正切函数的性质和图象
正切函数的性质与图象
01
课前案 自主学习
[教材梳理] 导学 1 正切函数的性质
正切函数 y＝tan x 的定义域是什么？
[提示]
x
x≠kπ＋π2，k∈Z.
诱导公式 tan(π＋x)＝tan x 说明了正切函数的什么性质？tan(kπ＋x)(k∈Z) 与 tan x 的关系怎样？
[提示] 周期性．tan(kπ＋x)＝tan x(k∈Z)．
函数 y＝|tan x|的单调递增区间kπ，kπ＋π2(k∈Z)，
单调递减区间为kπ－π2，kπ(k∈Z)．
[规律方法] 1. 熟练掌握正切函数的图象和性质是解决正切函数综合问题的关键，正切曲线是 被相互平行的直线 x＝π2＋kπ，k∈Z 隔开的无穷多支曲线组成，y＝tan x 的对称中心为 k2π，0，k∈Z. 2．作函数 y＝|f(x)|的图象一般利用图象变换方法，具体步骤 (1)保留函数 y＝f(x)图象在 x 轴上方的部分； (2)将函数 y＝f(x)图象在 x 轴下方的部分沿 x 轴向上翻折． 3．若函数为周期函数，可先研究其一个周期上的图象，再利用周期性，延拓到定 义域上即可．
画出正切函数 y＝tan x，x∈－π2，π2的简图吗？怎样画？
[提示] 能，三个关键点：π4，1，(0,0)，－π4，－1，两条平行线：x＝π2，x＝－π2.
◎结论形成 1．正切函数的图象
2．正切函数的图象叫做__正__切__曲__线____ . 3．正切函数的图象特征 正切曲线是被与 y 轴平行的一系列直线____x_＝__π2_＋__k_π_，__k_∈__Z_____所隔开的无穷多支 形状相同的曲线组成的．
(2)比较大小：tan－74π________tan－95π.
知识讲解正切函数的性质和图象基础
知识讲解_正切函数的性质和图象_基础正切函数是三角函数中的一种，常用符号为tan，表示一个角的正切值。
在数学中，正切函数具有许多重要的性质和图像，下面将对其进行详细介绍。
1.定义：正切函数的定义是：对于一个角θ，它的正切值tanθ等于角的对边与邻边的比值，即tanθ=opposite/adjacent。
2.周期性：正切函数具有周期性，即tan(θ+π)=tanθ，其中π是圆周率。
这意味着正切函数的图像在每个周期内重复出现，以直线y=tanθ为对称轴。
3.定义域和值域：正切函数的定义域是所有实数，除了使分母为零的角度。
当角度为90°的倍数时，分母为零，正切函数无定义。
正切函数的值域是所有实数，即从负无穷到正无穷。
4.奇偶性：正切函数是一个奇函数，即tan(-θ)=-tanθ。
这意味着正切函数的图像关于原点对称。
5.渐近线：正切函数有两条渐近线，分别为x=π/2+kπ和x=-π/2+kπ，其中k是整数。
当θ接近这些值时，tanθ的值趋向于正无穷或负无穷。
6.零点：正切函数有无数个零点，即tanθ=0。
这些零点出现在角度为kπ时，其中k是整数。
7.图像变换：对于正切函数的图像，可以通过平移、缩放和反转等变换得到。
例如，将y=tanθ的图像向右平移π/4个单位，得到y=tan(θ-π/4)的图像；将y=tanθ的图像进行垂直缩放，得到y=a*tanθ的图像，其中a 是一个常数。
8.切线斜率：正切函数在每个周期内都有无穷多个切线，切线的斜率是tanθ。
这意味着切线的斜率在整个图像上是连续变化的。
9.函数图像：正切函数的图像是一个周期为π的波浪线。
在每个周期内，图像从负无穷逐渐上升到正无穷，然后再从正无穷逐渐下降到负无穷。
图像在每个周期内有一个零点，并且在每个周期的中点有一个峰值和一个谷值。
总结起来，正切函数是一个周期性的、奇函数，定义域为所有实数，值域为所有实数。
它具有两条渐近线，有无数个零点，图像是一个波浪线，切线的斜率等于函数值。
(完整版)正切函数的性质与图像.ppt
2
2
正
渐
切
近 线
函
数
渐
图
近 线
像
性质 :
渐近线方程： x k , k Z 2
对称中心
( kπ,0) 2
正切函数有对称轴吗？ 无对称轴
问题5： (1)正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？ (2)正切函数会在某一区间内是减函数吗？为什么？
A
B
在每一个开区间
(-π+ kπ,π+ kπ) ，kZ 内都是增函数。
5、周期性
最小正周期是
3
小结：正切函数的图像和性质
1、正切曲线是先利用平移正切线得y tan x, x ( , )的图象， 22
再利用周期性把该段图象向左、右扩展得到。
2 、y tan x 性质:
⑴ 定义域： {x | x k, k Z}
⑵ 值域： R 2 ⑶ 周期性：
⑷ 奇偶性：奇函数，图象关于原点对称。
22 右呈上升趋势，向上与直线 x
k
,k
Z
无限接近但
永不相交；向下与直线
x
2
k , k
Z无限接近但永不
2
相交。
将 x k , k Z 称为正切曲线的渐近线。
2
题型一 求与正切函数有关的函数的定义域
例1.求下列函数的定义域.
