表上作业法例题.ppt
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4-02运输问题表上作业法
用最小元素法确定例3-2初始调运方案
调 销地
运 量
B1
B2
B3
产量
产地
100 90
70 100 100 200 100
A1
X11
X12
X13
80 150 65 100 75 250 100
A2
X21
X22
X23
100
150
200
销量
100 450
得到初始调运方案为： x11=100，x13=100，x22=150，x23=100
量为该闭回路的顶点；其中 i1 , i2 ,, is 互不
相同, j1 , j2 ,, js 互不相同。
例 设m=3，n=4，决策变量xij表示从产地Ai 到销地Bj的调运量，列表如下，给出闭回路
{x11, x13 , x33 , x34 , x24 , x21} 在表中的表示法——
用折线连接起来的顶点变量。
最小元素法实施步骤口诀
《运价表》上找最小，《平衡表》上定产销； 满足销量划去“列”，修改“行产”要记
牢； （满足产量划去“行”，修改“列销”要记 牢） 划去列(行)对《运价》， 修改“行产(列销)”在《产销》； 余表再来找最小，方案很快就找到。
用西北角法确定例3-2初始调运方案
调 销地
运 量
B1
（3-6）
位势法计算非基变量xij检验数的公式
σij=cij-（ui+vj）
（3-8）
思考：试解释位势变量的含义（提示：写出运输问 题的对偶问题）
四、方案调整
当至少有一个非基变量的检验数是负值时， 说明作业表上当前的调运方案不是最优的，应 进行调整。
若检验数σij小于零，则首先在作业表上以xij 为起始变量作出闭回路，并求出调整量ε：
表上作业法演示课件
把第 i 季度生产的柴油机数目看作第 i 个生产厂的产量；把第 j 季 度交货的柴油机数目看作第 j 个销售点的销量；设cij是第i季度生 产的第j季度交货的每台柴油机的实际成本，应该等于该季度单位 成本加上储存、维护等费用。可构造下列产销平衡问题：
运输问题的应用
Page 19
解： 设 xij为第 i 季度生产的第 j 季度交货的柴油机数目，那 么应满足：
运输问题的应用
Page 17
3. 生产与储存问题
例3.5 某厂按合同规定须于当年每个季度末分别提供10、15、25、 20台同一规格的柴油机。已知该厂各季度的生产能力及生产每台 柴油机的成本如右表。如果生产出来的柴油机当季不交货，每台 每积压一个季度需储存、维护等费用0.15万元。试求在完成合同 的情况下，使该厂全年生产总费用为最小的决策方案。
3
11
3 5 10
1
9
2
8
7
4
10
5
表上作业法
B1 B2 B3 B4
A1
5
A2
×
A3
×
2
5
1
3
Page 9
7 1 1
表上作业法
B1 B2 B3 B4
A1
×
5
A2
3
×
A3
×
×
2
5
3
Page 10
7 7 1
表上作业法
Page 11
B1 B2 B3 B4
A1
×
×
5
2
1
A2
3
×
×
1
1
A3
×
6
×
3
1
5
管理运筹学 第七章 运输问题之表上作业法
最优解的判断与调整
最优解的判断
比较目标函数值，如果当前基础可行解 的目标函数值最优，则该解为最优解。
VS
最优解的调整
如果当前基础可行解不是最优解，需要对 其进行调整。通过比较不同运输路线的运 输费用，对运输量进行优化分配，以降低 总运输费用。
最优解的验证与
要点一
最优解的验证
对求得的最优解进行检验，确保其满足所有约束条件且目 标函数值最优。
01
将智能优化算法（如遗传算法、模拟退火算法等）与表上作业
法相结合，以提高求解效率和精度。
发展混合算法
02
结合多种算法的优势，发展混合算法以处理更复杂的运输问题。
拓展应用范围
03
在保持简单易行的基础上，拓展表上作业法的应用范围，使其
能够处理更多类型的运筹问题。
THANKS FOR WATCHING
果达到最优解，则确定最优解；如果未达到最优解，则确定次优解。
表上作业法的应用范围
总结词
表上作业法适用于解决供销平衡的运输问题，即供应量和需求量相等的情况。
详细描述
表上作业法适用于解决供销平衡的运输问题，即供应量和需求量相等的情况。在这种情况下，可以通过在运输表 格上填入数字来求解最小运输成本。此外，表上作业法还可以用于解决其他类型的线性规划问题，如资源分配问 题、生产计划问题等。
03 表上作业法的求解过程
初始基础可行解的求解
确定初始基础可行解
根据已知的发货地和收货地的供需关系，以及运输能力限制，通 过试算和调整，求得初始的基础可行解。
初始解的检验
