利率风险和管理培训教材

4.29
4.29
3/2
5
0.7938
3.97
5.96
2
105
0.7350
77.18
154.35
90.07
166.92
D 166.92 1.853(年) 90.07
对比表5.3和表5.6，可以得出这样的结论：在其他条件不变时，债券到期 收益率增加，则久期越小，即
D 0
R
21
(三)久期与到期期限
• 假设有一份5年期的保单，保险公司向客户承 诺5年后一次性支付一笔款项。为了简化，我 们假设保险公司应在5年期满后支付1469元作 为退休保险的一次性返还，它恰好等于用 1000元投资于票面利率8%的按复利计算的5年 期债券。当然，保险公司实际支付的金额可
30
• 策略一 购买期限为5年期的零息债券 • 假设面值为1000元，到期收益率为8%的5年期贴现债券的
18
债券票面利率、到期收益率R、到期 期限T的变化对久期的影响
• （一）久期与票面利率 • 例2中，息票率为10%，期限为2年，每半年
支付利息一次，市场利率为12%，久期为 1.859。 • 在其他情况不变的条件下，如果票面利率 减少到8%，债券的久期的计算如表5.5所示。
19
t
CFt
DFt
CFt×DFt
6.30
2
5
0.7921
3.96
7.92
5/2
5
0.7473
3.74
9.34
3
105
0.7050
74.03
222.09
95.10
252.46
D 252.45 2.655(年)
• 通过对比表5.7、表59.53.1、0表5.8我们可以知道，当固定收益的证券或 资产的到期期限增加时，久期则以一个递减的速度增加：
6
现值分析
• CF1/2=560 PV1/2=560/(1+0.06)=528.30(元) • CF1=530 PV1 =560/（1+0.06）2 =471.70
（元） • CF1/2 +CF1 =1090 PV1/2 + PV1 =1000(元) • 对相对重要性而言，除了考虑折现率外？
还应该考虑哪些因素？ • 信用风险，期限溢价等
93.45
98.17
95.81
D 95.81 0.976(年) 98.17
22
• 表5.8 票面利率为10%，到期收益率为12%的3年期息票 债券的久期
t
CFt
DFt
CFt×DFt
CFt×DFt×t
1/2
5
0.9434
4.72
2.36
1
5
0.8900
4.45
4.45
3/2
5
0.8396
4.20
• 在其他情况不变的条件下，我们分别计算债券到期期限在两年的基础 上缩短一年和增加一年时债券的久期，如表5.7和表5.8所示。
表5.7票面利率为10%，到期收益率为12%的1年期息票债券的久期
t
CFt
DFt
CFt×DFt
CFt×DFt×t
1/2
5
0.9439
4.72
2.36
1
105
0.8900
93.45
CFt×DFt×t
5
100
0.6209
62.09
310.45
D 310.45 5(年) 62.09
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永久性公债的久期
• 永久性公债是指每年支付固定利息而永远 不会到期的债券，其到期期限（MC）为 无穷大
• 虽然永久性公债是没有到期日的，但其久 期（DC）是有期限的。 1 DC 1 R
• 数学推导
经济直觉
D 0 C
20
(二)久期与到期收益率
• 在其他情况不变的条件下，如果债券的到期收益率增加到 16%，债券的久期计算如表5.6所示。
表5.6 票面利率为10%，到期收益率为16%的两年期息票债券
的久期 t
CFt
DFt
CFt×DFt
CFt×DFt×t
1/2
5
0.9259
4.63
2.32
1
5
0.8573
26
修正久期
• 修正的久期
dP D ( dR )
P
1 R
MD= D 1+R
dP MD dR P
27
• 久期、修正久期的经济含义：资产或负债 对利率的敏感程度。
第二节 运用久期模型进行免疫
29
久期和远期支付的免疫
• 养老基金和人寿保险公司管理者面临如何进 行多种资产的组合选择，以使他们在将来某 个时期能够获得足够的投资收益来向受益人 或投保人支付退休金或保险金的问题
10
0.8573
8.57
17.14
3
110
0.7938
87.32
261.96
105.15