(1) y tan(x );
3 (2) y lg tan x 16 x2 .
x 2k 时， ymax 1 x 2k 时，ymin 1
x[ 2k , 2k ] 增函数
x[2k , 2k ]
偶函数
2
减函数
对称轴： x
2
k
,
正切函数的图像和性质 (精致版)
2 对称轴： x k , k Z
2 对称中心： (k ,0) k Z
2
对称轴： x k , k Z 对称中心：( k , 0) k Z
2
探索一 你可以从一个新的角度来研究正 切函数的性质吗？
正弦函数 正切函数
定义+三角函数线
三角函数图象
课后练习
作业：
P45.2、3、4
课后思考
思考1：我们分别从什么角度讨论了正切函数 的性质？这两种讨论方法分别有什么特点？ 思考2：你能用同样的方法去讨论正、余弦 函数的性质吗？
想一想？ 得到y tan x最小正周期为__ ____
由y tan x最小正周期为
反馈练习：求下列函数的周期：
x (1) y 5 tan 2
2
(2) y tan(4 x ) 3
4
巩固练习 1、比较下列每组数的大小。
13π 11π tan() 与 tan() （2） 4 5
正切函数的对称中心
正 切 函 数 图 像
性质 :
渐 进 线
渐 进 线
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
定义域： {x | x k, k Z} 2 值域： R 周期性： 奇偶性： 奇函数，图象关于原点对称。
⑸ 单调性： 在每一个开区间 ( k , k ) ， k Z 内都是增函数。 2 2 kZ x k , (7)对称中心 (6)渐近线方程： 2
kπ ( ,0) 2
问题：
(1)正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？
(2)正切函数会不会在某一区间内是减函数？为什么？
A
B
1.4.3正切函数的图像与性质
22
C.
(k
3
4
, k
4
)
k
z
D. (k , k 3 )
4
4
kz
第23页，共51页。
小结：正切函数的图像和性质
1、正切曲线是先利用平移正切线得y tan x, x ( , )的图象， 22
再利用周期性把该段图 象向左、右扩展得到。
2 、y tan x 性质:
⑴ 定义域： {x | x k, k Z}
第25页，共51页。
[精解详析] 由题意得t1a－n txa＋n 1x≥>00，， 即－1≤tan x<1.
ππ
ππ
在(－ 2 ，2 )内，满足上述不等式的 x 的取值范围是[－ 4 ，4 )．
又 y＝tan x 的周期为π，
所以所求 x 的范围是
π
π
[kπ－ 4 ，kπ＋ 4 )，k∈Z.
即为此函数的定义域．
⑵ 值域： R
2 ⑶ 周期性：
⑷ 奇偶性： 奇函数，图象关于原点对称。
(5) 对称性：对称中心：
无对称轴
(6)单调性： 在每一个开区间
(-π+ kπ,π+ kπ)， k Z 内都是增函数。
2
2
(7)渐近线方程： x k , k Z
2
第24页，共51页。
[例 1] 求函数 y＝ tan x＋1＋lg(1－tan x)的定义域． [思路点拨] 构建关于tan x的不等式组求解．
奇函数
5、周期性
最小正周期是
3
第22页，共51页。
高考链接：
1.（2007.江西，文）函数y=5tan(2x+1)的最小正周期为（ ）
正切函数的性质与图象 课件(34张)
数学
[问题1-4] 结合正切函数的图象.你能判断一下它的单调性吗?
提示:在每一个开区间(- +kπ, +kπ)(k∈Z)上都单调递增.
梳理
正切函数y=tan x的性质与图象
y=tan x
图象
数学
定义域
{x|x∈R,且 x≠kπ+ ,k∈Z}
R .
值域
周期
最小正周期为 π .
奇偶性
奇函数 .