检查初始解是否满足非负约束条件，即所有出发地到收货地的运输 量不能为负数。
初始解的调整
如果初始解不满足非负约束条件，需要对运输量进行调整，直到满 足所有约束条件。
表上作业法
( P 4) min z cij xij
i 1 j 1 m n
n xij ai , j 1 m s.t. xij b j , i 1 xij 0
(i 1, 2, , m) ( j 1, 2, , n)
增加一个假想的销地j=n+1(实际上是储存)，该销地总需要量为
x11 10 x x 15 12 22 x13 x23 x33 25 x14 x24 x34 x44 20
又每季度生产的用于当季和以后各季交货的柴 油机数不可能超过该季度的生产能力，故又有：
x11 x12 x13 x14 25 x22 x23 x24 35 x33 x34 30 x44 10
•表上作业法是单纯形法在求解运输问题时 的一种简化方法，其实质是单纯形法。但具 体计算和术语有所不同。可归纳为： 1) 找出初始基可行解。 即初始调运方案 (2) 进行最优检验，判别是否最优 (3) 若不是最优，对方案进行调整和改进，直 到最优。
(
例1 某公司经销甲产品。它下设三个加工厂。 每日的产量分别是：A1为8吨，A2为5吨，A3为 11吨。 该公司把这些产品分别运往四个销售点。各销售 点每日销量为：B1为4吨，B2为7吨，B3为6吨，B4 为7吨。 已知从各工厂到各销售点的单位产品的运价为表 3-2所示。 问该公司应如何调运产品，在满足各销点的需要 量的前提下，使总运费为最少。
• 闭回路法的特点： 1.闭回路的其余三个顶点均应由填有数字的格 组成 2.每一个空格都存在唯一一条这样的闭回路 3.闭回路的形状不一定是简单的矩形
最优检验标准： 1.观察各个空格的检验数，若存在负检验数，说明运 费还可以减少。 2.若同时存在几个负检验数时，通常以绝对值最大者 对应的变量为引入变量
i 1 j 1 m n
n xij ai , j 1 m s.t. xij b j , i 1 xij 0
(i 1, 2, , m) ( j 1, 2, , n)
增加一个假想的销地j=n+1(实际上是储存)，该销地总需要量为
x11 10 x x 15 12 22 x13 x23 x33 25 x14 x24 x34 x44 20
又每季度生产的用于当季和以后各季交货的柴 油机数不可能超过该季度的生产能力，故又有：
x11 x12 x13 x14 25 x22 x23 x24 35 x33 x34 30 x44 10
•表上作业法是单纯形法在求解运输问题时 的一种简化方法，其实质是单纯形法。但具 体计算和术语有所不同。可归纳为： 1) 找出初始基可行解。 即初始调运方案 (2) 进行最优检验，判别是否最优 (3) 若不是最优，对方案进行调整和改进，直 到最优。
(
例1 某公司经销甲产品。它下设三个加工厂。 每日的产量分别是：A1为8吨，A2为5吨，A3为 11吨。 该公司把这些产品分别运往四个销售点。各销售 点每日销量为：B1为4吨，B2为7吨，B3为6吨，B4 为7吨。 已知从各工厂到各销售点的单位产品的运价为表 3-2所示。 问该公司应如何调运产品，在满足各销点的需要 量的前提下，使总运费为最少。
• 闭回路法的特点： 1.闭回路的其余三个顶点均应由填有数字的格 组成 2.每一个空格都存在唯一一条这样的闭回路 3.闭回路的形状不一定是简单的矩形
最优检验标准： 1.观察各个空格的检验数，若存在负检验数，说明运 费还可以减少。 2.若同时存在几个负检验数时，通常以绝对值最大者 对应的变量为引入变量
3_02表上作业法2
X11格的闭回路与检验数 格的闭回路与检验数
销地 产地
B1
4
B2
12
B3
4
B4
11
产量 16 10 22
A1 A2 A3
10
2 10 3
6
9 6
8
8 5
2
11
为入基变量， 增加1， 若x11为入基变量，x11增加 ，运费的变化为 14 12 的检验数48 故 14 销量2=1。8 4-4+3这个变化就是x 。这个变化就是 11的检验数， ，
二、最优性检验
•检验原则（Min） 检验原则（Min） 检验原则 所有检验数都≥ 所有检验数都≥0时最优 •检验数的计算 检验数的计算 方法1 方法1——闭回路法 闭回路法 方法2 对偶变量法（ 方法2——对偶变量法（位势法） 对偶变量法 位势法）
1 闭回路法
• 闭回路——从一个无圈格出发，沿水平（或垂直） 从一个无圈格出发， 闭回路 从一个无圈格出发 沿水平（或垂直） 方向前进，遇到适当的带圈格转直角弯， 方向前进，遇到适当的带圈格转直角弯，再沿水平 或垂直）方向前进，如此下去，最后回到出发格， （或垂直）方向前进，如此下去，最后回到出发格， 从而得到一条闭回路。 全部由水平或垂直线组成） 从而得到一条闭回路。（全部由水平或垂直线组成） 注1：从每个无圈格出发，有且仅有一条闭回路 从每个无圈格出发， 注2：不存在全部由带圈格构成的闭回路