288.36
D 288.36 2.742(年) 105.15
14
• 【例2】假设投资者持有面值为100元，票面利 率为10%，期限为2年，每半年付一次息的息 票债券。当前市场利率为12%。
表5.3 票面利率为10%，到期收益率为12%的两年期息票债券的久期
• 是在t时期期末的现金流的现值，等于 12
每年付2次利息
• 对每半年支付一次利息的债券来说，久期
公式变为： N CFt t
D
t1/ 2 N
(1 R / 2)2t CFt
t1/ 2 (1 R / 2)2t
•
• t=1/2,1,3/2,…,N
• 注意：久期公式的分母是在该证券持有期 内所有现金流现值的和，而分子是每笔现
7
久期
•久期是利用现金流的相对现值作为权重的加 权平均到期期限。
•久期与到期日期限之间的区别？ •在货币时间价值的基础上，久期测定了金融 机构要收回贷款初始投资所需要的时间。在 久期内所收到的现金流反映了对初始贷款投 资的收回，而从久期未到到期日之间所收到 的现金流才是金融机构赚取的利润。
8
例（续）
• R-要求的复利利率，N-期限年数，P-价格， F为票面面值
• 由于证券的所有现金流只发生在到期日， 16
• 【例三】假设投资者持有面值为100元的零 息债券，期限为5年，市场利率为10%。由
于该债券不付息，在整个债券期限中，只 会在第5年底产生现金流，如表5.4所示。
表5.t4 期限为5年CF底t 零息债D券Ft 的久期 CFt×DFt
D M
0,
D2 2M
0
23
债券期限与久期的关系
久 期 ‘
0
期限
久期的特征
• 1、证券的票面利率越高，它的久期越短； • 2、证券的到期收益率越高，它的久期越短； • 3、随着固定收益资产或负债到期期限的增
加，久期会以一个递减的速度增加。
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久期的经济含义
• 复习：弹性的概念
• 久期的本质就是弹性。
为8%，到期收益率为8%的债券的久期为4.993年，约为5年。 如果公司购买了该债券，无论市场利率如何变化，在5年 后保险公司都能获得1469元的现金流。原因是利率变动带 来的再投资收入的增加或减少都恰好被出售债券的收入的 减少或增加所抵消。
31
金融机构整个资产负债表的免疫
• 资产和负债市场价格的变化是如何与久期联系在一起的
资产（A）=负债（L）+净值（所有者权益E）,即（A=L+E）
或者E A L,
由上节久期的经济意义可知，P D( R ).如果将任意给定债券价格百分
P
1 R
比变化P / P替换为整个资产和负债的百分比变化 A / A和 L / L，同时以金
融机构资产和负债组合的久期DA、DL替代任意给定债券的久期，就可以得到
•
D
t 1 N
t1 N
CFt DF PVt
•D为久期（以年为单位t）1
t 1
•CFt为证券在t期期末收到的现金流
•NDF为t 证券的年限 1/ (1 R)t
• 为贴现因子，等于 ，其中R为债券的 N
年t1 收益率或者说是当前市场的利率水平
•PVt 为从时期t=1到t=N的求和符号 CFt DFt
t
CFt
DFt
CFt×DFt
CFt×DFt×t
1/2
5
0.9434
4.72
1
5
0.8900
4.45
3/2
5
0.8396
4.20
2
105
0.7921
83.17
96.54
D 179.45 1.859(年) 96.54
2.36 4.45 6.30 166.34 179.45
15
零息债券的久期
• 零息债券是指以低于面值的价格发行的， 在到期时按照面值支付的债券。这些债券 在发行日和到期日之间不会产生现金流， 即 投不资会者产愿生意支 购P付 买 (。 该1假 债FR)设 券N 每 的年 当利 前率价为格复将利会，等 于该债券的现值。
528.30 1000
0.5283
52.83%
W1
PV1 PV1/2 PV1
471.70 1000
0.4717
47.17%
1.0
100%
9
例（续）
• 以W1/2和W1作为权数，来计算久期，或者说 是计算贷款的平均到期期限：
DL W1/2 1 / 2 W1 1
=0.5283×1/2+0.4717×1=0.7359(年)