单调性
在开区间
(kπ- ,kπ+ )(k∈Z)
内递增
数学
小试身手
1.函数 y=tan 2x 的周期为( A
)
(A)
(B)π
(C)2π
(D)4π
解析:由题意可知,函数 y=tan 2x 的周期为 T= .故选 A.
数学
2.函数 f(x)=3tan(x+π)是( A
)
x 的范围即可.②若ω<0,可利用诱导公式先把 y=Atan(ωx+ )中 x 的系
数化为正值,再利用“整体代换”的思想,求得 x 的取值范围即可.
(2)比较正切值的大小
第一步:运用学过的三角函数的周期和诱导公式将角化到同一单调区
间上;
第二步:运用正切函数的单调性比较大小关系.
数学
备用例题
数学
5.4.3
正切函数的性质与图象
数学
核心知识目标
核心素养目标
1.了解正切函数图象的画法,理解
通过利用正切函数的图象与性质
正切函数的图象及性质
11 6
●
2
●
2
0
6
3
2
2 3
5 6
● ● ● ● ●
x
3 2
-1
现在利用正切线画出函 数y tan x, x (
y
, )的图象 2 2
1
o1
2
4
0
1
4
2
x
利用正切函数的周期性,把图象向左,右扩展,得到正切函数 y tan x, x R且x k , (k Z )的图象 , 并把它 叫做正切曲线. 2 y
（2） y tan x 性质: 定义域
值 周 奇 域 期 偶 性 奇 R 函 数
单调增区间
对 称 中心
渐近线 方程
x x k ，k Z 2
k， x k 0 k ，k 2 2 2 k Z k Z k Z
2
正切函数的主要性质如下:
定义域 值 域 周期性 奇偶性 单调性
xx
2 k , k Z
实数集
T
奇函数(正切曲线关于原点对称)
在（
k， k），k Z内为增函数 2 2
例1.求函数 y tan x ）的定义域 , 周期和单调区间。 （ 4
解：令 z x
y
解：
3 2
2
0
2
3 2
x
(1). x (k
2
, k ), (k Z )
正切函数的图象和性质(不知年级)
训
(2)下列不等 确式 的中 是正 B()
练
Ata4n7π ta3n7π B tan1(43-π )tan1(5-2)
C ta2ntan3 Dtan1(3-)tan(15)
5
5
7
8
正弦函数
正切函数
图象 定义域
值域
xR
[-1,1]
{x|xk,kZ}
2
(,)
周期性 奇偶性
正切曲线的简图
y
1
-
3
2
-
2
0 -1 2
3
2
x
说出定义域、值域、周期性、奇偶性和 单调性
正 切
定义域：{xR|xk,kZ}
曲 线
值域:
实数集R
2
的 性
周期性：周期为π的周期函数
质：奇偶性： tan(-x) sin(-x) sinx
cos(-x) cosx
2π
奇函数
π
奇函数
单调性
[ 2k, 2k ]增
2
2
(
2
k
, 2
k
),
[
2k ,
3
2k ]减
k Z 上是增函数
2
2
对称中心
(kπ,0)
(kπ,0)
总结
y
-2π
1 -π
π 3
2
2π
x
3
0
2
-1
(1)求函y数 tan2 xtanx1
tanx
正切函数是奇函数
单调性：在每一个（开 -区 k,间 k),
22
kZ内都是增函数。
1.4.3正切函数的图像与性质
单调区间：（ 5 2k，1 2k），k Z 33
对称中心：(k- 2 , 0), k Z 3
应用提升
例2.比较tan 13 与tan 17 的大小 ?
4 5
应用提升
练习1：试着画出y | tan x | 和y tan | x |
并讨论它们的单调性，周期性和奇偶性.
练习2.如果、
(
,
)且
tan
cot
,
2
那么必有（ ）
A.
B.