1
2
2
10
10
3
6
9
8
8
1
5
2
11
-1
6
10
14
12
8
v1=2 v2=9 v3=3 v4=10
第二节运输问题求解表上作业法
2
即从 Ai 向 Bj 运最大量(使行或列在 允许的范围内尽量饱和，即使一个约 束方程得以满足),填入 xij 的相应位 置； (2) 从 ai 或 bj 中分别减去 xij 的值，即调整 Ai 的拥有量及 Bj 的需 求量；
3
(3) 若 ai = 0 ，则划去对应的行（把 拥有的量全部运走），若 bj = 0 则划去 对应的列（把需要的量全部运来），且每 次只划去一行或一列（即每次要去掉且只 去掉一个约束）；
—表上作业法
我们已经介绍过，可以通过增加虚 设产地或销地（加、减松弛变量）把问 题转换成产销平衡问题。
1.产量大于销量的情况
考虑 si > dj 的运输问题，得到的数学模 型为
i=1 j=1
39
m
n
2.运输问题求解
—表上作业法
Min f =
n m i=1 j=1
n
cij xij
s.t. xij si i = 1,2,…,m
10
应用西北角法、最小元素法和 Vogel法，每次填完数，都只划去一 行或一列，只有最后一个元例外（同 时划去一行和一列）。当填上一个数 后行、列同时饱和时，也应任意划去 一行（列），在保留的列（行）中没 被划去的格内标一个0。
11
表1
12
13
14
15
16
二、基本可行解的最优性检验
最优性检验就是检查所得到的方 案是不是最优方案。 检查的方法----计算检验数 由于目标要求极小，因此，当所 有的检验数都大于或等于零时该调运 方案就是最优方案；否则就不是最优， 需要进行调整。
第二节 运输问题求解 —表上作业法
运输问题的方法 —— 表上作业法： 1、确定一个初始基本可行解； 2 、根据最优性判别准则来检查这 个基本可行解是不是最优的。如果 是则计算结束；如果不是，则至3 3、换基，直至求出最优解为止。
即从 Ai 向 Bj 运最大量(使行或列在 允许的范围内尽量饱和，即使一个约 束方程得以满足),填入 xij 的相应位 置； (2) 从 ai 或 bj 中分别减去 xij 的值，即调整 Ai 的拥有量及 Bj 的需 求量；
3
(3) 若 ai = 0 ，则划去对应的行（把 拥有的量全部运走），若 bj = 0 则划去 对应的列（把需要的量全部运来），且每 次只划去一行或一列（即每次要去掉且只 去掉一个约束）；
—表上作业法
我们已经介绍过，可以通过增加虚 设产地或销地（加、减松弛变量）把问 题转换成产销平衡问题。
1.产量大于销量的情况
考虑 si > dj 的运输问题，得到的数学模 型为
i=1 j=1
39
m
n
2.运输问题求解
—表上作业法
Min f =
n m i=1 j=1
n
cij xij
s.t. xij si i = 1,2,…,m
10
应用西北角法、最小元素法和 Vogel法，每次填完数，都只划去一 行或一列，只有最后一个元例外（同 时划去一行和一列）。当填上一个数 后行、列同时饱和时，也应任意划去 一行（列），在保留的列（行）中没 被划去的格内标一个0。
11
表1
12
13
14
15
16
二、基本可行解的最优性检验
最优性检验就是检查所得到的方 案是不是最优方案。 检查的方法----计算检验数 由于目标要求极小，因此，当所 有的检验数都大于或等于零时该调运 方案就是最优方案；否则就不是最优， 需要进行调整。
第二节 运输问题求解 —表上作业法
运输问题的方法 —— 表上作业法： 1、确定一个初始基本可行解； 2 、根据最优性判别准则来检查这 个基本可行解是不是最优的。如果 是则计算结束；如果不是，则至3 3、换基，直至求出最优解为止。
物流表上作业法与图上作业法(PPT63张)
• 有一配送中心P，其配送网络如图所示， A-D为各收货点，括号内的数字为各收 货点的需求量（吨），两点间连线上的 数字为两点间距离（公里）。运输货车 有最大载重量为2吨和4吨两种，试确定 配送路线。
0.8
D
0.6
C
1.7
B
P
A
0.7
• 假设有三个产地A1，A2，A3，产量分 别是200吨，160吨，100吨，四个销地 B1，B2，B3，B4其销售量分别是100吨、 140吨、160吨、60吨。其单价为下表。
B A
C
F
G
E
D