当前价格为680.58元，即P=680.58（元）如果保险公司以 1000元的总成本购买了这样的债券，那么该项投资在5年 后将刚好产生1469元的现金流。原因是债券组合的久期与 保险公司保费的返还期相匹配。
• 策略二 购买久期为5年的息票债券 • 通过计算可以知道面值为1000元，期限为6年，票面利率
• ＰＶ1=1120/1.12=1000元，W1=PV1/PV1=1。 • DD=W1×1=1×1=1年 • 到期日期限缺口为零，ML-MD=1-1=0。 • 但久期缺口仍然存在：DL-DD=0.7359-1=-
0.2641。 11
久期的定义
N
N
•久期的一般公式
CFt DF t PVt t
CFt×DFt×t
D 0 C
1/2
4
0.9434
3.77
1.89
1
4
0.8900
3.56
3.56
3/2
4
0.8396
3.36
5.04
2
104
0.7921
82.38
164.764
93.07
175.25
D 175.25 1.883(年) 93.07
因此可得出这样的结论，在其他条件不变时，证券的票面利 率或承诺的利率越高，久期越小,用数学的表达式如下
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息票债券的久期
• 【例1】假设投资者持有面值为100元，票面利 率为10%，期限为3年，每年付息一次的息票债
券。该债券的到期收益率（或目前的市场利率） 为8%。
• 表5.2 票面利率为10%的3年期息票债券的久期
t
CFt
DFt
CFt×DFt
CFt×DFt×t
1
10
0.9259
9.26
9.26
2
第五章 利率风险和管理 （下）
主要内容
– 第一节 久期概述 – 第二节 运用久期模型进行免疫
2
复习
• 重定价缺口（敏感型资金缺口）管理 • 到期日期限缺口管理
第一节 久期概述
4
久期的概念
久期（duration）也称为持续期，是美国经济 学家Frederick Macaulay于1936年首先提出的。与 到期期限比，久期是一种更准确地测定资产和负 债敏感度的方法。因为它不仅考虑了资产（或负 债）的到期期限问题，还考虑到了每笔现金流的 情况。
A A
DA
R (1 R)
,即为A=
DA
A
R (1 R)
L L
DL
R ,即为L= (1 R)
DL
L R (1 R)
所以E
A
L
[ DA
A
R (1 R)
]
[
DA
A
R ] (1 R)
假设利率水平和利率预期的变化对资产和负债都是一样的，得到
•
P
数C学推导C。 ...
CF
(1 R) (1 R)2
(1 R)N
dP C 2C N (C F )
d (1 R)
(1 R)2 (1 R)3
(1 R) N 1
(1
R)
dP d (1 R)
C (1 R)1
2C (1 R)2
N (C F ) (1 R) N
D P
dP dP 1 D P dR d (1 R) 1 R
金融机构分别在半年末和一年末的时候收到了两笔现金流。久期分析 的是根据每一个时点上现金流现值的重要性来确定每笔现金流的权重。 从现值的角度看，t=1/2年和t=1年的现金流的相对重要性如表5.1所示。
t=1/2年和t=1的现金流的重要性
时间（t） T=1/2年
T=1年
权重（w）
W1/ 2
PV1/ 2 PV1/2 PV1
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例
• 银行发放一笔金额为1000元的1年期贷款。 假设贷款利率为12%，年初发放贷款， 要求在6月底时偿还一半本金，另外一半 在年底时付清。利息每6个月支付一次。
• 在6月底和年底银行从贷款中收到的现金 流。
• 与付息债券之间CF的1/2=5差60 异？ CF1=530
• 哪一笔0 现金流更1/重2年 要？如何1年体现这种相 对重要性呢？ 图5.1 1年期贷款应收到的现金流
• 尽管贷款的期限是一年，但是它的久期仅 为0.7359年，这是因为有52.83%的现金流是 在半年末的时候就收到了，久期也就小于 到期期限。
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到期日期限缺口管理无法完全规 避利率风险
• 一笔利率为12%的1000元1年期定期存款。
• 假设金融机构应在年底向存款人一次性支 付本金1000元和利息120元，即CF1=1120元。