C. 3 D. 3
2
2
应用提升
例3.求函数y tan x 1 的定义域 3 tan x
例4.试讨论函数y loga tan x的单调性
小结回顾
正切函数的基本性质
课后作业
1．书本P45练习，做书上. 2．P46习题A组6,7,8,9；B组2 做本子上 3.《作业本》同步练习
-6 -5 -6 -5
-4 -3 -4 -3
复习回顾
y y=sinx
1
-2 -
o
-1
2 3
y y=cosx
1
-2
- -1
2 3
4 5 4 5
6 x 6 x
四.单调性：
正弦函数在[ 2k , 2k ](k Z )上是单调递增的,从 1到1;
2
2
在[ 2k , 3 2k ](k Z )上是单调递减的,从1到 1
4 5
6 x
y y=cosx
1
-6 -5 -4 -3 -2
- -1
2 3 4
5
6 x
六.对称轴和对称(k ,0);
2
y cos x的对称轴：x k , 对称点：(k ,0);
正切函数图像及性质
x k x k , k ； 4 2
2 （2） x k x k , k . 3 3
1、y＝tanx( C ) A．在整个定义域上为增函数 B．在整个定义域上为减函数
π π C．在每一个开区间－2＋kπ，2＋kπ (k∈Z)上为增函数 π π D．在每一个闭区间－2＋kπ，2＋kπ (k∈Z)上为增函数
【解题关键】 π 把 3x－ 看作一个整体，借助于正切函数的定义 3 域和单调区间来解决．
解析：要使函数有意义，自变量 x 的取值应满足 3x π π kπ 5π － ≠kπ＋ (k∈Z)，得 x≠ ＋ (k∈Z)， 3 2 3 18
kπ 5π ∴函数的定义域为xx≠ ＋ ，k∈Z 3 18 .
正切函数 图像性质
x | x k , k . 1.定义域： 2
2.值域： R 3.周期性：正切函数是周期函数， 周期为 . 正切函数是奇函数， 4.奇偶性： 图象关于原点对称. 正切函数在开区间 5.单调性： 内都是增函数.
( k, k), k 2 2
π 6.渐近线：直线 x＝kπ ＋ (k∈Z)称为正切曲线的渐近线，渐 2 近线把正切曲线分成无数个不连续的部分．正切曲线在渐近线右侧 向下无限接近渐近线，在渐近线左侧向上无限接近渐近线． π 7.函数 y＝Atan(ωx＋φ)＋k(ω≠0)的最小正周期 T＝ . |ω|
tan x f (x),
所以y=tanx是周期函数, 最小正周期是π.
思考3：根据相关诱导公式，你能判断正切函数具
有奇偶性吗？
提示:
由诱导公式 tan( x) tan x, x R, x k, k 2
高二数学正切函数的图像和性质
4
5
tan
4
tan
2
5
,即
tan
13
4
tan
17 5
练习 不查表比较大小：
(1) tan167 与tan173 (2) tan 470 与 tan 822
例题2
x
4
的性质；
练习 讨论函数 y tan 2x 的性质；
§1.4.3 正切函数的图象和性质 （一）
1、利用正切函数的定义，说出正切函数的定义域；
tan y x 0 的终边不在y轴上
x
k
k
z
2
2、利用周期函数的定义及诱导公式，推导正切函数 的最小正周期；
tan( x) tan x 是y tan x的周期；
1、画出正切函数在一个周期
2
，
2
内的图象
y
0
x
2
2
§1.4.3 正切函数的性质和图象
1.正切函数
的性质：
y y tan x
定义域：
值域：
周期性： 正切函数是周期函数，
周期是
2
奇偶性： 奇函数 tan(－x)=－tanx
2
o 2
x 2
单调性： 在 内是增函数
对称性： 对称中心是
对称轴呢？
；宜宾装修公司/ 宜宾装修公司
；
全家人都知道这个说法，在姐姐的心灵深处，樟木箱子早已深深地扎下了根。 光阴似箭，姐姐真的到了谈婚论嫁的时候了
正切函数的性质与图象
f ( x ) tan( x ) tan( x ) tan[ ( x 2) ] f ( x 2) 2 3 2 3 2 3
因此函数的周期为2.带入正切的单调区间可解得函 数得单调区间
5 1 ( 2k , 2k ), k Z 3 3
(1)1 tan x 0;
y 3
(2) tan x 3 0;
4
3
y 1
小结
正切函数的周期性，奇偶
性，单调性，值域.
作业
课本45页练习
4、值域
正切函数的值域是实数 R. 集
举例
π π 例1 求函数y tan ( x )的定义域, 周 2 3 期和单调区间.
解:
x k 2 3 2
即
所以函数的定义域是 由于
1 { x | x 2k , k Z }. 3
1 x 2k , k Z 3
y A sin( x ), x R.( A 0, 0) y A cos(x ), x R.( A 0, 0)
y A tan( x ).( A 0, 0)
T
2
T
例2 求使下列不等式成立的 的集合: x
§ 1.4.3 正切函数的 性质与图象
引入
正切函数:
y tan x , x k , k Z 2
新课
正切函数图像:
FLASH
1、周期性
正切函数是周期函数, 周期是π.
2、奇偶性
正切函数是奇函数.