• 例题：在一个区域中，有四个生产厂A1， A2，A3，A4.也有四个用户B1，B2， B3，B4，需求量分别是100，120，160， 140吨。为了方便，在这个区域中将会 建设两个配送中心D1，D2，吞吐量分别 是360吨和260吨。
• 假设物流中心有某中商品的库存750单 位，安全库存300单位。每周的需求量 在120-180单位之间。
表上作业法
• 某公司下属四个储存某种物资的料库， 供应五个工地的需要。四个料库的供应 量和五个工地的需求量以及由各料库到 各工地调运单位物资的运价见下表。试 求运输费用最少的合理调运方案。 • •
× ×
100 ×
×
× ×
× ×
0
300
0
×
×
×
400
200
0
250
200
50
×
300
0
0
0
0
0
0
• 运费 =2×100+1×300+2×400+2×200+5× 250+4×200+7×50+8×300=6500
运筹学。 表上作业法
19
销地 产地
B1
B2
B3 4+1
B4 3-1 +1 3
产量 7 4 9
A1 A2 A3 3 6
1-1
销量
销地 产地
3
B1 3
6
B2
5
B3
6
B4 产量
调整后的新调运方案如下表：
A1
A2 A3 销量 3 6 6
5
2
1 3
7
4 9
20
5
6
对调整后的调运方案再进行最优性检验
销地 产地
B1
3 (0) 1 (0) 7
的对偶变量为u1，u2，…， um;v1，v2，…，vn
ui v j cij s.t . ui , v j 无 约 束 决策变量 xij 的检验数
ij cij C B B 1 Pij
cij YPij cij ( u1 , , um , v1 , , v n ) Pij cij ( ui v j )
§2 表上作业法
• 表上作业法实质是单纯形法。可归纳为： • (1) 找出初始基可行解。即在(m×n)产销平衡表 上用西北角法或最小元素法或Vogel法给出 m+n-1 个数字，称为数字格。它们就是初始基变量的 取值。 • (2) 求各非基变量的检验数，即在表上计算空格 的检验数，判别是否达到最优解。如已是最优 解，则停止计算，否则转到下一步。 • (3) 确定换入变量和换出变量，找出新的基可行 解。在表上用闭回路法调整。 • (4) 重复(2)，(3)直到得到最优解为止。 1
例3-1 某公司经销甲产品。它下设三个加工
厂。每日的产量分别是：A1为7吨，A2为4吨， A3为9吨。该公司把这些产品分别运往四个销 售点。各销售点每日销量为：B1为3吨，B2为6 吨，B3为5吨，B4为6吨。已知从各工厂到各销 售点的单位产品的运价为表3-3所示。问该公 司应如何调运产品，在满足各销点的需要量的
销地 产地
B1
B2
B3 4+1
B4 3-1 +1 3
产量 7 4 9
A1 A2 A3 3 6
1-1
销量
销地 产地
3
B1 3
6
B2
5
B3
6
B4 产量
调整后的新调运方案如下表：
A1
A2 A3 销量 3 6 6
5
2
1 3
7
4 9
20
5
6
对调整后的调运方案再进行最优性检验
销地 产地
B1
3 (0) 1 (0) 7
的对偶变量为u1，u2，…， um;v1，v2，…，vn
ui v j cij s.t . ui , v j 无 约 束 决策变量 xij 的检验数
ij cij C B B 1 Pij
cij YPij cij ( u1 , , um , v1 , , v n ) Pij cij ( ui v j )
§2 表上作业法
• 表上作业法实质是单纯形法。可归纳为： • (1) 找出初始基可行解。即在(m×n)产销平衡表 上用西北角法或最小元素法或Vogel法给出 m+n-1 个数字，称为数字格。它们就是初始基变量的 取值。 • (2) 求各非基变量的检验数，即在表上计算空格 的检验数，判别是否达到最优解。如已是最优 解，则停止计算，否则转到下一步。 • (3) 确定换入变量和换出变量，找出新的基可行 解。在表上用闭回路法调整。 • (4) 重复(2)，(3)直到得到最优解为止。 1
例3-1 某公司经销甲产品。它下设三个加工
厂。每日的产量分别是：A1为7吨，A2为4吨， A3为9吨。该公司把这些产品分别运往四个销 售点。各销售点每日销量为：B1为3吨，B2为6 吨，B3为5吨，B4为6吨。已知从各工厂到各销 售点的单位产品的运价为表3-3所示。问该公 司应如何调运产品，在满足各销点的需要量的
《运筹学》胡运权清华版-3-02表上作业法
最大元素法
总结词
与最小元素法相反，最大元素法选择运价表中的最大元素作为初始方案。
详细描述
