双曲抛物面薄壳屋盖的制作、造型设计

双曲抛物面薄壳屋盖的制作、造型设计

摘要

采用钢筋混凝土双曲抛物面(马鞍面)薄壳作为屋盖, 具有利于排水、防止渗漏、减轻自重、节约材料、受力性能较好、刚度较大、造型优美等优点, 可以用于厂房、商场、影剧院等民用建筑.。

本文是以一个单块双曲抛物面薄壳屋盖为例子研究马鞍面双曲抛物面薄壳屋盖的制作、造型设计。针对预应力钢筋、锚固面等问题展开研究，用数学建模方法深入探究其原理。

通过查资料所得到的直母线方程以及题中所给的资料写出直母线投影在xoy平面上的直线方程，再计算出截距，除以两钢筋的间距得出钢筋根数的表达式；再通过题中所给条件及查阅所的资料得出锚固面方程，方程联立得出直母线与锚固面交点的表达式，通过对方程的联立以及化解解答题中所提出的问题。

关键词：双曲抛物面细石混凝土薄壳屋盖预应力钢筋

1 问题的背景

在党的领导下,在建字第02部队、铁路局昌平构件厂、首钢建筑公司的帮助下,组成由工人、干部、技术人员参加的“三结合”试验研究小组,群策群力,把革命干劲和科学态度结合起来,于1973年年初,在冶金部建筑研究院,建成一项双曲抛物面薄壳屋盖(简称双曲薄壳)的试验性工程。

从1973年以来,在设计的一些建筑屋盖中采用了双曲抛物面(马鞍面)结构。采用钢筋混凝土双曲抛物面(马鞍面)薄壳作为屋盖, 具有利于排水、防止渗漏、减轻自重、节约材料、受力性能较好、刚度较大、造型优美等优点, 可以用于厂房、商场、影剧院等民用建筑。

2 问题的重述

1. 就单个的双曲抛物面薄壳屋盖的配筋问题，用数学建模的方法解决以下问题： 1.1. 把预应力钢筋理想化为一维的直线。 利用双曲抛物面是直纹面的特点, 把预应

力钢筋安置在两族直母线处, 即在跨中端面处抛物线 2

x x z f a ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

上的点

m k a x k f x k x

...2,1,02

,=⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆，处安放两族直母线钢筋. 并固定(锚固)在过原点 (0,0,0)的直母线与平面1y b =±±

(

1

0.8 m =)相交的点处与该直母线垂直的锚固面上。

a. 能安排多少根过点⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆a x k f x k x

2

,的直母线钢筋。 写出这些空间直线的方程, 并图示之。

b. 写出锚固面的方程, 并写出直母线和锚固面的交点的表示式。

c. 求出直母线之间的交点的表示式。

d. 求出直母线和锚固面的法线之间的夹角, 以便在锚固面上适当打孔以固定直母线钢筋。

e. 根据前面的数据以及0.1 m x ∆=, 具体计算a – d 。

f. 编制一个可以包括不等距安置直母线钢筋的通用程序(软件)。

1.2 如果圆柱形预应力钢筋不能简化为直线, 请回答

a. 圆柱形预应力钢筋的中心轴线应该安置在

2

x

x

z f

a

⎛⎫

= ⎪

⎝⎭临近的哪些点处。写出这些

中心轴线的方程, 并图示之。

b. 写出这些中心轴线和锚固面的交点的表示式。

c. 要求这些圆柱形预应力钢筋不能相交。它们的中心轴线在x-y平面上的垂直投影是可以相交的, 写出交点的表示式。计算沿这些交点垂直方向的两根圆柱形预应力

钢筋之间的距离, 要尽可能小(最好为零)。

d. 编制一个通用的程序(软件)。

2. 双曲抛物面薄壳屋盖的造型设计

请利用几种双曲抛物面的切割部分作为元素组合成一种实用、美观的屋盖造型。写出它们的方程, 并图示之。如果可能, 请说明它们可以用在什么地方。

单块双曲抛物面薄壳屋盖的示意图及其数学方程见（附录1）。

把直径为6 mm(或5mm)预应力钢筋沿中断面的抛物线

2

x

x

z f

a

⎛⎫

= ⎪

⎝⎭的临近处从

原点(0,0,0)往左右两边沿马鞍面的两族直母线配筋, 然后再浇注混凝土或树脂。示意图见（附录2图一）。

相关图组及其描述见（附录2）。

3 基本假设

（1）针对问题1中，假设钢筋可理想化为直线；

（2）假设放置直母线钢筋的间距是相等的，不受外界因素的影响；

（3）假设在计算过程中的误差在误差围;

（4）假设在方程式化简过程中没有出现错误；

（5）假设双曲抛物面薄壳屋盖是个规则的不易受外界影响的；

4 模型的符号说明

δ：屋盖的垂直厚度 λ：翼缘宽度 a ：板宽之半 b ：屋盖长度之半

：挑檐长度 U ：一族直母线

V ：U 以外的另一族直母线 N1： 平面1的方向向量

N2： 平面2的方向向量 N3： 平面3的方向向量 N4： 平面4的方向向量

N2： V 族直母线在xoy 面上的方向向量

θ： 锚固面与U 族直母线的夹角

5 模型分析建立及求解

在对于1.1问题，由于把预应力钢筋理想化为一维的直线，又因为双曲抛物面的方程为：

2

2

22

+

2,(,)+ 2

,,x y x

y x y f f a b x a y b

z x y y f f b a x a a x a y b ⎧⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭⎪⎪≤≤⎪=⎨⎛⎫⎪

- ⎪⎪⎝⎭⎪≤≤+--≤≤-≤⎪⎩δ

δλλ 12(,)(,)z x y z x y =-δ

在双曲抛物面薄壳屋盖的制作过程中，预应力钢筋是位于屋盖的中间层，因此，我们选

取马鞍面的方程应该是： Z= a.该面上的两族直母线：

u 族直母线： 其中u 为参数。