不规则几何体体积的求法

不规则几何体体积的求法

当所给几何体形状不规则时，无法直接利用体积公式求解，可尝试用以下几种常用的方法求出原几何体的体积，下面逐一介绍，供同学们参考．

一、等积转换法

当所给几何体的体积不能直接套用公式或套用公式时某一量（底面积或高）不易求出时，可以转换一下几何体中有关元素的相对位置进行计算求解，该方法尤其适用于求三棱锥的体积．

例1 在边长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P

分别是棱A 1B 1，A 1D 1，A 1A 上的点，且满足A 1M = 12A 1B 1， A 1N =2ND 1，A 1P = 34 A 1A （如图1），试求三棱锥A 1—MNP 的体积．

分析：若用公式V= 13

Sh 直接计算三棱锥A 1—MNP 的体积，则需要求出△MNP 的面积和该三棱锥的高，这两者显然都不易求出，

但若将三棱锥A 1—MNP 的顶点和底面转换一下，变为求三棱锥P —

A 1MN 的体积，便能很容易的求出其高和底面△A 1MN 的面积，从而代入公式求解．

解：V A 1-MNP =V A 1—MNP = 13 ·S △A 1MN ·h = 13 ×12 ·A 1M 1·A 1N ·A 1P=13 ×12×12a ·23 a · 34

a= 124

a 3． 评注：转换顶点和底面是求三棱锥体积的一种常用方法，也是以后学习求点到平面距离的一个理论依据．

二、分割法

分割法也是体积计算中的一种常用方法，在求一些不规则的几何体的体积以及求两个几何体的体积之比时经常要用到分割法．

例2 如图2，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，E ,F 分别为AB ,AC 的中点，平面EB 1C 1F

将三棱柱分成两部分，求这两部分的体积之比．

分析：截面EB 1C 1F 将三棱柱分成两部分，一部分是三棱台

AEF —A 1B 1C 1；另一部分是一个不规则几何体，其体积可以利用棱柱的

体积减去棱台的体积求得．

解：设棱柱的底面积为S ，高为h ，其体积V =Sh ．

则三角形AEF 的面积为14

S ． 由于V AEF -A 1B 1C 1=13 ·h ·(s 4 +S+s 2 )= 712

Sh , 则剩余不规则几何体的体积为V ′=V-V AEF -A 1B 1C 1=Sh -712 Sh = 512

Sh ， 所以两部分的体积之比为V AEF -A 1B 1C 1：V ′=7：5.

评注：在求一个几何体被分成的两部分体积之比时，若有一部分为不规则几何体，则可用整个几何体的体积减去规则几何体的体积求出其体积，再进行计算．

三、补形法

某些空间几何体是某一个几何体的一部分，在解题时，把这个几何体通过“补形”补成完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积问题，这是一种重要的解题策略——补形法．常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形.对于还原补形，主要涉及台体中“还台为锥”问题．

例3 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______.

分析：由三视图画出直观图，补一个大小相同的几何体，构成一个圆柱即可求其体积. 解：由三视图可知，此几何体是底面半径为1，高为4的圆柱被从母线的中点处截去了圆柱的14，根据对称性，可补全此圆柱如图，故体积V ＝34

×π×12×4＝3π. 评注：“对称”是数学中的一种重要关系，在解决空间几何体中的问题时善于发现对称关系对空间想象能力的提高很有帮助．

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