最大元素法的基本思想是从运价表中寻找最大的元素，并将其确定为初始方案。在运价表中，最大的 元素可能是运输量最大的货物或运输距离最长的路线。这种方法可能会优先考虑大货物或长距离运输 ，但同样可能不是最优解，因为它没有考虑到整个运输网络的整体优化。
100%
稳定性
最优解应该是相对稳定的，即在 微小扰动下不会发生大的变化。
80%
可行性
最优解必须满足实际操作的可行 性，如运输量不能超过供应量和 需求量。
迭代终止条件
达到最大迭代次数
可以设定一个最大迭代次数， 当达到该次数时终止迭代。
运输成本收敛
如果连续几次迭代的运输成本 变化很小，可以认为已经收敛 ，终止迭代。
03
方案的调整
闭回路法
要点一
总结词
通过检查闭回路来调整方案，以使运输费用最小化。
要点二
详细描述
闭回路法是一种常用的运输方案调整方法。在运输问题中 ，如果发现某个产地的供应量大于需求量，或者某个销地 的需求量大于供应量，就可以通过构建闭回路来调整运输 方案。具体来说，就是在供需不平衡的地点之间构建一个 闭回路，将多余的供应量或不足的需求量通过闭回路进行 调整，以使运输费用最小化。
适用于解决产销平衡和产销不平衡的运输问题，特别是当运输问 题规模较大时，使用表上作业法可以快速找到最优解。
表上作业法的应用场景
物流规划
在物流规划中，表上作业法可以用于解决货物运输 的最优路径、运输成本等问题。
资源配置
在资源分配问题中，表上作业法可以用于确定资源 的最优调配方案，以最小成本满足需求。
关于表上作业法
至 从
生产、运输总费用表（万元） P1 P2 P3 8.00 7.65 7.15 7.08 4000 7.80 7.50 7.05 7.20 8000 7.70 7.35 7.18 7.50 7000
P4 7.80 7.15 7.65 7.45 6000
年产量(台) 7000 5500 12500 12500
7.35
7.50
7000
同样可得设厂于F4处的全部费用至少是 C4=7000×7.70+5500×7.15+4000×7.08+8000×7.20+500×7.45 =182870（万元） 两方案比较C4>C3，所以选F3设厂为优，可节省生产运费： C4 - C3=182870 - 181865=1005（万元）
设厂于F4处的产量分配
从 F1 F2 F4 需求量(台) 至 P1 8.00 7.65 7.08 ① 4000 4000 P2 7.80 7.50 7.20 ③ 8000 8000 P3 ⑤ 7000
7.70
P4 7.80 0 7.15 ② 5500 7.45 ④ 500 6000
年产量(台) 7000 5500 12500 25000
例题：已有两个工厂F1和F2，供应4 例题：已有两个工厂F1和F2，供应4个销售点 P1、P2、P3、P4。由于需求量不断增加，须 P1、P2、P3、P4。由于需求量不断增加，须 再设一个工厂。可供选择的地点是F3和F4。 再设一个工厂。可供选择的地点是F3和F4。 试求：在其中选择一最佳厂址。根据资料分 析，各厂单位产品生产和运输费用的总费用， 如表所示。约束条件是工厂不能超过其生产 能力；销售点不能超过其需求量。
mn j =1 ຫໍສະໝຸດ j目标函数： 目标函数：Min
管理运筹学运输问题之表上作业法课件
扩展适用范围
进一步扩展表上作业法的适用范 围，使其能够处理更多类型的运 输问题，包括带有特殊约束条件 的运输问题。
引入现代信息技术
利用现代信息技术，如大数据和 云计算等，提高表上作业法的计 算效率和精度，以满足实际应用 的需求。
THANKS
感谢您的观看
的优化配置。
应用实例二：农产品运输问题
总结词
多约束优化问题
详细描述
农产品运输问题需要考虑时间、保鲜度、运 输量等多种约束条件，要求在满足需求的前 提下，实现运输成本和损耗的最小化。表上 作业法可以通过多目标优化算法，综合考虑 各种约束条件，制定最优的农产品运输方案
。
应用实例三：城市物流配送问题
要点一
在迭代过程中，需要有一个判断准则来确定何时停止迭代并输出最优解。常用的判断准则包括最大最 小准则和最小最大准则。
迭代求解
根据判断准则，通过不断调整运输方案，使目标函数（通常是总运输费用最小）逐渐逼近最优解。在 每次迭代中，需要检查运输方案的可行性，并更新基可行解。
终止阶段：确定最优解并输出结果
确定最优解
03
表上作业法原理
表上作业法的定义与步骤
在此添加您的文本17字
定义：表上作业法是一种求解运输问题的线性规划方法， 通过在运输表上逐行计算和调整，最终找到最优解。
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步骤
在此添加您的文本16字
1. 建立初始运输方案；
在此添加您的文本16字
2. 检查运输方案的可行性；
在此添加您的文本16字