3、单调性
π π 在每一个开区间 , kπ ), k Z上都是增函数 (kπ . 2 2
正切函数的图像和性质
（1）正切函数的图像：
（2）正切函数的性质：
定义域：x
|
x
2
k
,
k
Z
值域：全体实数R
周期性：正切函数是周期函数，
最小正周期为
奇偶性：奇函数，
单调性：正切函数在开区间 k, k ,k Z
2 2
内都是增函数。
本节课学习了哪一种数学方法解 题？
利用正切函数单调性比较大小
3．tan 1°与tan 1从小到大的关系是 ________．
【答案】tan 1°＜tan 1
比较正切值的大小
【例 2】 比较 tan－147π与 tan－252π的大小． 【解题探究】利用诱导公式化简函数的表达式，自变量在 正切函数的同一个单调区间内，即可判断大小．
B.xx∈R且x≠kπ＋4π，k∈Z
C.xx∈R且x≠kπ＋2π，k∈Z
D.xx∈R且x≠kπ－4π，k∈Z
【答案】A
例6
（2）周期性
y tan x
2 3
利用正切函数图像解不等式问题
课本P46 A 9 (1) 1 tan x 0
方法（1）在
2
,
2
内找到相应的范围
（2）在两边加上 k
利用几何画板探究 资料书P26 4 例3.求下列函数的周期.
(2)y tan x
3
3
2
2
2
资料书P26例题
3．函数 y＝|tan 2x|是( )
ห้องสมุดไป่ตู้
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课题：正切函数的性质和图象
一．教材分析：
学习正切函数的性质和图象，主要包括：定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性等，以及具体的应用。
二．教学目标：
1. 知识与技能：
（1）.在对正切函数已有认知的基础上，分析正切函数的性质。
（2）.通过已知的性质，利用正切线画出正切函数在
上的图像，得到
正切曲线。
（3）.根据正切曲线，完善正切函数的性质。
2.过程与方法： 在探究正切函数基本性质和图像的过程中，渗透数形结合的思想，形成发现问题、提出问题、解决问题的能力，养成良好的数学学习习惯．
3. 情感态度价值观：
在教学中使学生了解问题的来龙去脉；强调解决问题方法的落实以及数形结合思想的渗透；突出语言表达能力、推理论证能力的培养和良好思维习惯的养成． 教学重难点： 1．正切函数的性质；
2．正切函数图象的作法。
三．教学方法：探究，启发式教学。
四．教学过程
1．设置情境
前面我们研究了正、余弦函数的图象和性质，但常见的三角函数还有正切函数，今天我们来探讨一下正切函数的图象，以及它具有哪些性质。
2．探索研究
由研究正、余弦函数的图象和性质的方法引出正切函数的图象和性质。
下面我们也将利用单位圆中的正切线来绘制tan y x =图象．
（1）用正切线作正切函数图象
分析一下正切函数tan y x =是否为周期函数？
sin()sin ()tan()tan ()cos()cos x x f x x x f x x x
ππππ+-+=+====+- ∴tan y x = 是周期函数，π是它的一个周期．
我们还可以证明，π是它的最小正周期．类似正弦曲线的作法，我们先作正切函数在一个周期上的图象，下面我们利用正切线画出函数tan y x =，
,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
的图象．作法如下： ①作直角坐标系，并在直角坐标系 轴左侧作单位圆。
②把单位圆右半圆分成8等份，分别在单位圆中作出正切线。
③描点。
（横坐标是一个周期的8等分点，纵坐标是相应的正切线）。
④连线。
图1
根据正切函数的周期性，我们可以把上述图象向左、右扩展，得到正切函数tan y x = ，(,,)2x R x k k Z π
π∈≠+∈的图象，并把它叫做正切曲线（如图1）．
图2
（2）正切函数的性质
请同学们结合正切函数图象研究正切函数的性质：定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性．
①定义域：|,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭
②值域：R
③周期性：正切函数是周期函数，周期是π．
④奇偶性：tan()tan x x -=-，∴正切函数是奇函数，正切曲线关于原点O 对称．
⑤单调性：由正切曲线图象可知：正切函数在开区间(,),22k k k Z ππππ-
++∈内都是增函数．
强调：a.不能说正切函数在整个定义域内是增函数
b.正切函数在每个单调区间内都是增函数
c. 每个单调区间都包括两个象限：四、一或二、三
3．例题分析
例1．求函数tan(2)3y x π
=-的定义域、周期和单调区间。
４.课堂练习：不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小：
（1）
与 ； （2） 与．
5．课堂小结： （1）这节课我们采用类比的思想方法来学习正切函数的图象和性质
（2）正切函数的作图是利用平移正切线得到的，当我们获得一个周期上图象后，再利用周期性把该段图象向左右延伸、平移。
（3）正切函数的性质．
6.作业布置：
五．教后反思：。