3﹣3.5)(73﹣74)＋(4﹣3.5)(77﹣75)＋(5﹣3.5)(80﹣75)＋(6﹣3.5)(84﹣75)＝63.
(t i﹣)2＝(1﹣3.5)2＋(2﹣3.5)2＋(3﹣3.5)2＋(4﹣3.5)2＋(5﹣3.5)2＋(6﹣3.5)2＝17.5,
＝＝3.6,＝75﹣3.6×3.5＝62.4,
∴运动参与y关于t的回归方程是＝3.6t＋62.4.
(2)以频率为概率,从这120名市民中随机抽取1人,
经常参加体育锻炼的概率为,由题,X的可能取值为0,1,2,3,4.
则,
,,
.
分布列如下：
数学期望或.
20.(12分)如图,ABCD是菱形,∠ABC＝60°,AC与BD相交于点O,平面AEFC⊥平面ABCD,且AEFC是直角梯形,∠EAC＝90°,CF∥AE,AE＝AB＝2,CF＝4.
(1)求证：BD⊥EF；
(2)求二面角B﹣DE﹣F的余弦值.
【解答】证明：(1)在棱形ABCD中,可得DB⊥AC,
∵平面AEFC⊥平面ABCD,且交线为AC,
∴DB⊥平面AEFC,
∵EF⊂平面AEFC,∴BD⊥EF.
解：(2)直角梯形AEFC中,由∠EAC＝90°,CF∥AE,AE＝AB＝2,得EA⊥平面ABCD.
取EF的中点M,以O为坐标原点,以OA为x轴,OB为y轴,OM为z轴,建立空间直角坐标系,
则.
∴＝(0,2,0),＝(1,,2).
设平面BDE的法向量＝(x,y,z),
则,
取x＝2,得＝(2,0,﹣1),
由＝(﹣1,,4).
设平面DEF的法向量为＝(a,b,c),
则,
取a＝1,得＝(1,﹣,1).
则cos＜＞＝＝＝,
即二面角B﹣DE﹣F的余弦值为.
21.(12分)已知函数.
(1)当a≥0时,求函数f(x)的极值；
(2)若函数f(x)有两个零点x1,x2,求a的取值范围,并证明x1＋x2＞2.
【解答】解：(1)由,
得,
当a≥0时,ax＋1＞0,若0＜x＜1,f'(x)＞0；若x＞1,f'(x)＜0,
故当a≥0时,f(x)在x＝1处取得的极大值；函数f(x)无极小值.
(2)当a≥0时,由(1)知f(x)在x＝1处取得极大值,
且当x趋向于0时,f(x)趋向于负无穷大,
又f(2)＝ln2﹣2＜0,f(x)有两个零点,则,解得a＞2.
当﹣1＜a＜0时,若0＜x＜1,f'(x)＞0；若；若
,
则f(x)在x＝1处取得极大值,在处取得极小值,由于,则f(x)仅有一个零点.
当a＝﹣1时,,则f(x)仅有一个零点.
当a＜﹣1时,若；若；
若x＞1,f'(x)＞0,则f(x)在x＝1处取得极小值,
在处取得极大值,由于,则f(x)仅有一个零点.
综上,f(x)有两个零点时,a的取值范围是(2,＋∞).
两零点分别在区间(0,1)和(1,＋∞)内,不妨设0＜x1＜1,x2＞1.
欲证x1＋x2＞2,需证明x2＞2﹣x1,
又由(1)知f(x)在(1,＋∞)单调递减,故只需证明f(2﹣x1)＞f(x2)＝0即可.
,又,
所以f(2﹣x1)＝ln(2﹣x1)﹣ln(x1)＋2x1﹣2,
令h(x)＝ln(2﹣x)﹣lnx＋2x﹣2(0＜x＜1),
则,
则h(x)在(0,1)上单调递减,
所以h(x)＞h(1)＝0,即f(2﹣x1)＞0,
所以x1＋x2＞2.
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22.(10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数),其中
.以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣6cosθ＋4＝0.
(1)写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；
(2)已知曲线C2与C1交于两点,记点A,B相应的参数分别为t1,t2,当t1＋t2＝0时,求|AB|的值.
【解答】解：(1)线C1的参数方程为(t为参数),
所以：C1的普通方程：y＝(x﹣2)tanα＋1,其中；
曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ＋4＝0.
所以：C2的直角坐标方程：(x﹣3)2＋y2＝5.
(2)由题知直线恒过定点P(2,1),又t1＋t2＝0,
由参数方程的几何意义知P是线段AB的中点,
曲线C2是以C2(3,0)为圆心,半径的圆,
且.
由垂径定理知：.
[选修4-5：不等式选讲]
23.已知不等式|2x＋1|＋|x﹣1|＜3的解集M.
(1)求M；
(2)若m,n∈M,求证：.
【解答】解：(1)当时,不等式即为﹣2x﹣1﹣x＋1＜3,解得；当时,不等式即为2x＋1﹣x＋1＜3,解得；
当x＞1时,不等式即为2x＋1＋x﹣1＜3,此时无解,
综上可知,不等式解集M＝{x|﹣1＜x＜1}.
(2)m,n∈(﹣1,1),
欲证,
需证|m﹣n|＜|mn﹣1|,
即证(m﹣n)2＜(mn﹣1)2,即m2＋n2﹣2mn＜m2n2﹣2mn＋1,
即证(m2﹣1)(n2﹣1)＞0,
因为m,n∈(﹣1,1),
所以(m2﹣1)(n2﹣1)＞0显然成立.
所以成立.。