确定单位运输成本
根据运输距离、运输方式等因素确定单位运输成本。
建立数学模型
根据供求关系、运输能力限制等因素建立线性规划模型。
运输问题模型和表上作业法步骤 PPT课件
s.t. x11 x12 x13 x14
14
供 应
x21 x 22 x 23 x24
27 地
约
x 31 x 32 x 33 x 34 19 束
x11
x21
x31
x12
x22
x32
x13
x23
x33
x14
x24
x34
22 需
13 求
12
地 约
13 束
x11 x12 x13 x14 x 21 x 22 x 23 x 24 x31 x32 x33 x34
表2—2
销地
产地
B1
B2
B3
B4
A1
x11
x12
A2
x21
x24
A3
x32
x34
x11、 x12、 x32、 x34、 x24、 x21 构成一个闭回路. 这里有： i1 = 1， i2 = 3， i3 = 2；j1 = 1， j2 = 2， j3 = 4. 若把闭回路 的顶点在表中画出, 并且把相邻两个变量用一条直线相连
Transportation Problem 运输问题
运输问题的表示 网络图、线性规划模型、运输表 初始基础可行解 西北角法、最小元素法 非基变量的检验数 闭回路法、对偶变量法 确定进基变量，调整运量，确定离基 变量
运输问题
人们在从事生产活动中，不可避免地要进 行物资调运工作。如某时期内将生产基 地的煤、钢铁、粮食等各类物资，分别 运到需要这些物资的地区，根据各地的 生产量和需要量及各地之间的运输费用， 如何制定一个运输方案，使总的运输费 用最小。这样的问题称为运输问题。
A 0 0 0 0 1 1
1 0 1 0 1 0
北邮运筹学ch3-3 表上作业法
810 5 10 C 5 15 2 1 20
15 15
8 510 10 C 15 5 1 20 2
15 15
前一种按最小元素法求得，总运费是Z1=10×8+5×2+15×1=105， 后一种方案考虑到C11与C21之间的差额是8－2=6，如果不先调运x21， 到后来就有可能x11≠0，这样会使总运费增加较大，从而先调运x21， 再是x22，其次是x12这时总运费Z2=10×5+15×2+5×1=85<Z1。 北京邮电大学 运筹学
2013-9-13 Page 7 of 36
【解】 B1 A1 B2 B3 0 1 B4
表3－8 ai 6 7 4 9 20
× 3
×
11
7 × 6 2 6
4 4
3 10 5 ×
4
× 8 × 6 6
A2 7 A3 bj 1 3
3
在x12、x22、x33、x34中任选一个变量作为基变量，例如选x12
北京邮电大学 运筹学
销地 产地
A1 A2 A3 bj vj
B1
B2
B3
×
B4
ai
ui
5 1 6 20 4
8 7 10 10 1
9 5 2 × 13 5 7
12 4 8 25 4
15 25 20 60
3 1 2
北京邮电大学 运筹学
§3.3 表上作业法
Transportation Simplex Method
Ch3 Transportation Problem
第三步：这时必有一列或一行调运完毕，在剩下的运价中再求最 大差额，进行第二次调运，依次进行下去，直到最后全部调运完毕， 就得到一个初始调运方案。 用运费差额法求得的基本可行解更接近最优解，所以也称为近似 方案。
第五章 第三节 表上作业法
3、改进的方法
——闭合回路调整法（原理同单纯形法一样） 闭合回路调整法（原理同单纯形法一样） 闭合回路调整法 接上例： 接上例： B1 A1 A2 A3 销量 3 3 6 6 5 B2 B3
（＋1） （＋ ） （－1） （－ ）
B4 4 1
（－1） （－ ） （＋1） （＋ ）
产量 3 7 4 9
B1 A1 A2 A3 销量 3 1 ） （＋1） （＋
（－1） （－ 3 ）
① ③
B2
B3
③
B4 3
产量 7 4
（－1） （－ ） 4
②
（＋1） （＋ ） 1
6 6 5
3 6
9
计算如下：空格处（ 计算如下：空格处（ A1 B1 ）＝ (1×3)＋｛ (－1)×3 ｝＋(1×2)＋｛ (－1)×1 ｝＝1 此数即为该空格处的检验数。 此数即为该空格处的检验数。
特征： 特征： 平衡运输问题必有可行解， 1、平衡运输问题必有可行解，也 必有最优解； 必有最优解； 2、运输问题的基本可行解中应包 括 m+n－1 个基变量。 － 个基变量。
二、表上作业法
步骤： 步骤： 找出初始基本可行解（初始调运方案， ⑴.找出初始基本可行解（初始调运方案，一 m+n- 个数字格），用西北角法、最小元素法； ），用西北角法 般m+n-1个数字格），用西北角法、最小元素法； ⑵.求出各非基变量的检验数，判别是否达到 求出各非基变量的检验数， 最优解。如果是停止计算，否则转入下一步， 最优解。如果是停止计算，否则转入下一步，用 位势法计算； 位势法计算； 改进当前的基本可行解（确定换入、 ⑶.改进当前的基本可行解（确定换入、换 出变量），用闭合回路法调整； ），用闭合回路法调整 出变量），用闭合回路法调整； ⑷.重复⑵. ⑶，直到找到最优解为止。 重复⑵ 直到找到最优解为止。
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5
6+
-3 9
收量 3
6
5
6
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B1
B2
B3
B4 发量
3 A1 1
11
2
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10 -
7
4
3
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9
A2
31
2
8
1
-1 +
1
1
1
b2
1
1
1 bn
说明( 1 ) ： r (A ) r (A ~ ) m n 1 (2) A中任系Am意 (数m矩nn)阵( m1n 行 ) 组成的行 增A~ (广m 向 矩n )阵( m性 量 n 1) 无 组关 都线
产销平衡问题的表上作业法
表上作业法：在前述的运输调运表上直接计算而得到的 最优调运方案的方法。
Vogel法给出初始方案
收
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B1
B2
B3
B4 发量
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3 10
A1
5
7 1070
2
1
9
2
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A2
3
4 168
1
7 A3
4
10量 3
6
5
6
2
5
1
32
位势法检验初始运输方案
收 发 A1
A2
A3 收量
B1
B2
B3
B4
3
11
3 10
5
2
1
9
2
8
3
1
7
4
10 5
6
3
3
6
5
6
发量 7 uu 11 0 4 uu22 2 9 uu33 5
有运量表上某
一空格出发，
水平或竖直直
行，只有遇到
有运量的方格
方可拐直角(也
可不拐)，拐来
拐去，若可以
回到出发的空
格的线路，称
为空格闭回路。
收
发
B1
B2
B3
B4 发量
3
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A1
+
3 10
-4
7 3
1
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2
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A2
-3
+1
4
7 A3
4
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5 9
3
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6
5
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发
B1
B2
B3
B4 发量
3 A1 1
11
7 A3
4
10
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5 9
3
收量 3
6
5
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收
发
B1
B2
B3
B4 发量
3 A1 1
11
2
3 - 10 + 7
4
3
A2
1- 9 31
2
8
+
1 -1
4
7
4
10
A3
+
6
5 -3 9
收量 3
6
5
6
收
发
B1
B2
B3
B4 发量
3 A1 1
11
2
3 - 10 + 7
4
3
1
9
2
8
A2
31
4 1 -1
7 A3 10
4
10
…
Bn
发量 m n个变元，
C1n
x1n
a1 m n个约束
C2n
x2n
a2的线性规划问题
mn
Am
… a Cm1
Cm2
V: miCznmn
c ij x ij
xm1
xm2
n
x min1 j 1 m
数学收模V量:型m ：n 设 iznxbi1j表 im1 示 jnb1cA 2iji由 x调 ij s.往 t…B. j的 ix jm i11jx x数 iijj0 b ，n(bai量 ij 则((1 i有,j 11,,m 2,2,;, j, ,mn1 ,)) ,n )
85
v1 3 v2 9 v3 3 v4 10
收 发 A1
A2
A3 收量
B1
B2
B3
B4
3
11
3 10
0
2
5
2
1
9
2
8
32
1
7
4
10 5
6
3
3
6
5
6
发量 7 u1 0 4 u2 2 9 u3 5
85
v1 3 v2 9 v3 3 v4 10
收 发 A1
A2
A3 收量
B1
B2
B3
B4
3
B
的单位运价
j
发该量问题便称作
运输问题。若，
a1 m
n
则a2称i1作ai 发产j量销1 bj平
衡问题，否则
称为产销不平
衡am问题。
收量 b1 b2 … bn
问题：在满足供需要求的前提下，如何安排调运计划，
可使总运费最小。
收站 发站
B1
B2
…
A1
C11
C12
x11
x12
…
A2
C21
C22
x 21
x22
表上作业法的算法步骤流程图：
开始
给出初始 运输方案
改进运 输方案
no
检验 运输方案是否
最优
（1）闭回路法
yes
（2）位势法
结束
例1 给出下面的运输问题的最优解。
收
发
B1
B2
B3
B4 发量
3
11
3 10
A1
7
43
1
9
2
8
A2
3
4
1
7 A3
4
10
6
5 9
3
收量 3
6
5
6 86
首先(最小元素法)、 其次(位势法、闭回路法) Vogel法给出初始运 检验初始运输方案 输方案
3 10
+
4 -3 7
1
9
2
8
A2
3
4 1
7 A3
4
10
-6
5 +3 9
收量 3
6
5
6
收
发
B1
B2
B3
B4 发量
3 A1 1
11
2
3 +
10 -
7
4
3
1
9
2
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A2
3+
1
4
7 A3
4
10
-6
5+
9
3
收量 3
6
5
6
收
发
B1
B2
B3
B4 发量
3 A1 1
11
2
3 +
10 -
7
4
3
1
9
A2
31
2
8
1
+4
B2
B3
B4
3
11
3 10
0
5
2
1
9
2
8
3
1
7
4
10 5
6
3
3
6
5
6
发量 7 u1 0 4 u2 2 9 u3 5
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v1 3 v2 9 v3 3 v4 10
收 发 A1
A2
A3 收量
B1
B2
B3
B4
3
11
3 10
0
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5
2
1
9
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8
3
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3
3
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5
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发量 7 u1 0 4 u2 2 9 u3 5
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vv11 3 vv22 9 vv 33 3 vv 44 10
收 发 A1
A2
A3 收量
B1
B2
B3
B4
3
11
3 10
5
2
1
9
2
8
3
1
7
4
10 5
6
3
3
6
5
6
发量 7 u1 0 4 u2 2 9 u3 5
85
v1 3 v2 9 v3 3 v4 10
收 发 A1
A2
A3 收量
B1
xij ai (i1,2,,m)
s.t.
j1 m
x ij 0(i 1 , ,m ;j 1 , ,n )
xij bj (j1,2,,n)
x 1x 1 1 2x 1 nx 2x 1 2 2x 2 n x m 1x m 2 x mn
1 1 1
a1
1 1 1
a2
1 1 1 a m
1
1
1
b1
85
v1 3 v2 9 v3 3 v4 10
收 发 A1
A2
A3 收量
B1
B2
B3
B4
3
11
3 10
0
2
5
2
1
9
2
8
32
1
1
7
4
10 5
9
6 12
3
3
6
5
6
发量 7 u1 0 4 u2 2 9 u3 5